湘教版初中数学七年级下册1.4三元一次方程组同步练习
一、单选题
1．（2021七下·仁寿期末）6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆。2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了。在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（ ）
A．580元 B．500元 C．420元 D．200元
2．（2021七下·遂宁期末）若 ， ，则x＋y＋z的值等于（ ）
A．0 B．2 C．1 D．无法求出
3．（2021七下·澄海期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲2件、乙4件、丙3件，共需220元钱，购甲3件、乙1件、丙2件共需235元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．85元 B．89元 C．90元 D．91元
4．（2021七下·长寿期末）若实数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．不能确定值
5．（2021七下·防城月考）方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021七下·杭州期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密）（解密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，-a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
7．（2021七下·射洪月考）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．14种 C．15种 D．16种
8．（2021七上·嘉兴期末）小明和小亮在一起探究一个数学活动.首先小亮站立在箱子上，小明站立在地面上（如图1），然后交换位置（如图2），测量的数据如图所示，想要探究的问题有：①小明的身高；②小亮的身高；③箱子的高度；④小明与小亮的身高和.根据图上信息，你认为可以计算出的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．（2020七上·芜湖期末）设“●■▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应该放“●”的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2020七上·重庆月考）如图所示，两个天平都平衡，则三个苹果的重量等于多少个香蕉的重量？答（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如果二元一次方程组 的解是二元一次方程3x﹣5y﹣7=0的一个解，那么a值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
12．如果 ，其中xyz≠0，那么x：y：z=（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．2：3：1 D．3：2：1
二、填空题
13．购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本，圆珠笔2支共需 元．
14．若4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则 的值等于 ．
15．山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要 分钟恰好把池塘中的水抽完．
16．确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ．
17．（2017七下·泗阳期末）已知非负数a,b,c满足条件3a+2b+c=4. 2a+b+3c=5. 设s=5a+4b+7c的最大值为m，最小值为n． 则n-m的值为 .
18．我市某重点中学校团委、学生会发出倡议，在初中各年级捐款购买书籍送给我市贫困地区的学校．初一年级利用捐款买甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去5324元；初二年级买了A、B两种文学书籍若干本，用去4840元，其中A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同．若甲、乙两种书的单价之和为121元，则初一和初二两个年级共向贫困地区的学校捐献了 本书．
19．在△ABC中，∠A－∠C＝25°，∠B－∠A＝10°，则∠B＝ ．
20．（2020七下·硚口月考）若x＋y＋z＝15，－3x－y＋z＝－25，x、y、z皆为非负数，记整式5x+4y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b = .
21．（2019七下·长兴期中）
小红到超市购买钢笔、笔记本、圆珠笔发现：若购买3支钢笔、7个笔记本、1支圆珠笔共需315元；若购买4支钢笔、10个笔记本、1支圆珠笔，共需420元钱．现若只购买2支钢笔、6个笔记本，共需 元钱．
22．（2020七上·海淀期中）设 ，则3x-2y+z= ．
三、计算题
23．
24．
25．
26．
四、解答题
27．（2017七下·大同期末）一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数.
28． 是关于x、y、z的方程 的一个解．试求a、b、c的值．
29．（2020七下·温州期中）利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高度.
五、综合题
30．（2020七下·丽水期中）某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格(元/台) 1000 800 500
销售获利(元/台) 260 190 120
（1）购买丙型设备 台(用含x，y的代数式表示)；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品(每种型号至少有一台)，恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第(2)题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
31．某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由
32．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用；数学思想；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，
则购买甲、乙、丙各一件时应该付款 （x+y+z）元
由题意得：
（1）+（2）得：5x+5y+5z=1000；
化简得： x+y+z=200；
即 购买甲、乙、丙各一件时应该付款 200元。
故答案为：D
【分析】本题主要考查方程的实际应用，先找出等量关系列出方程，再用整体思想求出 x+y+z的值即可；解题时要注意，三个未知数，两个等量关系，找出系数之间的关系，利用整体思想求解是关键。
2．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：两式相加得：5x+5y+5z=5
两边同除以5，得x+y+z=1
故答案为：C.
【分析】将两个式子相加，然后除以5即可得到x+y+z的值.
3．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲单件x元、乙单件y元、丙单件z元，根据题意，
得： ，
两方程相加，得： ，即 ，
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需91元，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出三元一次方程，化简得到三件商品的总和。
4．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】
①×3得： ③，
②×2得： ④，
③-④得： =-3，
故答案为：A.
【分析】观察两个方程系数的特点，利用①×3-②×2，可求出x+y+6z的值.
5．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 解：
②－③得：x+y=0 ④
④×2+①得：x=1
将x=1代入④得：y=-1
原方程组的解为
故答案为：B
【分析】根据三元一次方程组的解法直接求解即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得a=6，b=7，c=2，
故答案为：C.
【分析】依据题意列出三元一次方程即可求解.
7．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得 ，
得 ，
由于x、y、z只取正整数，所以需使 被2整除且 为正数，且 ，
当 ， ， ，8种，
当 ， ， ，6种，
∴ 的正整数解有14组 . ，
所以购买方案共有14种.
故答案为：B.
【分析】设A种买x个，B种买y个，C中买z个，根据题意列出方程：10x+20y+ 30z =200，变形后根据x、y、z均为正整数，且C种奖品不超过两个分别讨论，确定解的个数，即可得出所有可能的方案数.
8．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a
根据图1信息，可得：x+a=y+48①
根据图2信息，可得：y+a=x+24②
由①+②可得：x+y+2a=x+y+48+24，解得：a=36
∴箱子的高度可以求出.
故答案为：C.
【分析】设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a，根据图1信息得出小亮身高+木箱高度=小明身高+48①，根据图2信息得出小明身高+木箱高度=小亮身高+24②，利用①+②即可求出结论.
9．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设一个●、■、▲的质量分别是a，b，c，由题意得
2a=b+c①，a+b=c②，
把②代入①，得
2a=b+a+b，
∴a=2b，
∴“？”处应该放1个“●”，
故答案为：D．
【分析】根据题意求出2a=b+a+b，再求出a=2b，最后求解即可。
10．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设一个苹果的重量为x，一只香蕉的重量为y，一个三角形的重量为z，
∴2x=5z，2y=3z，
∴ ，
∴3x=5y，
故答案为：D.
【分析】设一个苹果的重量为x，一只香蕉的重量为y，一个三角形的重量为z，利用两个天平建立关于x，y，z的方程组，分别用含x,y的式子表示出z，从而可得到x与y之间的数量关系.
11．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
由①+②，可得2x=4a，
∴x=2a，
将x=2a代入①，得y=2a﹣a=a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴将 代入方程3x﹣5y﹣7=0，
可得6a﹣5a﹣7=0，
∴a=7 故答案为：C．
【分析】先解得方程组的值x=2a，y=a，然后把它们代入到3x﹣5y﹣7=0中，求出a的值.
12．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：已知 ，
①×2﹣②得，7y﹣21z=0，
∴y=3z，
代入①得，x=8z﹣6z=2z，
∴x：y：z=2z：3z：z=2：3：1．故答案为：C．
【分析】先把z看做已知数，求得y=3z，x=2z，再把它们代入到x：y：z中，求出比值.
13．【答案】5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．
则由题意得：
由②﹣①得3x+y=1，④
由②+①得17x+7y+2z=7，⑤
由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，
解得：a=5，
故答案为：5．
【分析】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．
14．【答案】﹣13
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵4x﹣3y﹣6z=0，
∴x= y+ z，
又∵x+2y﹣7z=0，
∴x=7z﹣2y，
∴7z﹣2y= y+ z，
解得y=2z，
把它代入x=7z﹣2y，
∴x=3z，
∴ = =﹣13，
【分析】把4x﹣3y﹣6z=0和x+2y﹣7z=0化为x=几z，y=几z，然后把它代入到所求的式子中，直接把三元化为一元。
15．【答案】12
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x．
根据题意，得 ，
解得b= x，a= x．
设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完．
3tx=a+bt，
t= = ．
即t=12分钟．
答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要12分钟恰好把池塘中的水抽完．
【分析】根据一台A型抽水机1小时正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b，根据用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完，得×2x=a+b，若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再根据3tx=a+bt求解。
16．【答案】6，4，1，7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意 中，由④得d=7，将d=7代入③得c=1，将c=1代入②得b=4，
将b=4代入①得a=6，所以解密得到的明文为6，4，1，7．
故答案为：6，4，1，7．
【分析】根据题意得到关于a、b、c、d的方程组，即可解出a、b、c、d的值，从而得出答案.
17．【答案】-2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】已知，3a+2b+c=4①，2a+b+3c=5②，
②×2 ①得，a+5c=6，a=6 5c，
①×2 ②×3得，b 7c= 7，b=7c 7，
又已知a、b、c为非负实数，
所以，6 5c 0，7c 7 0，
可得, ，
S=5a+4b+7c=5×(6 5c)+4×(7c 7)+7c=10c+2，
所以10 10c 12，
12 10c+2=S 14，
即m=14，n=12，
n m= 2，
故答案为 2.
18．【答案】168
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲种书的单价为x元，数量为y本，乙种书的数量为z本，根据题意得：
，
整理得： ，
①+②得：121z+121y=10164，
z+y=84，
∵A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，
∴初一和初二两个年级共向贫困地区的学校捐献数是：84×2=168（本）；
【分析】设甲种书的单价为x元，数量为y本，乙种书的数量为z本，根据等量关系：甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去5324元和买了A、B两种文学书籍若干本，用去4840元列两个方程，组成方程组，不需要求出来xyz的具体数值，只要求出来z+y的值即可.
19．【答案】75°
【知识点】三元一次方程组解法及应用；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意得 ，解出∠B＝75°．
故答案为：75°.
【分析】根据三角形的内角和可得∠A+∠B+∠C=180°，再和已知的两个方程联立，解此方程组可求出∠B的度数.
20．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得4x+2y=40，即2x+y=20，
y=20-2x，
①+②得-2x+2z=-10，即x-z=5，
z=x-5，
将y，z代入5x+4y+z得5x+4（20-2x）+（x-5），
整理得：-2x+75，
∵x、y、z皆为非负数，
∴ ，
解得：5≤x≤10，
∴-20≤-2x≤-10
55≤-2x+75≤65，
∴整式5x+4y+z的最大值为65，最小值为55，
即a=65，b=55，
∴a-b=10，
故答案为：10.
【分析】先用含x的代数式表达出y，z，然后将代数式代入5x+4y+z，得到-2x+75，根据x、y、z皆为非负数，确定出x的取值范围，然后可求出整式5x+4y+z的取值范围，即可求出答案.
21．【答案】210
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设每支钢笔x元，每个笔记本y元，每支圆珠笔z元，根据题意得：
由②－①得：x+3y=105③
由③×2得
2x+6y=210
∴ 现若只购买2支钢笔、6个笔记本，共需210元。
故答案为：210
【分析】抓住题中关键的已知条件： 若购买3支钢笔、7个笔记本、1支圆珠笔共需315元；若购买4支钢笔、10个笔记本、1支圆珠笔，共需420元钱，设未知数建立关于x、y、z的方程组，利用加减消元法消去z，就可得到x+3y=105，然后将方程的两边同时乘以2，就可解答问题。
22．【答案】10
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得， ③，
①+③得， ，
故答案为：10．
【分析】用方程①-②得， ③，把方程①③相加得， 问题可解．
23．【答案】解：原方程组变形为：
，
由（2）得：
x=9-4z（4），
由（3）得：
y=12+3z（5），
将（4）和（5）代入（1）得：
9-4z+2×（12+3z）+3z=15，
解得：z=-，
将z=-代入（4）、（5）得：
x=，y=，
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由（2）变形得：x=9-4z（4），由（3）变形得：y=12+3z（5），将将（4）、（5）代入（1）可求得z值，再将z值分别代入：（4）、（5）可求得x、y得值，从而得出原方程组的解.
24．【答案】解：，
（2）+（3）得：
5x=2，
∴x=，
由（2）得：
y=x+3z-4 （4），
将（4）代入（1）得：
2x-3（x+3z-4 ）+4z=12，
解得：z=-，
将x=，z=-代入（4）得：
y=-，
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（2）+（3）可解得x值，由（2）变形得：y=x+3z-4 （4），将（4）代入（1）可解得z的值，将x、z的值代入（4）可求得y的值，从而得出原方程组的解.
25．【答案】解：依题可设x=m，y=3m，z=5m，
∴x+y+z=m+3m+5m=18，
∴m=2，
∴x=2，y=6，z=10.
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据x：y：z=1：3：5可设x=m，y=3m，z=5m，再由x+y+z=18得出m值，将m值代入可求得x、y、z的值，从而得出原方程组的解.
26．【答案】解：依题可设，
∴x=3m，y=2m，z=5m，
∵2x+3y-4z=8，
∴6m+6m-20m=8，
∴m=-1，
∴x=-3，y=-2，z=-5.
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】依题可设，从而可得x=3m，y=2m，z=5m，再由2x+3y-4z=8求得m值，将m值代入可得x、y、z的值，从而得出原方程组的解.
27．【答案】解：设这个三位数个位上的数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为x+y，
根据题意，得 ，解得 ，∴x+y=7
答：这个三位数是275.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】首先找出本题的等量关系：个位上的数字＋百位上的数字＝十位上的数字；百位上的数字×7-（个位数字＋十位上的数字）=2；个位上的数字＋十位上的数字＋百位上的数字＝14.设个位上的数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为x+y.可以得到7y-{x+（x+y)}=2，x+(x+y)+y=14，计算方程组即可．
28．【答案】由题意，将x=-1，y=1，z=2代入原方程，得
由于，..
因此必有
即
解得a=3，b=1，c=-1.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由平方、绝对值的非负性可得关于方程组：ax+by+2=0，ay+cz 1=0，bz+cx 3=0；再将x、y、z的值代入方程组中可得关于a、b、c的三元一次方程组，解之即可求得a、b、c的值。
29．【答案】解：设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 ，
根据题意，可列方程组
两式相加得：
答：桌子高度 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】 设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 a,b，由图一可得桌子的高+长方形木块的长-长方形木块的宽=80cm，由图二可得桌子的高+长方形木块的宽-长方形木块的长=70cm，从而即可列出方程组，求解即可.
30．【答案】（1）(60-x-y)
（2）解：由题意得，1000x+800y+500(60-x-y)=56000，
化简整理得：5x+3y=260，
∴x=52- y
当y=5时，x=49，60-x-y=6；
当y=10时，x=46，60-x-y=4；
当y=15时，x=43，60-x-y=2。
∴购进方案有三种，分别为：
方案一：甲型49台，乙型5台，丙型6台；
方案二：甲型46台，乙型10台，丙型4台；
方案三：甲型43台，乙型15台，丙型2台。
（3）解：方案一：260×49+190×5+120×6=14410(元)，故可获利14410元，
方案二一：260×46+190×10+120×4=14340(元)，故可获利14340元，
方案三：260×43+190×15+120×2=14270(元)，故可获利14270元，
因为14410>14340>14270，
所以购进甲型49台，乙型5台，丙型6台，获利最多，为14410元
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得： 购买丙型设备的数量为： 60-x-y（台）；
【分析】（1）根据丙型设备的台数＝60 甲的台数 乙的台数即可解决问题；
（2）根据购进甲型电子产品的钱数+购进乙型电子产品的钱数+购进丙型电子产品的钱数=56000列出方程，求出方程的整数解即可；
（3）分别求出三种方案的利润，即可判断.
31．【答案】（1）解：设甲、乙、丙各队完成这项工程所需要时间分别为x天、y天、z天．
根据题意，得：
解得：．
经检验：x=10，y=15，z=30是原方程的解，且符合题意．答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天、15天、30天．
（2）解：设甲、乙、丙各队工作一天，厂家需付报酬分别为a元、b元、c元．根据题意得：，解得 ．
丙队工作30天首先排除；
甲队完成项目所需费用为ax=8000元；乙队完成项目所需费用为by=650×15=9750元．答：甲队单独完成此项工程所需的费用最少．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）本题的相等关系有三个：“由甲、乙两队合作6天完成”和“乙、丙队合作10天完成”“甲、丙两队合作5天完成全部工程的”．考虑到问题要求的是规定的工期，设甲、乙、丙各队完成这项工程所需要时间分别为x天、y天、z天根据题意列出方程组解答．
（2）等量关系为：甲乙两队一天的工程费×6=8700；乙丙两队一天的工程费×10=9500；甲丙两队一天的工程费×5=5500．算出每队一天的工程费；根据工期选择相应的队，再比较总价钱即可．
32．【答案】（1）解：设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得，解得：；
②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得：，解得：；
③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得：，解得：，不合题意，舍去．
故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台．
（2）解：根据题意得：，解得：．
答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得，
解得：；②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得：，解得：；③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得：，解得：，不合题意，舍去．故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台．（2）根据题意得：，解得：．
答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台．
【分析】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，分情况讨论：当购买平板电脑、笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其解即可．（2）可根据三种不同类型的电脑的总量=26台，购进三种电脑的总费用=104 000元，以及题中给出的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案．
1 / 1湘教版初中数学七年级下册1.4三元一次方程组同步练习
一、单选题
1．（2021七下·仁寿期末）6月18日最开始是京东的周年庆，相当于淘宝的双十一活动，在2013年之前，京东就将每年的6月18日定为年庆。2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了。在618当日，小李在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各一件时应该付款（ ）
A．580元 B．500元 C．420元 D．200元
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用；数学思想；设而不求（奥数类）
【解析】【解答】解：设购买甲、乙、丙各一件分别要x元、y元、z元，
则购买甲、乙、丙各一件时应该付款 （x+y+z）元
由题意得：
（1）+（2）得：5x+5y+5z=1000；
化简得： x+y+z=200；
即 购买甲、乙、丙各一件时应该付款 200元。
故答案为：D
【分析】本题主要考查方程的实际应用，先找出等量关系列出方程，再用整体思想求出 x+y+z的值即可；解题时要注意，三个未知数，两个等量关系，找出系数之间的关系，利用整体思想求解是关键。
2．（2021七下·遂宁期末）若 ， ，则x＋y＋z的值等于（ ）
A．0 B．2 C．1 D．无法求出
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：两式相加得：5x+5y+5z=5
两边同除以5，得x+y+z=1
故答案为：C.
【分析】将两个式子相加，然后除以5即可得到x+y+z的值.
3．（2021七下·澄海期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲2件、乙4件、丙3件，共需220元钱，购甲3件、乙1件、丙2件共需235元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．85元 B．89元 C．90元 D．91元
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲单件x元、乙单件y元、丙单件z元，根据题意，
得： ，
两方程相加，得： ，即 ，
答：购甲、乙、丙三种商品各一件共需91元，
故答案为：D．
【分析】根据题意列出三元一次方程，化简得到三件商品的总和。
4．（2021七下·长寿期末）若实数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．不能确定值
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】
①×3得： ③，
②×2得： ④，
③-④得： =-3，
故答案为：A.
【分析】观察两个方程系数的特点，利用①×3-②×2，可求出x+y+6z的值.
5．（2021七下·防城月考）方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】 解：
②－③得：x+y=0 ④
④×2+①得：x=1
将x=1代入④得：y=-1
原方程组的解为
故答案为：B
【分析】根据三元一次方程组的解法直接求解即可得出答案。
6．（2021七下·杭州期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密）（解密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，-a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得a=6，b=7，c=2，
故答案为：C.
【分析】依据题意列出三元一次方程即可求解.
7．（2021七下·射洪月考）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．14种 C．15种 D．16种
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设A种买x个，B种买y个，C中买z个，依题意得 ，
得 ，
由于x、y、z只取正整数，所以需使 被2整除且 为正数，且 ，
当 ， ， ，8种，
当 ， ， ，6种，
∴ 的正整数解有14组 . ，
所以购买方案共有14种.
故答案为：B.
【分析】设A种买x个，B种买y个，C中买z个，根据题意列出方程：10x+20y+ 30z =200，变形后根据x、y、z均为正整数，且C种奖品不超过两个分别讨论，确定解的个数，即可得出所有可能的方案数.
8．（2021七上·嘉兴期末）小明和小亮在一起探究一个数学活动.首先小亮站立在箱子上，小明站立在地面上（如图1），然后交换位置（如图2），测量的数据如图所示，想要探究的问题有：①小明的身高；②小亮的身高；③箱子的高度；④小明与小亮的身高和.根据图上信息，你认为可以计算出的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a
根据图1信息，可得：x+a=y+48①
根据图2信息，可得：y+a=x+24②
由①+②可得：x+y+2a=x+y+48+24，解得：a=36
∴箱子的高度可以求出.
故答案为：C.
【分析】设小亮身高为x，小明身高为y，木箱高度为a，根据图1信息得出小亮身高+木箱高度=小明身高+48①，根据图2信息得出小明身高+木箱高度=小亮身高+24②，利用①+②即可求出结论.
9．（2020七上·芜湖期末）设“●■▲”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么“？”处应该放“●”的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】设一个●、■、▲的质量分别是a，b，c，由题意得
2a=b+c①，a+b=c②，
把②代入①，得
2a=b+a+b，
∴a=2b，
∴“？”处应该放1个“●”，
故答案为：D．
【分析】根据题意求出2a=b+a+b，再求出a=2b，最后求解即可。
10．（2020七上·重庆月考）如图所示，两个天平都平衡，则三个苹果的重量等于多少个香蕉的重量？答（ ）个.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设一个苹果的重量为x，一只香蕉的重量为y，一个三角形的重量为z，
∴2x=5z，2y=3z，
∴ ，
∴3x=5y，
故答案为：D.
【分析】设一个苹果的重量为x，一只香蕉的重量为y，一个三角形的重量为z，利用两个天平建立关于x，y，z的方程组，分别用含x,y的式子表示出z，从而可得到x与y之间的数量关系.
11．如果二元一次方程组 的解是二元一次方程3x﹣5y﹣7=0的一个解，那么a值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：
由①+②，可得2x=4a，
∴x=2a，
将x=2a代入①，得y=2a﹣a=a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴将 代入方程3x﹣5y﹣7=0，
可得6a﹣5a﹣7=0，
∴a=7 故答案为：C．
【分析】先解得方程组的值x=2a，y=a，然后把它们代入到3x﹣5y﹣7=0中，求出a的值.
12．如果 ，其中xyz≠0，那么x：y：z=（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．2：3：1 D．3：2：1
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：已知 ，
①×2﹣②得，7y﹣21z=0，
∴y=3z，
代入①得，x=8z﹣6z=2z，
∴x：y：z=2z：3z：z=2：3：1．故答案为：C．
【分析】先把z看做已知数，求得y=3z，x=2z，再把它们代入到x：y：z中，求出比值.
二、填空题
13．购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支、作业本5本，圆珠笔2支共需 元．
【答案】5
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．
则由题意得：
由②﹣①得3x+y=1，④
由②+①得17x+7y+2z=7，⑤
由⑤﹣④×2﹣③得0=5﹣a，
解得：a=5，
故答案为：5．
【分析】首先假设铅笔的单价是x元，作业本的单价是y元，圆珠笔的单价是z元．购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需a元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出a的值，即为所求结果．
14．若4x﹣3y﹣6z=0，x+2y﹣7z=0（xyz≠0），则 的值等于 ．
【答案】﹣13
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵4x﹣3y﹣6z=0，
∴x= y+ z，
又∵x+2y﹣7z=0，
∴x=7z﹣2y，
∴7z﹣2y= y+ z，
解得y=2z，
把它代入x=7z﹣2y，
∴x=3z，
∴ = =﹣13，
【分析】把4x﹣3y﹣6z=0和x+2y﹣7z=0化为x=几z，y=几z，然后把它代入到所求的式子中，直接把三元化为一元。
15．山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要 分钟恰好把池塘中的水抽完．
【答案】12
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x．
根据题意，得 ，
解得b= x，a= x．
设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完．
3tx=a+bt，
t= = ．
即t=12分钟．
答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要12分钟恰好把池塘中的水抽完．
【分析】根据一台A型抽水机1小时正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b，根据用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完，得×2x=a+b，若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再根据3tx=a+bt求解。
16．确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b，2b＋c，2c＋3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ．
【答案】6，4，1，7
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意 中，由④得d=7，将d=7代入③得c=1，将c=1代入②得b=4，
将b=4代入①得a=6，所以解密得到的明文为6，4，1，7．
故答案为：6，4，1，7．
【分析】根据题意得到关于a、b、c、d的方程组，即可解出a、b、c、d的值，从而得出答案.
17．（2017七下·泗阳期末）已知非负数a,b,c满足条件3a+2b+c=4. 2a+b+3c=5. 设s=5a+4b+7c的最大值为m，最小值为n． 则n-m的值为 .
【答案】-2
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】已知，3a+2b+c=4①，2a+b+3c=5②，
②×2 ①得，a+5c=6，a=6 5c，
①×2 ②×3得，b 7c= 7，b=7c 7，
又已知a、b、c为非负实数，
所以，6 5c 0，7c 7 0，
可得, ，
S=5a+4b+7c=5×(6 5c)+4×(7c 7)+7c=10c+2，
所以10 10c 12，
12 10c+2=S 14，
即m=14，n=12，
n m= 2，
故答案为 2.
18．我市某重点中学校团委、学生会发出倡议，在初中各年级捐款购买书籍送给我市贫困地区的学校．初一年级利用捐款买甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去5324元；初二年级买了A、B两种文学书籍若干本，用去4840元，其中A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同．若甲、乙两种书的单价之和为121元，则初一和初二两个年级共向贫困地区的学校捐献了 本书．
【答案】168
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲种书的单价为x元，数量为y本，乙种书的数量为z本，根据题意得：
，
整理得： ，
①+②得：121z+121y=10164，
z+y=84，
∵A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，
∴初一和初二两个年级共向贫困地区的学校捐献数是：84×2=168（本）；
【分析】设甲种书的单价为x元，数量为y本，乙种书的数量为z本，根据等量关系：甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去5324元和买了A、B两种文学书籍若干本，用去4840元列两个方程，组成方程组，不需要求出来xyz的具体数值，只要求出来z+y的值即可.
19．在△ABC中，∠A－∠C＝25°，∠B－∠A＝10°，则∠B＝ ．
【答案】75°
【知识点】三元一次方程组解法及应用；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：根据题意得 ，解出∠B＝75°．
故答案为：75°.
【分析】根据三角形的内角和可得∠A+∠B+∠C=180°，再和已知的两个方程联立，解此方程组可求出∠B的度数.
20．（2020七下·硚口月考）若x＋y＋z＝15，－3x－y＋z＝－25，x、y、z皆为非负数，记整式5x+4y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b = .
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得4x+2y=40，即2x+y=20，
y=20-2x，
①+②得-2x+2z=-10，即x-z=5，
z=x-5，
将y，z代入5x+4y+z得5x+4（20-2x）+（x-5），
整理得：-2x+75，
∵x、y、z皆为非负数，
∴ ，
解得：5≤x≤10，
∴-20≤-2x≤-10
55≤-2x+75≤65，
∴整式5x+4y+z的最大值为65，最小值为55，
即a=65，b=55，
∴a-b=10，
故答案为：10.
【分析】先用含x的代数式表达出y，z，然后将代数式代入5x+4y+z，得到-2x+75，根据x、y、z皆为非负数，确定出x的取值范围，然后可求出整式5x+4y+z的取值范围，即可求出答案.
21．（2019七下·长兴期中）
小红到超市购买钢笔、笔记本、圆珠笔发现：若购买3支钢笔、7个笔记本、1支圆珠笔共需315元；若购买4支钢笔、10个笔记本、1支圆珠笔，共需420元钱．现若只购买2支钢笔、6个笔记本，共需 元钱．
【答案】210
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设每支钢笔x元，每个笔记本y元，每支圆珠笔z元，根据题意得：
由②－①得：x+3y=105③
由③×2得
2x+6y=210
∴ 现若只购买2支钢笔、6个笔记本，共需210元。
故答案为：210
【分析】抓住题中关键的已知条件： 若购买3支钢笔、7个笔记本、1支圆珠笔共需315元；若购买4支钢笔、10个笔记本、1支圆珠笔，共需420元钱，设未知数建立关于x、y、z的方程组，利用加减消元法消去z，就可得到x+3y=105，然后将方程的两边同时乘以2，就可解答问题。
22．（2020七上·海淀期中）设 ，则3x-2y+z= ．
【答案】10
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解： ，
①-②得， ③，
①+③得， ，
故答案为：10．
【分析】用方程①-②得， ③，把方程①③相加得， 问题可解．
三、计算题
23．
【答案】解：原方程组变形为：
，
由（2）得：
x=9-4z（4），
由（3）得：
y=12+3z（5），
将（4）和（5）代入（1）得：
9-4z+2×（12+3z）+3z=15，
解得：z=-，
将z=-代入（4）、（5）得：
x=，y=，
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由（2）变形得：x=9-4z（4），由（3）变形得：y=12+3z（5），将将（4）、（5）代入（1）可求得z值，再将z值分别代入：（4）、（5）可求得x、y得值，从而得出原方程组的解.
24．
【答案】解：，
（2）+（3）得：
5x=2，
∴x=，
由（2）得：
y=x+3z-4 （4），
将（4）代入（1）得：
2x-3（x+3z-4 ）+4z=12，
解得：z=-，
将x=，z=-代入（4）得：
y=-，
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（2）+（3）可解得x值，由（2）变形得：y=x+3z-4 （4），将（4）代入（1）可解得z的值，将x、z的值代入（4）可求得y的值，从而得出原方程组的解.
25．
【答案】解：依题可设x=m，y=3m，z=5m，
∴x+y+z=m+3m+5m=18，
∴m=2，
∴x=2，y=6，z=10.
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】根据x：y：z=1：3：5可设x=m，y=3m，z=5m，再由x+y+z=18得出m值，将m值代入可求得x、y、z的值，从而得出原方程组的解.
26．
【答案】解：依题可设，
∴x=3m，y=2m，z=5m，
∵2x+3y-4z=8，
∴6m+6m-20m=8，
∴m=-1，
∴x=-3，y=-2，z=-5.
∴原方程组的解为：.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】依题可设，从而可得x=3m，y=2m，z=5m，再由2x+3y-4z=8求得m值，将m值代入可得x、y、z的值，从而得出原方程组的解.
四、解答题
27．（2017七下·大同期末）一个三位数，个位，百位上的数字的和等于十位上的数字，百位上的数字的7倍比个位，十位上的数字的和大2，个位，十位，百位上的数字的和是14，求这个三位数.
【答案】解：设这个三位数个位上的数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为x+y，
根据题意，得 ，解得 ，∴x+y=7
答：这个三位数是275.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】首先找出本题的等量关系：个位上的数字＋百位上的数字＝十位上的数字；百位上的数字×7-（个位数字＋十位上的数字）=2；个位上的数字＋十位上的数字＋百位上的数字＝14.设个位上的数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为x+y.可以得到7y-{x+（x+y)}=2，x+(x+y)+y=14，计算方程组即可．
28． 是关于x、y、z的方程 的一个解．试求a、b、c的值．
【答案】由题意，将x=-1，y=1，z=2代入原方程，得
由于，..
因此必有
即
解得a=3，b=1，c=-1.
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由平方、绝对值的非负性可得关于方程组：ax+by+2=0，ay+cz 1=0，bz+cx 3=0；再将x、y、z的值代入方程组中可得关于a、b、c的三元一次方程组，解之即可求得a、b、c的值。
29．（2020七下·温州期中）利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高度.
【答案】解：设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 ，
根据题意，可列方程组
两式相加得：
答：桌子高度 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】 设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 a,b，由图一可得桌子的高+长方形木块的长-长方形木块的宽=80cm，由图二可得桌子的高+长方形木块的宽-长方形木块的长=70cm，从而即可列出方程组，求解即可.
五、综合题
30．（2020七下·丽水期中）某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x，y台，其中每台的价格、销售获利如下表：
甲型 乙型 丙型
价格(元/台) 1000 800 500
销售获利(元/台) 260 190 120
（1）购买丙型设备 台(用含x，y的代数式表示)；
（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品(每种型号至少有一台)，恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案？
（3）在第(2)题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案？此时获利为多少？
【答案】（1）(60-x-y)
（2）解：由题意得，1000x+800y+500(60-x-y)=56000，
化简整理得：5x+3y=260，
∴x=52- y
当y=5时，x=49，60-x-y=6；
当y=10时，x=46，60-x-y=4；
当y=15时，x=43，60-x-y=2。
∴购进方案有三种，分别为：
方案一：甲型49台，乙型5台，丙型6台；
方案二：甲型46台，乙型10台，丙型4台；
方案三：甲型43台，乙型15台，丙型2台。
（3）解：方案一：260×49+190×5+120×6=14410(元)，故可获利14410元，
方案二一：260×46+190×10+120×4=14340(元)，故可获利14340元，
方案三：260×43+190×15+120×2=14270(元)，故可获利14270元，
因为14410>14340>14270，
所以购进甲型49台，乙型5台，丙型6台，获利最多，为14410元
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得： 购买丙型设备的数量为： 60-x-y（台）；
【分析】（1）根据丙型设备的台数＝60 甲的台数 乙的台数即可解决问题；
（2）根据购进甲型电子产品的钱数+购进乙型电子产品的钱数+购进丙型电子产品的钱数=56000列出方程，求出方程的整数解即可；
（3）分别求出三种方案的利润，即可判断.
31．某工程由甲、乙两队合作需6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合作需10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合作5天完成全部工程的，此时厂家需付甲、丙两队共5500元．
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若要不超过15天完成全部工程，问由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由
【答案】（1）解：设甲、乙、丙各队完成这项工程所需要时间分别为x天、y天、z天．
根据题意，得：
解得：．
经检验：x=10，y=15，z=30是原方程的解，且符合题意．答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程分别需10天、15天、30天．
（2）解：设甲、乙、丙各队工作一天，厂家需付报酬分别为a元、b元、c元．根据题意得：，解得 ．
丙队工作30天首先排除；
甲队完成项目所需费用为ax=8000元；乙队完成项目所需费用为by=650×15=9750元．答：甲队单独完成此项工程所需的费用最少．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）本题的相等关系有三个：“由甲、乙两队合作6天完成”和“乙、丙队合作10天完成”“甲、丙两队合作5天完成全部工程的”．考虑到问题要求的是规定的工期，设甲、乙、丙各队完成这项工程所需要时间分别为x天、y天、z天根据题意列出方程组解答．
（2）等量关系为：甲乙两队一天的工程费×6=8700；乙丙两队一天的工程费×10=9500；甲丙两队一天的工程费×5=5500．算出每队一天的工程费；根据工期选择相应的队，再比较总价钱即可．
32．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元．
（1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买；
（2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台．
【答案】（1）解：设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得，解得：；
②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得：，解得：；
③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得：，解得：，不合题意，舍去．
故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台．
（2）解：根据题意得：，解得：．
答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得，
解得：；②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得：，解得：；③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得：，解得：，不合题意，舍去．故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台．（2）根据题意得：，解得：．
答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台．
【分析】（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台，分情况讨论：当购买平板电脑、笔记本电脑时；购买台式电脑、笔记本电脑时；当购买台式电脑、笔记本电脑时分别建立方程组求出其解即可．（2）可根据三种不同类型的电脑的总量=26台，购进三种电脑的总费用=104 000元，以及题中给出的条件“笔记本电脑的购买量不少于15台”来列方程组，求出符合条件的方案．
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