2021-2022学年苏科版数学七年级下册7.1探索直线平行的条件同步练习（培优）
一、单选题
1．（2021七下·苏州期末）如图，在四边形 中，连接 ，下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
2．（2020七下·泰兴期末）如图，将一副三角板按如图放置，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，∠E=60°，则下列结论正确的有（ ）个.
①∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=30°，则有AC∥DE；④如果∠2=30°，则有BC∥AD.
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需满足下列条件中的（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠AFD C．∠1=∠AFD D．∠1=∠DFE
4．（2015七下·瑞昌期中）如图，已知∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角必相等
B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行
C．如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直
D．如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等
6．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2＋∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有 对．
8．长方形ABCD中，∠ADB=20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，若使AB′∥BD，则折痕AF与AB的夹角∠BAF应为
9．如图所示，已知∠1=∠2，请你添上一个适当的条件 ，使AB∥CD．
10．（2019七下·兴化期末）一副直角三角尺如图①叠放，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行.如图②，当∠BAD=15°时，有一组边BC∥DE，请再写出两个符合要求的∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）的度数 .
11．如图，因为∠1=∠B，所以 ．理由是： ．因为∠2=∠B，所以 ．理由是： ．
三、解答题
12．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？
13．（2020七下·兴化期中）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由.
14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：
（1）若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为
（2）若∠ACB=140°，求∠DCE的度数
（3）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（4）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
15．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON=5∠DOM时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数
（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行．
（4）将如图①位置的两块三角板同时绕点O逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒10°，当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动．经过多少秒后边OC与边ON互相垂直．（直接写出答案）
16．（1）如图①，若∠B+∠D=∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的位置关系？并说明理由．
17．如图，已知直线c和a、b分别交于A、B两点，点P在直线c上运动．
（1）若P点在AB两点之间运动，试探究：当∠1、∠2和∠3之间满足什么数量关系时，a∥b？
（2）若P点在AB两点外侧运动，试探究：当∠1、∠2和∠3之间满足什么数量关系时，a∥b？（直接写出结论即可）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠1=∠2，∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
B.∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故本选项不符合题意；
C.∠BAD+∠BCD=180°，不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
D.∵∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，∴B+∠DCB=180°，∴AB∥CD，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，逐项判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】依题意可得∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，①正确；
∵∠CAD=∠1+∠2+∠3
∴∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=90°+90°=180°
∴②正确；
若∠2=30°，
∴∠1=90°-∠2=60°
∴∠1=∠E=60°
∴AC∥DE，③正确；
若∠2=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°
∴∠1≠∠E
∴BC，AD不平行，④错误；
故答案为：B.
【分析】根据等腰直角三角形和含30°的直角三角形的性质，根据角度，平行线的判定，可以进行一一判断。
3．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1=∠DFE，
∴∠2=∠DFE（等量代换），
∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
所以只需满足下列条件中的∠1=∠DFE．
故选D．
【分析】要使DF∥BC，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，选项中∠1=∠DFE，根据已知条件可得∠1=∠2，所以∠DFE=∠2，满足关于DF，BC的内错角相等，则DF∥BC．
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
B、∵∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
C、∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
D、∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故选D．
【分析】由∠1=∠2结合“内错角（同位角）相等，两直线平行”得出两平行的直线，由此即可得出结论．
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A.两条被截直线平行时，内错角相等，故本选项错误；
B.如果两条相互平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行，故本选项错误；
C.如果同旁内角互补，那么这个角的两条边相互平行，则它们的角平分线必互相垂直，故本选项正确；
D.如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项错误；
选：C
【分析】A.B根据平行线的性质定理即可作出判断；
C.根据已知条件可以判定这两条直线平行，则它们的角平分线必互相垂直；
D.如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵ ∠1＝∠3；，
∴l1∥l2.
故①正确；
②由于∠2与∠3不是内错角也不是同位角，故 ∠2＝∠3 不能判断l1∥l2.
故②错误；
③∵ ∠4＝∠5 ，
∴l1∥l2.
故③正确；
④∵ ∠2＋∠4＝180°
∴l1∥l2.
故④正确；
综上所述，能判断l1∥l2有①③④3个.
故答案为：C.
【分析】①根据内错角相等，两直线平行；即可判断正确；
②由于∠2与∠3不是内错角也不是同位角，故不能判断l1∥l2.
③根据同位角相等，两直线平行；即可判断正确；
④根据同旁内角互补，两直线平行；即可判断正确；
7．【答案】2
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴∠EFA=∠CDA=90°，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠EDC，
∵∠1=∠2，
∴∠EDC=∠2，
∴DE∥BC，
即图中互相平行的直线有2对，
故答案为：2．
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行）推出即可．
8．【答案】55°
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠ADB=20°，
∴∠ABD=70°．
∵AB′∥BD，
∴∠BAB′=110°．
∵△AB′F由△ABF翻折而成，
∴∠BAF= ∠BAB′=55°．
故答案为：55°．
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABD的度数，再由平行线的性质求出∠BAB′的度数，根据图形翻折变换的性质即可得出结论．
9．【答案】BE∥DF
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：添加条件：BE∥DF；理由如下：
∵BE∥DF，
∴∠MBE=∠BDF，
又∵∠1=∠2，
∴∠ABM=∠CDB，
∴AB∥CD；
故答案为：BE∥DF．
【分析】由平行线的性质得出同位角相等，再由已知条件得出∠ABM=∠CDB，即可得出AB∥CD；
10．【答案】45°，60，105°，135°
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】（1）当∠BAD=45°时，如图，
∵∠BAD=45°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠D=∠CAF=45°，
∴DE∥AC；
（ 2 ）当∠BAD=60°时，如图分类讨论：
当∠BAD=60°时，
∴∠B=∠BAD=60°，
∴BC∥AD；
（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，
即∠BAD=∠BAE+∠EAD=105°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴BC∥AE；
（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，
则∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°.
∴∠EAB=∠E=90°，
∴AB∥DE.综上所述，当∠BAD为： 45°，60，105°，135° 时， 两块三角尺的一组边互相平行 。
故答案为： 45°，60，105°，135°
【分析】（1）当∠BAD=45°时，如图，根据学具的性质得出∠BAD=45°，∠BAC=90°，根据平角的定义得出∠CAF=45°，故∠D=∠CAF=45°，根据同位角相等，二直线平行得出DE∥AC；（2）当∠BAD=60°时，如图，根据学具的性质得出∠B=60°，故∠B=∠BAD=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，故∠BAE=∠B=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°，故∠EAB=∠E=90°，根据内错角相等，二直线平行得出AB∥DE.
11．【答案】DE∥CB；同位角相等，两直线平行；DB∥EF；同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠B，
∴DE∥CB（同位角相等，两直线平行），
∵∠2=∠B，
∴DB∥EF（同位角相等，两直线平行）．
【分析】∠1和∠B，∠2和∠B，是同位角，根据同位角相等，两直线平行解题.
12．【答案】解：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC（已知），
∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2（角平分线定义），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=2（∠1+∠2）=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】运用角平分线的定义，结合图形可知∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，又已知∠1+∠2=90°，可得同旁内角∠ABD和∠BDC互补，从而证得AB∥CD．
13．【答案】解：BE∥DF，理由如下：
证明：四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠FDC，∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE+∠ADF =90°，
∵∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠ABE（等量替换），
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据四边形的内角和为360°得到∠ADC+∠ABC=180°，再根据角平分线的性质得到∠ABE+∠ADF =90°，然后根据同角的余角相等得到∠AFD=∠ABE，根据同位角相等两直线平行即可得到BE∥DF.
14．【答案】（1）135°
（2）解：
∵∠ACB=140°，∠ACD=90°，
∴∠DCB=140°﹣90°=50°，
∴∠DCE=90°﹣50°=40°
（3）解：∠ACB+∠DCE=180°，
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°
（4）解：存在，
当∠ACE=30°时，AD∥BC，
当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE，
当∠ACE=120°时，AD∥CE，
当∠ACE=135°时，BE∥CD，
当∠ACE=165°时，BE∥AD．
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=45°，
∴∠DCB=90°﹣45°=45°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135°，
故答案为：135°
【分析】（1）①首先计算出∠DCB的度数，再用∠ACD+∠DCB即可；②首先计算出∠DCB的度数，再计算出∠DCE即可；
（2）根据（1）中的计算结果可得∠ACB+∠DCE=180°，再根据图中的角的和差关系进行推理即可；
（3）根据平行线的判定方法可得．
15．【答案】解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°﹣30°﹣45°=105°；
（2）如图②，∵∠CON=5∠DOM
∴180°﹣∠DOM=5∠DOM，
∴∠DOM=30°
∵∠OMN=60°，
∴MN⊥OD，
∴MN∥BC，
∴∠CEN=180°﹣∠DCO=180°﹣45°=135°；
（3）如图③，MN∥CD时，旋转角为90°﹣（60°﹣45°）=75°，
或270°﹣（60°﹣45°）=255°，
所以，t=75°÷5°=15秒，
或t=255°÷5°=51秒；
所以，在旋转的过程中，三角板MON运动15秒或51秒后直线MN恰好与直线CD平行．
（4）MN⊥CD时，旋转角的角度差上90°，
所以90°÷（20°﹣10°）=9秒，
故答案为：9．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）求出MN⊥OD，然后根据同位角相等，两直线平行判断出MN∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（3）分两种情况求出旋转角，再根据时间=旋转角÷速度计算即可得解．
（4）求出旋转的角度差，再根据时间=旋转角差÷速度差计算即可得解．
16．【答案】解：（1）如图1，延长BE交CD于F．
∵∠BED=∠B+∠D，
∠BED=∠EFD+∠D，
∴∠B=∠EFD，
∴AB∥CD；
（2）∠1=∠2+∠3．
理由如下：如图②，延长BA交CE于F，
∵AB∥CD（已知），
∴∠3=∠EFA（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2+∠EFA，
∴∠1=∠2+∠3．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）延长BE交CD于F，通过三角形外角的性质可证明∠B=∠EFD，则能证明AB∥CD；
（2）延长BA交CE于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠EFA，再根据三角形外角性质证明即可．
17．【答案】解：（1）∠1+∠3=∠2时，a∥b；过P作MP∥a，∵MP∥a，∴∠1=∠DPM，∵∠1+∠3=∠2，∴∠3=∠MPC，∴MP∥BC，∴a∥b；（2）若P点在A点上部运动时，∠3﹣∠1=∠2时，a∥b；若P点在B点下部运动时，∠1﹣∠3=∠2时，a∥b．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）过P作MP∥a，根据平行线的性质可得∠1=∠DPM，然后可得∠3=∠MPC，进而得到MP∥BC，再根据平行线的传递性可得a∥b；
（2）若P点在AB两点外侧运动，∠1﹣∠3=∠2时，a∥b，证明方法与（1）相同．
1 / 12021-2022学年苏科版数学七年级下册7.1探索直线平行的条件同步练习（培优）
一、单选题
1．（2021七下·苏州期末）如图，在四边形 中，连接 ，下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠1=∠2，∴AB∥CD，故本选项不符合题意；
B.∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故本选项不符合题意；
C.∠BAD+∠BCD=180°，不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
D.∵∠BAD=∠DCB，∠B=∠D，∴B+∠DCB=180°，∴AB∥CD，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，逐项判断即可.
2．（2020七下·泰兴期末）如图，将一副三角板按如图放置，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，∠E=60°，则下列结论正确的有（ ）个.
①∠1=∠3；②∠CAD+∠2=180°；③如果∠2=30°，则有AC∥DE；④如果∠2=30°，则有BC∥AD.
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】依题意可得∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，①正确；
∵∠CAD=∠1+∠2+∠3
∴∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=90°+90°=180°
∴②正确；
若∠2=30°，
∴∠1=90°-∠2=60°
∴∠1=∠E=60°
∴AC∥DE，③正确；
若∠2=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°
∴∠1≠∠E
∴BC，AD不平行，④错误；
故答案为：B.
【分析】根据等腰直角三角形和含30°的直角三角形的性质，根据角度，平行线的判定，可以进行一一判断。
3．如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需满足下列条件中的（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠AFD C．∠1=∠AFD D．∠1=∠DFE
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1=∠DFE，
∴∠2=∠DFE（等量代换），
∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
所以只需满足下列条件中的∠1=∠DFE．
故选D．
【分析】要使DF∥BC，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，选项中∠1=∠DFE，根据已知条件可得∠1=∠2，所以∠DFE=∠2，满足关于DF，BC的内错角相等，则DF∥BC．
4．（2015七下·瑞昌期中）如图，已知∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
B、∵∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
C、∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
D、∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故选D．
【分析】由∠1=∠2结合“内错角（同位角）相等，两直线平行”得出两平行的直线，由此即可得出结论．
5．下列说法正确的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角必相等
B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行
C．如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直
D．如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A.两条被截直线平行时，内错角相等，故本选项错误；
B.如果两条相互平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行，故本选项错误；
C.如果同旁内角互补，那么这个角的两条边相互平行，则它们的角平分线必互相垂直，故本选项正确；
D.如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故本选项错误；
选：C
【分析】A.B根据平行线的性质定理即可作出判断；
C.根据已知条件可以判定这两条直线平行，则它们的角平分线必互相垂直；
D.如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
6．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2＋∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵ ∠1＝∠3；，
∴l1∥l2.
故①正确；
②由于∠2与∠3不是内错角也不是同位角，故 ∠2＝∠3 不能判断l1∥l2.
故②错误；
③∵ ∠4＝∠5 ，
∴l1∥l2.
故③正确；
④∵ ∠2＋∠4＝180°
∴l1∥l2.
故④正确；
综上所述，能判断l1∥l2有①③④3个.
故答案为：C.
【分析】①根据内错角相等，两直线平行；即可判断正确；
②由于∠2与∠3不是内错角也不是同位角，故不能判断l1∥l2.
③根据同位角相等，两直线平行；即可判断正确；
④根据同旁内角互补，两直线平行；即可判断正确；
二、填空题
7．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有 对．
【答案】2
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴∠EFA=∠CDA=90°，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠EDC，
∵∠1=∠2，
∴∠EDC=∠2，
∴DE∥BC，
即图中互相平行的直线有2对，
故答案为：2．
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行）推出即可．
8．长方形ABCD中，∠ADB=20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，若使AB′∥BD，则折痕AF与AB的夹角∠BAF应为
【答案】55°
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠ADB=20°，
∴∠ABD=70°．
∵AB′∥BD，
∴∠BAB′=110°．
∵△AB′F由△ABF翻折而成，
∴∠BAF= ∠BAB′=55°．
故答案为：55°．
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠ABD的度数，再由平行线的性质求出∠BAB′的度数，根据图形翻折变换的性质即可得出结论．
9．如图所示，已知∠1=∠2，请你添上一个适当的条件 ，使AB∥CD．
【答案】BE∥DF
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：添加条件：BE∥DF；理由如下：
∵BE∥DF，
∴∠MBE=∠BDF，
又∵∠1=∠2，
∴∠ABM=∠CDB，
∴AB∥CD；
故答案为：BE∥DF．
【分析】由平行线的性质得出同位角相等，再由已知条件得出∠ABM=∠CDB，即可得出AB∥CD；
10．（2019七下·兴化期末）一副直角三角尺如图①叠放，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，要求两块三角尺的一组边互相平行.如图②，当∠BAD=15°时，有一组边BC∥DE，请再写出两个符合要求的∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）的度数 .
【答案】45°，60，105°，135°
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】（1）当∠BAD=45°时，如图，
∵∠BAD=45°，∠BAC=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠D=∠CAF=45°，
∴DE∥AC；
（ 2 ）当∠BAD=60°时，如图分类讨论：
当∠BAD=60°时，
∴∠B=∠BAD=60°，
∴BC∥AD；
（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，
即∠BAD=∠BAE+∠EAD=105°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，
∴∠BAE=∠B=60°，
∴BC∥AE；
（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，
则∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°.
∴∠EAB=∠E=90°，
∴AB∥DE.综上所述，当∠BAD为： 45°，60，105°，135° 时， 两块三角尺的一组边互相平行 。
故答案为： 45°，60，105°，135°
【分析】（1）当∠BAD=45°时，如图，根据学具的性质得出∠BAD=45°，∠BAC=90°，根据平角的定义得出∠CAF=45°，故∠D=∠CAF=45°，根据同位角相等，二直线平行得出DE∥AC；（2）当∠BAD=60°时，如图，根据学具的性质得出∠B=60°，故∠B=∠BAD=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 3 ）当∠BAD=105°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠BAE=∠BAD-∠EAD=105°-45°=60°，故∠BAE=∠B=60°，根据内错角相等，二直线平行得出BC∥AD；（ 4 ）当∠BAD=135°时，如图，根据学具的性质及角的和差得出∠EAB=∠BAD-∠EAD=135°-45°=90°，故∠EAB=∠E=90°，根据内错角相等，二直线平行得出AB∥DE.
11．如图，因为∠1=∠B，所以 ．理由是： ．因为∠2=∠B，所以 ．理由是： ．
【答案】DE∥CB；同位角相等，两直线平行；DB∥EF；同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠B，
∴DE∥CB（同位角相等，两直线平行），
∵∠2=∠B，
∴DB∥EF（同位角相等，两直线平行）．
【分析】∠1和∠B，∠2和∠B，是同位角，根据同位角相等，两直线平行解题.
三、解答题
12．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1+∠2=90°，那么直线AB，CD的位置关系如何？
【答案】解：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC（已知），
∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2（角平分线定义），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=2（∠1+∠2）=180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】运用角平分线的定义，结合图形可知∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，又已知∠1+∠2=90°，可得同旁内角∠ABD和∠BDC互补，从而证得AB∥CD．
13．（2020七下·兴化期中）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由.
【答案】解：BE∥DF，理由如下：
证明：四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠FDC，∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE+∠ADF =90°，
∵∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠ABE（等量替换），
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据四边形的内角和为360°得到∠ADC+∠ABC=180°，再根据角平分线的性质得到∠ABE+∠ADF =90°，然后根据同角的余角相等得到∠AFD=∠ABE，根据同位角相等两直线平行即可得到BE∥DF.
14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：
（1）若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为
（2）若∠ACB=140°，求∠DCE的度数
（3）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（4）当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）135°
（2）解：
∵∠ACB=140°，∠ACD=90°，
∴∠DCB=140°﹣90°=50°，
∴∠DCE=90°﹣50°=40°
（3）解：∠ACB+∠DCE=180°，
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°
（4）解：存在，
当∠ACE=30°时，AD∥BC，
当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE，
当∠ACE=120°时，AD∥CE，
当∠ACE=135°时，BE∥CD，
当∠ACE=165°时，BE∥AD．
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：（1）①∵∠ECB=90°，∠DCE=45°，
∴∠DCB=90°﹣45°=45°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135°，
故答案为：135°
【分析】（1）①首先计算出∠DCB的度数，再用∠ACD+∠DCB即可；②首先计算出∠DCB的度数，再计算出∠DCE即可；
（2）根据（1）中的计算结果可得∠ACB+∠DCE=180°，再根据图中的角的和差关系进行推理即可；
（3）根据平行线的判定方法可得．
15．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转至如图③，当∠CON=5∠DOM时，MN与CD相交于点E，请你判断MN与BC的位置关系，并求∠CEN的度数
（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，三角板MON运动几秒后直线MN恰好与直线CD平行．
（4）将如图①位置的两块三角板同时绕点O逆时针旋转，速度分别每秒20°和每秒10°，当其中一个三角板回到初始位置时，两块三角板同时停止转动．经过多少秒后边OC与边ON互相垂直．（直接写出答案）
【答案】解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°﹣30°﹣45°=105°；
（2）如图②，∵∠CON=5∠DOM
∴180°﹣∠DOM=5∠DOM，
∴∠DOM=30°
∵∠OMN=60°，
∴MN⊥OD，
∴MN∥BC，
∴∠CEN=180°﹣∠DCO=180°﹣45°=135°；
（3）如图③，MN∥CD时，旋转角为90°﹣（60°﹣45°）=75°，
或270°﹣（60°﹣45°）=255°，
所以，t=75°÷5°=15秒，
或t=255°÷5°=51秒；
所以，在旋转的过程中，三角板MON运动15秒或51秒后直线MN恰好与直线CD平行．
（4）MN⊥CD时，旋转角的角度差上90°，
所以90°÷（20°﹣10°）=9秒，
故答案为：9．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）求出MN⊥OD，然后根据同位角相等，两直线平行判断出MN∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（3）分两种情况求出旋转角，再根据时间=旋转角÷速度计算即可得解．
（4）求出旋转的角度差，再根据时间=旋转角差÷速度差计算即可得解．
16．（1）如图①，若∠B+∠D=∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】解：（1）如图1，延长BE交CD于F．
∵∠BED=∠B+∠D，
∠BED=∠EFD+∠D，
∴∠B=∠EFD，
∴AB∥CD；
（2）∠1=∠2+∠3．
理由如下：如图②，延长BA交CE于F，
∵AB∥CD（已知），
∴∠3=∠EFA（两直线平行，同位角相等），
∵∠1=∠2+∠EFA，
∴∠1=∠2+∠3．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）延长BE交CD于F，通过三角形外角的性质可证明∠B=∠EFD，则能证明AB∥CD；
（2）延长BA交CE于F，根据两直线平行，同位角相等可得∠3=∠EFA，再根据三角形外角性质证明即可．
17．如图，已知直线c和a、b分别交于A、B两点，点P在直线c上运动．
（1）若P点在AB两点之间运动，试探究：当∠1、∠2和∠3之间满足什么数量关系时，a∥b？
（2）若P点在AB两点外侧运动，试探究：当∠1、∠2和∠3之间满足什么数量关系时，a∥b？（直接写出结论即可）
【答案】解：（1）∠1+∠3=∠2时，a∥b；过P作MP∥a，∵MP∥a，∴∠1=∠DPM，∵∠1+∠3=∠2，∴∠3=∠MPC，∴MP∥BC，∴a∥b；（2）若P点在A点上部运动时，∠3﹣∠1=∠2时，a∥b；若P点在B点下部运动时，∠1﹣∠3=∠2时，a∥b．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）过P作MP∥a，根据平行线的性质可得∠1=∠DPM，然后可得∠3=∠MPC，进而得到MP∥BC，再根据平行线的传递性可得a∥b；
（2）若P点在AB两点外侧运动，∠1﹣∠3=∠2时，a∥b，证明方法与（1）相同．
1 / 1
