2021-2022学年苏科版数学七年级下册7.2探索平行线的性质同步练习（培优）
一、单选题
1．（2021九下·盐城期中）如图，直线a // b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2＝65°，则∠1的度数为 （ ）
A．65° B．45° C．35° D．25°
2．（2017七下·江阴期中）某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
B．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
C．第一次向左拐70°，第二次向右拐110°
D．第一次向左拐70°，第二次向左拐110°
3．（2016七下·江阴期中）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．25° D．30°
4．（2017九下·江阴期中）如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2+∠3=180°
C．∠2+∠4＜180° D．∠3+∠5=180°
5．（2017七下·如皋期中）如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1=40°，∠2=60°，∠3=70°，则∠4的度数为（ ）
A．55° B．50° C．40° D．30°
6．（2017七上·江都期末）如图，将长方形ABCD沿线段OG折叠到OB'C'G的位置，∠OGC'等于100°，则∠DGC'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
7．（2019七下·海安月考）如图，给出下列推理：①∵∠B＝∠BEF，∴AB∥EF；②∵∠B＝∠CDE，∴AB∥CD；③∵∠B＋∠BEC＝180°，∴AB∥EF；④∵AB∥ CD，CD∥EF，∴AB∥EF.其中正确的推理是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（2019七上·淮安期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE
C．如果∠2＝30°，则有BC∥AD D．如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C
9．如图，给出下列条件：
①∠1=∠2；
②∠3=∠4；
③AD∥BE，且∠D=∠B；
④AD∥BE，且∠DCB=∠BAD；
其中能推出AB∥DC的条件为（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
二、填空题
10．（2020七下·溧阳期末）如图，现将一块含有30°角的直角三角板的顶点放在平行线的一条直线上，与另一条直线的夹角为∠2，若∠1＝2∠2，那么∠1＝ °.
11．（2017·如皋模拟）如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=40°，则∠2= 度．
12．（2017七下·江都期中）如图，把一张对面互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB=34°，则下列结论正确有 个
1）∠C′EF=34°；（2）∠AEC=112°；（3）∠EFD=112°；（4）∠BGE=68°．
13．（2017七下·苏州期中）如图，AB∥CD，EG⊥AB于G，∠1=50°，则∠E = .
14．（2014·盐城）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1=70°，则∠2= °．
15．（2017七下·惠山期中）已知，如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为
16．（2019七下·海安期中）如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是 .
三、综合题
17．（2020七下·姜堰期末）如图
（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截， ， .求证： ；
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题.
18．如图，在四边形ABCD中，连接BD，点E，F分别在AB和CD上，连接CE，AF，CE与AF分别交B于点N，M．已知∠AMD=∠BNC．
（1）若∠ECD=60°，求∠AFC的度数；
（2）若∠ECD=∠BAF，试判断∠ABD与∠BDC之间的数量关系，并说明理由．
19．（2020七下·无锡期中）如图，AD⊥BC，垂足为D，点E、F分别在线段AB、BC上，∠CAD＝∠DEF，∠C+∠ADE＝90°.
（1）求证：DE∥AC；
（2）判断EF与AD的位置关系，并证明你的猜想.
20．（2019七下·丰县月考）如图，已知AF分别与BD、CE交于点G、H，∠1=50°，∠2=130°.
（1）BD与CE平行吗？为什么？
（2）若∠A=∠F，探索∠C与∠D的数量关系，并说明理由.
21．如图（a），已知∠BAG+∠AGD=180°，AE、EF、EG是三条折线段．
（1）若∠E=∠F，如图（b）所示，求证：∠1=∠2；
（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．
22．（2020七下·高港期中）如图
（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=135°，∠PCD=125°.求∠APC度数.小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数.请写出具体求解过程.
（2）问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，取∠3，
∵a // b，
∴∠2=∠3=65°，
∵AB⊥BC，
∴∠1=180°-∠3-∠ABC=180°-65°-90°=25°，
故答案为：D.
【分析】取∠3，首先根据平行线的性质求出∠3，然后根据平角的定义，结合角的和差关系即可求出∠1的度数.
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、第一次向左拐40°，第二次向右拐40°，行驶方向相同，故本选项错误；
B、第一次向左拐50°，第二次向右拐130°，行驶路线相交，故本选项错误；
C、第一次向左拐70°，第二次向右拐110°，行驶路线相交，故本选项错误；
D、如图，第一次向左拐70°，∠1=180°﹣70°=110°，第二次向左拐110°，∠2=110°，
所以，∠1=∠2，
所以，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反．
故选D．
【分析】作出图形，根据邻补角的定义求出∠1，再根据两直线平行，同位角相等求出∠2即可得解．
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵∠1=35°，
∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°，
∵GH∥EF，
∴∠2=∠AEC=25°，
故答案为：C．
【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、∵OC与OD不平行，
∴∠1=∠3不成立，故本选项错误；
B、∵OC与OD不平行，
∴∠2+∠3=180°不成立，故本选项错误；
C、∵AB∥CD，
∴∠2+∠4=180°，故本选项错误；
D、∵AB∥CD，
∴∠3+∠5=180°，故本选项正确．
故选：D．
【分析】根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，过M作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠1=∠EMO，∠4=∠PNF，∠OMN=∠PNM，
∴∠EMN ∠MNF=(∠1+∠MNP) (∠MNP+∠4)=∠1 ∠4，
∴60° 70°=40° ∠4，
∴∠4=50°.
故答案为：B.
【分析】添加辅助线，过M作OM∥AB，PN∥AB，再根据AB∥CD，得出AB∥OM∥PN∥CD，然后根据平行线的性质，可证得∠EMN ∠MNF=(∠1+∠MNP) (∠MNP+∠4)=∠1 ∠4，即可求出答案。
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵将长方形ABCD沿线段OG折叠到OB'C'G的位置，∠OGC'等于100°，
∴∠OGC=∠OGC′=100°，
∴∠OGD=180°﹣∠OGC=80°，
∴∠DGC'=∠OGC′﹣∠OGD=20°，
故选A．
【分析】根据折叠得出∠OGC=∠OGC′=100°，求出∠OGD，即可求出答案．
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】①∵∠B=∠BEF，∴AB//EF，则①是正确的；
②∵∠B=∠CDE，∴AB//CD，则②是正确的；
③中由∠B+∠BEC=180°，可推出AB//CE，不能推出AB//EF，故③不正确；
④∵AB∥CD，CD//EF，∴AB//EF，则④是正确的.
综上可知，①②④正确.
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；如果两条平行线中的一条与第三条直线平行那么另一条也与第三条平行。
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，
∴∠1=∠3，
∴（A）正确；
∵∠2=30°，
∴∠1=90°-30°=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴（B）正确；
∵∠2=30°，
∴∠3=90°-30°=60°，
∵∠B=45°，
∴BC不平行于AD，
∴（C）错误；
由AC∥DE可得∠4=∠C，
∴（D）正确.
故答案为：C.
【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠2，∴AD∥BC，故此选项错误；
②∵∠3=∠4，∴AB∥DC，（内错角相等，两直线平行），故此选项正确；
③∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠D=∠B，∴∠D+∠BAD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得AB∥DC，故此选项正确；
④∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠B+∠BCD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得AB∥DC，故此选项正确；
故能推出AB∥DC的条件为：②③④．
故选D．
【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．
10．【答案】80°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
∵ ，
∴∠2=∠3，
∵∠1＝2∠2，
∴∠1＝2∠3，
∴∠1+∠4+∠3=180°
又依题意知∠4=60°，
∴3∠3=120°，
∴∠3=40°，
∴∠1＝2∠3=80°，
故答案为：80°
【分析】利用平行线的性质得到∠2=∠3，再根据∠1＝2∠2，∠4=60°，利用平角的定义建立方程即可得解.
11．【答案】50
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠1=∠CAD=40°，
又∵CD⊥AB于点D，
∴∠2=90°﹣40°=50°，
故答案为：50．
【分析】先根据直线l1∥l2，即可得到∠1=∠CAD=40°，再根据CD⊥AB于点D，进而得出∠2=90°﹣40°=50°．
12．【答案】4
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠EFB=34°，AC′∥BD′，
∴∠EFB=∠FEC′=∠FEG=34°，故①正确，
∴∠C′EG=68°，
∴∠AEC=180°﹣∠C′EG=112°，故②正确，
∵EC∥DF，
∴∠BFD=∠BGC=∠AEC=112°，故③正确，
∵∠BGE=∠C′EG=68°，故④正确，
∴正确的有4个．
故答案为4．
【分析】根据平行线的性质以及法则不变性，分别求出∠C′EF；∠AEC；∠BFD；∠BGE即可判断．
13．【答案】40°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，
∵∠1=50°，
∴∠2=∠1=50°，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2=50°，
∵EG⊥AB，垂足为G，
∴∠E=90° ∠3=90° 50°=40°
故填40°.
14．【答案】70
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠C=∠1=70°，
∵AF∥BC，
∴∠2=∠C=70°．
故答案为：70．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠C=∠1，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C．
15．【答案】∠α+∠β﹣∠γ=180°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD．
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等）
∵∠β=∠AEF+∠FED
又∵∠γ=∠EDC（已知）
∴∠α+∠β﹣∠γ=180°．
【分析】过E作EF∥AB∥CD，由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
16．【答案】18°或126°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠α与∠β 的两边分别平行，
∴ ∠α与∠β 相等或互补。
分两种情况：
①如图1,
当 ∠α+∠β =180°时，∠α=3∠β 36°，
解得：∠α=126°;
②如图2,
当∠α=∠β,∠α=3∠β 36°，
解得：∠α=18°。
故答案为： ∠α =18°或126°。
【分析】如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，故需要分类讨论：①如图1, ∠α与∠β 互补的时候，由于∠α=3∠β 36°，从而列出关于∠β的方程，求解算出∠β的值，进而得出∠α；②如图2，当 ∠α与∠β 相等的时候，由于∠α=3∠β 36°，从而列出关于∠β的方程，求解算出∠β的值，进而得出∠α，综上所述就可得出答案。
17．【答案】（1）解：∵∠B＋∠1＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠2＝∠3，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF，
∴∠B＋∠F＝180°；
（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；（2）利用了平行线的判定与性质定理求解.
18．【答案】（1）解：∵∠AMD=∠BNC，
∵∠AMD=∠BMF，
∴∠BMF=∠BNC，
∴AF∥CE，
∴∠AFC+∠ECD=180°，
∵∠ECD=60°，
∴∠AFC=120°
（2）解：∵∠AFC+∠ECD=180°，
∵∠ECD=∠BAF，
∴∠BAF+∠AFC=180°，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到∠BMF=∠BNC，由平行线的判定定理得到AF∥CE，根据平行线的性质得到∠AFC+∠ECD=180°，即可得到结论；（2）由∠AFC+∠ECD=180°，由于∠ECD=∠BAF，等量代换得到∠BAF+∠AFC=180°，推出AB∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．
19．【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠C+∠ADE＝90°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴ .
（2）解：结论： .
理由：∵∠CAD＝∠DEF，∠CAD＝∠ADE，
∴∠DEF＝∠ADE，
∴ .
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）想办法证明∠CAD＝∠ADE，即可解决问题.（2）结论： .证明∠DEF＝∠ADE即可.
20．【答案】（1）解：BD∥CE，
∵∠1=∠DGF=50°，∠2=130°，
∴∠2+∠DGF=130°+50°=180°，
∴BD∥CE
（2）解：∠C=∠D，
理由是：∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠D+∠DBC=180°.
又∵BD∥CE，
∴∠C+∠DBC=180°，
∴∠C=∠D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出∠DGH的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论；（2）先根据BD∥CE得出∠D=∠CEF，再由∠A=∠F得出AC∥DF，据此可得出结论.
21．【答案】（1）解：∵∠BAG+∠AGD=180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAG=∠AGC，
∵∠E=∠F，
∴AF∥EG，
∴∠FAG=∠AGE，
∴∠BAG﹣∠FAG=∠AGC﹣∠AGE
∴∠1=∠2
（2）解：由（1）可知：AB∥CD，
∴∠1+∠GAF=∠2+∠EGA，
∵∠E+∠EGA=∠F+∠GAF，
∴上述两式相加得：∴∠1+∠GAF+∠E+∠EGA=∠2+∠EGA+∠F+∠GAF
∴∠1+∠E=∠2+∠F
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由∠E=∠F可知AF∥EG，又因为∠BAG+∠AGD=180°，所以AB∥CD，利用内错角相等即可求证；（2）利用对顶角相等即可得出：∠E+∠EGA=∠F+∠GAF，利用平行线的性质即可求出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系；
22．【答案】（1）解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-135 =45°，
∠CPE=180°-∠PCD=180°-125 =55°，
∴∠APC=45°+55°=100°，
（2）解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β.
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】问题情境：过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=45°+55°=100°；
问题迁移：(1)过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；(2)画出图形(分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上)，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.
1 / 12021-2022学年苏科版数学七年级下册7.2探索平行线的性质同步练习（培优）
一、单选题
1．（2021九下·盐城期中）如图，直线a // b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠2＝65°，则∠1的度数为 （ ）
A．65° B．45° C．35° D．25°
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，取∠3，
∵a // b，
∴∠2=∠3=65°，
∵AB⊥BC，
∴∠1=180°-∠3-∠ABC=180°-65°-90°=25°，
故答案为：D.
【分析】取∠3，首先根据平行线的性质求出∠3，然后根据平角的定义，结合角的和差关系即可求出∠1的度数.
2．（2017七下·江阴期中）某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
B．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
C．第一次向左拐70°，第二次向右拐110°
D．第一次向左拐70°，第二次向左拐110°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、第一次向左拐40°，第二次向右拐40°，行驶方向相同，故本选项错误；
B、第一次向左拐50°，第二次向右拐130°，行驶路线相交，故本选项错误；
C、第一次向左拐70°，第二次向右拐110°，行驶路线相交，故本选项错误；
D、如图，第一次向左拐70°，∠1=180°﹣70°=110°，第二次向左拐110°，∠2=110°，
所以，∠1=∠2，
所以，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反．
故选D．
【分析】作出图形，根据邻补角的定义求出∠1，再根据两直线平行，同位角相等求出∠2即可得解．
3．（2016七下·江阴期中）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
A．10° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵∠1=35°，
∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°，
∵GH∥EF，
∴∠2=∠AEC=25°，
故答案为：C．
【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．
4．（2017九下·江阴期中）如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是（ ）
A．∠1=∠3 B．∠2+∠3=180°
C．∠2+∠4＜180° D．∠3+∠5=180°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、∵OC与OD不平行，
∴∠1=∠3不成立，故本选项错误；
B、∵OC与OD不平行，
∴∠2+∠3=180°不成立，故本选项错误；
C、∵AB∥CD，
∴∠2+∠4=180°，故本选项错误；
D、∵AB∥CD，
∴∠3+∠5=180°，故本选项正确．
故选：D．
【分析】根据平行线的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
5．（2017七下·如皋期中）如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1=40°，∠2=60°，∠3=70°，则∠4的度数为（ ）
A．55° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，过M作OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠1=∠EMO，∠4=∠PNF，∠OMN=∠PNM，
∴∠EMN ∠MNF=(∠1+∠MNP) (∠MNP+∠4)=∠1 ∠4，
∴60° 70°=40° ∠4，
∴∠4=50°.
故答案为：B.
【分析】添加辅助线，过M作OM∥AB，PN∥AB，再根据AB∥CD，得出AB∥OM∥PN∥CD，然后根据平行线的性质，可证得∠EMN ∠MNF=(∠1+∠MNP) (∠MNP+∠4)=∠1 ∠4，即可求出答案。
6．（2017七上·江都期末）如图，将长方形ABCD沿线段OG折叠到OB'C'G的位置，∠OGC'等于100°，则∠DGC'的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵将长方形ABCD沿线段OG折叠到OB'C'G的位置，∠OGC'等于100°，
∴∠OGC=∠OGC′=100°，
∴∠OGD=180°﹣∠OGC=80°，
∴∠DGC'=∠OGC′﹣∠OGD=20°，
故选A．
【分析】根据折叠得出∠OGC=∠OGC′=100°，求出∠OGD，即可求出答案．
7．（2019七下·海安月考）如图，给出下列推理：①∵∠B＝∠BEF，∴AB∥EF；②∵∠B＝∠CDE，∴AB∥CD；③∵∠B＋∠BEC＝180°，∴AB∥EF；④∵AB∥ CD，CD∥EF，∴AB∥EF.其中正确的推理是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】①∵∠B=∠BEF，∴AB//EF，则①是正确的；
②∵∠B=∠CDE，∴AB//CD，则②是正确的；
③中由∠B+∠BEC=180°，可推出AB//CE，不能推出AB//EF，故③不正确；
④∵AB∥CD，CD//EF，∴AB//EF，则④是正确的.
综上可知，①②④正确.
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；如果两条平行线中的一条与第三条直线平行那么另一条也与第三条平行。
8．（2019七上·淮安期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE
C．如果∠2＝30°，则有BC∥AD D．如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】∵∠CAB=∠EAD=90°，
∴∠1=∠CAB-∠2，∠3=∠EAD-∠2，
∴∠1=∠3，
∴（A）正确；
∵∠2=30°，
∴∠1=90°-30°=60°，
∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴（B）正确；
∵∠2=30°，
∴∠3=90°-30°=60°，
∵∠B=45°，
∴BC不平行于AD，
∴（C）错误；
由AC∥DE可得∠4=∠C，
∴（D）正确.
故答案为：C.
【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案.
9．如图，给出下列条件：
①∠1=∠2；
②∠3=∠4；
③AD∥BE，且∠D=∠B；
④AD∥BE，且∠DCB=∠BAD；
其中能推出AB∥DC的条件为（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠2，∴AD∥BC，故此选项错误；
②∵∠3=∠4，∴AB∥DC，（内错角相等，两直线平行），故此选项正确；
③∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠D=∠B，∴∠D+∠BAD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得AB∥DC，故此选项正确；
④∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠BAD=∠BCD，∴∠B+∠BCD=180°，由同旁内角互补，两直线平行可得AB∥DC，故此选项正确；
故能推出AB∥DC的条件为：②③④．
故选D．
【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．
二、填空题
10．（2020七下·溧阳期末）如图，现将一块含有30°角的直角三角板的顶点放在平行线的一条直线上，与另一条直线的夹角为∠2，若∠1＝2∠2，那么∠1＝ °.
【答案】80°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
∵ ，
∴∠2=∠3，
∵∠1＝2∠2，
∴∠1＝2∠3，
∴∠1+∠4+∠3=180°
又依题意知∠4=60°，
∴3∠3=120°，
∴∠3=40°，
∴∠1＝2∠3=80°，
故答案为：80°
【分析】利用平行线的性质得到∠2=∠3，再根据∠1＝2∠2，∠4=60°，利用平角的定义建立方程即可得解.
11．（2017·如皋模拟）如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=40°，则∠2= 度．
【答案】50
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵直线l1∥l2，
∴∠1=∠CAD=40°，
又∵CD⊥AB于点D，
∴∠2=90°﹣40°=50°，
故答案为：50．
【分析】先根据直线l1∥l2，即可得到∠1=∠CAD=40°，再根据CD⊥AB于点D，进而得出∠2=90°﹣40°=50°．
12．（2017七下·江都期中）如图，把一张对面互相平行的纸条折成如图那样，EF是折痕，若∠EFB=34°，则下列结论正确有 个
1）∠C′EF=34°；（2）∠AEC=112°；（3）∠EFD=112°；（4）∠BGE=68°．
【答案】4
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠EFB=34°，AC′∥BD′，
∴∠EFB=∠FEC′=∠FEG=34°，故①正确，
∴∠C′EG=68°，
∴∠AEC=180°﹣∠C′EG=112°，故②正确，
∵EC∥DF，
∴∠BFD=∠BGC=∠AEC=112°，故③正确，
∵∠BGE=∠C′EG=68°，故④正确，
∴正确的有4个．
故答案为4．
【分析】根据平行线的性质以及法则不变性，分别求出∠C′EF；∠AEC；∠BFD；∠BGE即可判断．
13．（2017七下·苏州期中）如图，AB∥CD，EG⊥AB于G，∠1=50°，则∠E = .
【答案】40°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，
∵∠1=50°，
∴∠2=∠1=50°，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2=50°，
∵EG⊥AB，垂足为G，
∴∠E=90° ∠3=90° 50°=40°
故填40°.
14．（2014·盐城）如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1=70°，则∠2= °．
【答案】70
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠C=∠1=70°，
∵AF∥BC，
∴∠2=∠C=70°．
故答案为：70．
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠C=∠1，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C．
15．（2017七下·惠山期中）已知，如图，AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为
【答案】∠α+∠β﹣∠γ=180°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB
∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD．
∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等）
∵∠β=∠AEF+∠FED
又∵∠γ=∠EDC（已知）
∴∠α+∠β﹣∠γ=180°．
【分析】过E作EF∥AB∥CD，由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
16．（2019七下·海安期中）如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的3倍少36°，则∠α的度数是 .
【答案】18°或126°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠α与∠β 的两边分别平行，
∴ ∠α与∠β 相等或互补。
分两种情况：
①如图1,
当 ∠α+∠β =180°时，∠α=3∠β 36°，
解得：∠α=126°;
②如图2,
当∠α=∠β,∠α=3∠β 36°，
解得：∠α=18°。
故答案为： ∠α =18°或126°。
【分析】如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补，故需要分类讨论：①如图1, ∠α与∠β 互补的时候，由于∠α=3∠β 36°，从而列出关于∠β的方程，求解算出∠β的值，进而得出∠α；②如图2，当 ∠α与∠β 相等的时候，由于∠α=3∠β 36°，从而列出关于∠β的方程，求解算出∠β的值，进而得出∠α，综上所述就可得出答案。
三、综合题
17．（2020七下·姜堰期末）如图
（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截， ， .求证： ；
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题.
【答案】（1）解：∵∠B＋∠1＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠2＝∠3，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF，
∴∠B＋∠F＝180°；
（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论；（2）利用了平行线的判定与性质定理求解.
18．如图，在四边形ABCD中，连接BD，点E，F分别在AB和CD上，连接CE，AF，CE与AF分别交B于点N，M．已知∠AMD=∠BNC．
（1）若∠ECD=60°，求∠AFC的度数；
（2）若∠ECD=∠BAF，试判断∠ABD与∠BDC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵∠AMD=∠BNC，
∵∠AMD=∠BMF，
∴∠BMF=∠BNC，
∴AF∥CE，
∴∠AFC+∠ECD=180°，
∵∠ECD=60°，
∴∠AFC=120°
（2）解：∵∠AFC+∠ECD=180°，
∵∠ECD=∠BAF，
∴∠BAF+∠AFC=180°，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到∠BMF=∠BNC，由平行线的判定定理得到AF∥CE，根据平行线的性质得到∠AFC+∠ECD=180°，即可得到结论；（2）由∠AFC+∠ECD=180°，由于∠ECD=∠BAF，等量代换得到∠BAF+∠AFC=180°，推出AB∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．
19．（2020七下·无锡期中）如图，AD⊥BC，垂足为D，点E、F分别在线段AB、BC上，∠CAD＝∠DEF，∠C+∠ADE＝90°.
（1）求证：DE∥AC；
（2）判断EF与AD的位置关系，并证明你的猜想.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠C+∠ADE＝90°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴ .
（2）解：结论： .
理由：∵∠CAD＝∠DEF，∠CAD＝∠ADE，
∴∠DEF＝∠ADE，
∴ .
【知识点】垂线；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）想办法证明∠CAD＝∠ADE，即可解决问题.（2）结论： .证明∠DEF＝∠ADE即可.
20．（2019七下·丰县月考）如图，已知AF分别与BD、CE交于点G、H，∠1=50°，∠2=130°.
（1）BD与CE平行吗？为什么？
（2）若∠A=∠F，探索∠C与∠D的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：BD∥CE，
∵∠1=∠DGF=50°，∠2=130°，
∴∠2+∠DGF=130°+50°=180°，
∴BD∥CE
（2）解：∠C=∠D，
理由是：∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠D+∠DBC=180°.
又∵BD∥CE，
∴∠C+∠DBC=180°，
∴∠C=∠D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出∠DGH的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论；（2）先根据BD∥CE得出∠D=∠CEF，再由∠A=∠F得出AC∥DF，据此可得出结论.
21．如图（a），已知∠BAG+∠AGD=180°，AE、EF、EG是三条折线段．
（1）若∠E=∠F，如图（b）所示，求证：∠1=∠2；
（2）根据图（a），写出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系，不需证明．
【答案】（1）解：∵∠BAG+∠AGD=180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAG=∠AGC，
∵∠E=∠F，
∴AF∥EG，
∴∠FAG=∠AGE，
∴∠BAG﹣∠FAG=∠AGC﹣∠AGE
∴∠1=∠2
（2）解：由（1）可知：AB∥CD，
∴∠1+∠GAF=∠2+∠EGA，
∵∠E+∠EGA=∠F+∠GAF，
∴上述两式相加得：∴∠1+∠GAF+∠E+∠EGA=∠2+∠EGA+∠F+∠GAF
∴∠1+∠E=∠2+∠F
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由∠E=∠F可知AF∥EG，又因为∠BAG+∠AGD=180°，所以AB∥CD，利用内错角相等即可求证；（2）利用对顶角相等即可得出：∠E+∠EGA=∠F+∠GAF，利用平行线的性质即可求出∠1+∠E与∠2+∠F之间的关系；
22．（2020七下·高港期中）如图
（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=135°，∠PCD=125°.求∠APC度数.小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数.请写出具体求解过程.
（2）问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β.∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系.
【答案】（1）解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-135 =45°，
∠CPE=180°-∠PCD=180°-125 =55°，
∴∠APC=45°+55°=100°，
（2）解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β.
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】问题情境：过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=45°+55°=100°；
问题迁移：(1)过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；(2)画出图形(分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上)，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.
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