高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程

高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2021高二上·山东月考）抛物线的焦点到准线的距离为|（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2020高二上·烟台期末）与双曲线 有公共焦点且离心率为 的椭圆的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2021高二上·聊城期中）已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
4．（2021高二上·潍坊）中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1的青花瓷花瓶的颈部（图2）外形上下对称，可近似看作是中心为原点，焦点在轴上离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，则双曲线的渐近线方程可以为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021高二上·聊城期中）设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．15
6．（2020高二上·烟台期末）设 ， 是椭圆 的焦点，若椭圆 上存在一点 满足 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高二上·商河月考）已知 是椭圆 （ ）的左焦点， 为右顶点， 是椭圆上一点， 轴，若 ，则该椭圆的离心率是. （　　）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·济南期末）历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点 ，若其近月点 (离月球表面最近的点)与月球表面距离为 公里，远月点 (离月球表面最远的点)与月球表面距离为 公里，并且 ， ， 在同一直线上．已知月球的半径为 公里，则该椭圆形轨道的离心率为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2021高二上·山东月考）曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与渐近线和双曲线分别交于（均在第一象限），连接，交另一支渐近线于E，且E为的中点，O是坐标原点．下列说法正确的是（　　）
A．双曲线的离心率
B．双曲线的渐近线方程为
C．当时，的面积为3
D．当时，的周长为
10．（2020高二上·潍坊期末）已知曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（　　）
A．当 ，曲线 为椭圆
B．当 时，曲线 为双曲线，其渐近线方程为
C．“ 或 ”是“曲线 为双曲线”的充要条件
D．不存在实数 使得曲线 为离心率为 的双曲线
11．（2020高二上·潍坊期末）过抛物线 的焦点 作一条直线 与抛物线相交于不同 ， 两点，则下列说法中正确的是（　　）
A．
B． 的最小值为
C．
D．以线段 为直径的圆与 轴相切
12．（2020高二上·烟台期末）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上， ， ， 为椭圆的顶点， 为右焦点，延长 与 交于点 ，若 为钝角，则该椭圆的离心率可能为（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2020高二上·潍坊期末）已知双曲线 上一点 坐标为 为双曲线 的右焦点，且 垂直于 轴.过点 分别作双曲线 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是　 　.
14．（2020高二上·黄岛期中）已知椭圆 的离心率等于 ，则实数 　 　.
15．（2020高二上·威海期末）已知A，B是椭圆 的左、右顶点，P为C上一点，设直线PA，PB 的斜率分别为 ，若 ，则椭圆的离心率为　 　.
16．（2020高二上·烟台期末）汽车前照灯的反射镜为一个抛物面．它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上．由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过进镜的折射等作用达到照亮路面的效果．如图，从灯泡发出的光线 经抛物线 反射后，沿 平行射出， 的角平分线 所在的直线方程为 ，则抛物线方程为　 　．
四、解答题
17．（2015高二上·淄川期末）已知直线x+y﹣1=0与椭圆 相交于A，B两点，线段AB中点M在直线 上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求椭圆的方程．
18．（2020高二上·烟台期末）动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ．
（1）求动点 的轨迹方程；
（2）设 ，点 为 轨迹上一点，且 ，求 的面积．
19．（2018高二下·河北期中）已知抛物线 的焦点为椭圆 的右焦点 ， 点 为此抛物线与椭圆 在第一象限的交点，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作两条互相垂直的直线 ，直线 与椭圆 交于 两点，直线 与直线 交于点 ，求 的取值范围.
20．（2018高二下·重庆期中）已知椭圆 的焦距为 ，且长轴与短轴的比为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆 的上、下顶点分别为 ，点 是椭圆上异于 的任意一点， 轴于点 ， ，直线 与直线 交于点 ，点 为线段 的中点，点 为坐标原点，求证： 恒为定值，并求出该定值.
21．（2015高二上·滨州期末）已知椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），点M（﹣2， ） 在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知斜率为k的直线l过椭圆C的右焦点F2，与椭圆C相交于A，B两点．
①若|AB|= ，求直线l的方程；
②设点P（ ，0），证明： 为定值，并求出该定值．
22．（2017高二下·菏泽开学考）如图，已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，短轴端点与椭圆的两个焦点所构成的三角形面积为1，过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在定点 ，使 恒为定值．若存在求出这个定值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的标准方程
【解析】【解答】整理为 ，即 ，焦点到准线的距离 ，
故答案为：C.
【分析】首先整理化简抛物线的方程，再由点到直线的距离公式计算出P的值即可。
2．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 与椭圆有公共焦点，可得 ，
椭圆的离心率为 ，可得 ，则 ，
则该椭圆方程为： 。
故答案为：D．
【分析】利用双曲线 与椭圆有公共焦点，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出椭圆中c的值，进而得出双曲线中c的值，再利用椭圆的离心率为 ，从而求出a的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出该椭圆的标准方程。
3．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线，可得，
因为，所以，，
过点作轴，垂足为，
则，，即，
又由点在过且斜率为的直线上，可得的方程为，
代入点的坐标，可得，
整理得，即，所以双曲线的离心率为。
故答案为：B.
【分析】由双曲线，可得，再利用，得出，，过点作轴，垂足为，再利用正弦函数的定义和余弦函数的定义得出，，从而求出点P的坐标，又由点在过且斜率为的直线上，再结合点斜式可得的方程为，再利用代入法得出a，c的关系式，进而结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
4．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线的标准方程为，
则离心率为，则，
又因为双曲线的渐近线方程为 ，即，也即。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合双曲线的离心率公式，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出a，b的关系式，进而求出双曲线的渐近线方程。
5．【答案】D
【知识点】椭圆的定义；余弦定理
【解析】【解答】由已知，①
由椭圆定义知，
，②
由余弦定理得，③
由①②③得出。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数量积的定义得出，①，由椭圆定义知，从而得出，②，由余弦定理得，③，由①②③得出 的值 。
6．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆方程为 ， ，排除A，D选项，
所以椭圆焦点在 轴， ， ，所以
当 点为椭圆短轴的端点时， 取得最大角，设 ，
则 ，解得 ，
的取值范围是 ， 。
故答案为：B．
【分析】利用椭圆标准方程为 ，从而求出实数m的取值范围， 所以椭圆焦点在 轴， ， ，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出c的值，再利用当点 为椭圆短轴的端点时， 取得最大角，设 ，再利用角 的取值范围结合正弦函数的图象，从而求出角的正弦值得取值范围，进而求出实数m得取值范围。
7．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题设可知 ，又 ，所以由题设可得 ，
故答案为：B．
【分析】由已知条件令x=c求出再由得到关于e的方程求解出其值即。
8．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知可得卫星的近地点、远地点离地心的距离分别为
设轨道的标准方程为
所以
解得 ，
所以椭圆形轨道的离心率为
故答案为：B
【分析】根据题意由已知条件结合椭圆的定义即可求出a与c的代数式，由离心率的公式即可得出答案。
9．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意得以为直径的圆的方程为，双曲线的渐近线方程为，，
由，得，即，
因为E为的中点，所以，
因为点在渐近线上，所以，解得，
所以离心率，所以A符合题意，
由，得，所以渐近线方程为，即，所以B不符合题意，
当时，，所以双曲线方程为，以为直径的圆的方程为，由，得，因为点在第一象限，所以，所以的面积为，所以C符合题意，
的周长为，所以D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】根据题意由双曲线的简单性质，结合圆的方程联立双曲线与圆的方程，求解出点的坐标，由此即可得出三角形的面积公式，再由边的大小即可求出三角形的周长，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的应用；双曲线的应用
【解析】【解答】对A，若 ，则曲线方程 表示圆，A不符合题意；
对B，当 时，曲线方程为 ，表示双曲线，其渐近线方程为 ，B符合题意；
对C，要使曲线为双曲线，需满足 ，解得 或 ，故“ 或 ”是“曲线 为双曲线”的充要条件，C符合题意；
对D，若离心率为 ，则 ，则可得 ，则 或 ，两个方程均无解，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合k的取值范围为 ，再利用圆的定义，从而推出曲线C为圆；再利用k的值为0结合双曲线求渐近线的方法，从而求出双曲线的渐近线方程；再利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出 “ 或 ”是“曲线 为双曲线”的充要条件 ；利用双曲线的离心率公式结合双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出a=b，进而得出 或 ，两个方程均无解，从而推出不存在实数 使得曲线 为离心率为 的双曲线，进而找出结论正确的选项。
11．【答案】B,C
【知识点】直线与圆相交的性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】选项 ：由抛物线的定义可知： . 错误；
选项 ：设直线 的方程为： ，
由 ，得 ，
， ， ，
所以 ，
所以 ，所以选项 正确；
选项 ：由选项 的分析过程可知： ，所以选项 正确；
选项 ：由选项 的分析过程可知： ，
所以以 为直径的圆的半径为 ，
又因为 中点的横坐标为 ，
若以线段 为直径的圆与 轴相切，则 ，显然矛盾，所以选项 错误.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合抛物线的定义，从而得出 ；设直线 的斜截式方程为： ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出
， ， ，再利用代入法得出 再利用抛物线的定义结合已知条件，从而求出 的最小值；再利用代入法得出 ；再利用抛物线的定义得出以 为直径的圆的半径，再利用中点坐标公式得出 中点的横坐标为 ，以线段 为直径的圆与 轴相切，从而结合直线与圆相切位置关系判断方法，从而得出 ，显然矛盾，从而得出说法正确的选项。
12．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意设 ， ， ， ，
则 ， ，
且 为向量 与 的夹角，
因为 为钝角，
则 ，即 ， ， ，
即 ，又 ，
所以 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 。
故答案为：BCD．
【分析】由题意设 ， ， ， ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，且 为向量 与 的夹角，再利用 为钝角结合数量积的定义，从而结合数量积的坐标表示得出，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，得出a，c的不等关系，再利用椭圆的离心率公式变形，从而结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出该椭圆的离心率的取值范围，进而求出该椭圆的离心率可能的值。
13．【答案】 或
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意知， ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
设过点 且与渐近线 平行的直线与渐近线 相交于点 ，如图所示，
直线 的方程为 ，
将其与 联立，解得 ， ，即 ， ，
，
点 ， 到直线 的距离为 ，
所围图形面积等于1，
，即 ，
化简得 ，
点 ， 在双曲线上， ，即 ，
，
又 ， ， 或 ， ，
离心率 或 。
故答案为： 或 。
【分析】利用已知条件结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，进而结合双曲线的渐近线方程，从而求出双曲线的渐近线方程，设过点 且与渐近线 平行的直线与渐近线 相交于点 ，从而设出直线 的点斜式方程为 ，将其与 联立，从而求出两直线交点A的坐标，即 ， ，再利用两点距离公式得出 ，再利用点到直线的距离公式得出点 ， 到直线 的距离为 ，再利用所围图形面积等于1，再结合矩形的面积公式得出 ，再利用点 ， 在双曲线上结合代入法，从而得出 ，进而求出ab的值，再利用双曲线中a，b，三者的关系式，从而求出a，b的值，再结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
14．【答案】8或
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】当椭圆的焦点在 轴时， ， ， ，
所以 ，解得： ，
当椭圆的焦点在 轴时， ， ， ，
所以 ，解得： .
故答案为：8或
【分析】 利用椭圆的离心率，列出方程求解即可.
15．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 。
故答案为： 。
【分析】利用 A，B是椭圆 的左、右顶点，P为C上一点，设 ， ，再利用两点求斜率公式结合求积法，再利用已知条件，从而求出a，b的关系式，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式变形，从而求出椭圆的离心率。
16．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】设 ，因为 在直线 上，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 平分 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 与 轴的交点为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又由抛物线的焦半径公式可知： ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以抛物线方程为 。
故答案为： 。
【分析】设 ，利用点 在直线 上，从而结合代入法得出 ，再利用 ，所以 ，再利用 平分 ，所以 ，所以 ，所以 ，再利用 与 轴的交点为 ，从而求出点M的坐标，再利用抛物线的标准方程求出焦点的坐标，再利用抛物线的定义得出的长 ，又由抛物线的焦半径公式可知的长 ，再利用已知条件得出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
17．【答案】（1）解：设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由 得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0．
△=﹣（2a2）2﹣（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，即a2+b2＞1．
x1+x2= ，y1+y2=﹣（ x1+x2）+2= ，
∴点M的坐标为（ ， ）．
又点M在直线l上，
∴ ﹣ =0，
∴a2=2b2=2（a2﹣c2），∴a2=2c2，
∴
（2）解：由（1）知b=c，设椭圆的右焦点F（b，0）关于直线 的对称点为（x0，y0），
由 ，解得
∵x02+y02=1，
∴ ，
∴b2=1，显然有a2+b2=3＞1．
∴所求的椭圆的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）设出A、B两点的坐标，联立直线与椭圆的方程得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x1+x2，y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．（2）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l的对称点为（x0，y0），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x0、y0；代入圆的方程 x02+y02=1，得出b的值，从而得椭圆的方程．
18．【答案】（1）解：设 ，由题意得 ，化简得 ，
所以动点 的轨迹方程为：
（2）解：由（1）知，双曲线 ， ， ，所以 和 为双曲线两焦点，
，设 ， ，则有 ，再由余弦定理得，
，
所以
【知识点】双曲线的应用
【解析】【分析】（1） 设 ，由题意结合两点距离公式和点到直线的距离公式，从而化简得 ，进而求出动点 的轨迹方程。
（2）由（1）知，得出双曲线中a，b的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出c的值，所以 和 为双曲线两焦点，进而求出的值 ，设 ， ，从而求出 的值 ，由余弦定理得出st的值，再利用三角形面积公式，从而求出三角形 的面积。
19．【答案】（1）解：由已知可得 的焦点坐标为 ，设 ，则
，解得 ，所以 ，由点 在椭圆 上，得 ，即
，又 ，解得 ，所以椭圆 的方程为
（2）解：设直线 的方程为 ，由 ，得 ，则 ，
，当 时，直线 的方程为 ，
由 ，得 .即 ，所以 ，
所以 ，设 ，则 ，则 ，
由于 ，在 上为增函数， ，则 ，当 时， 的中点为 ，则 ， ，综上， ，故 的取值范围是
【知识点】函数的单调性及单调区间；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）由抛物线焦点坐标和 | B F |的值可得出B点坐标，将B点代入已知椭圆方程和性质可以得出a、b的值，即可得出椭圆 C 的方程。
（2）设出直线PQ的方程和P、Q的坐标可求出|PQ|表达式，再由 F T 的方程和直线 l 2 与直线 x = 4 交于点 T可得出 |T F|表达式，俩个表达式结合即可得出所求范围。
20．【答案】（1）解：由题意 ，所以椭圆方程为 ；
（2）解：设点 ，则 .
因为点 在椭圆上，所以 ，
由（1）知， ，所以 ，
令 ，则点 .
又∵ ，∴ .
于是 ，
，
所以 ，恒为定值.
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由椭圆的简单性质可得a、b之间的关系式，解之可得.
（2）设出M点的坐标后，将有关的点都表示出来后，即可得到相应的向量的坐标，运算后可知结果为常数，并可得到这个常数.
21．【答案】（1）解：由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，
代入M的坐标，可得 + =1，
解得a= ，b= ，
即有椭圆方程为 =1；
（2）解：①设直线l的方程为y=k（x﹣2），
代入椭圆方程，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，
判别式△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）=24（1+k2）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2= ，x1x2= ，
|AB|=
= = ，
解方程可得k=±1，
即有直线l的方程为y=±（x﹣2）；
② =（x1﹣ ，y1） （x2﹣ ，y2）=（x1﹣ ）（x2﹣ ）+y1y2
=（x1﹣ ）（x2﹣ ）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）
=（1+k2）x1x2﹣（2k2+ ）（x1+x2）+（4k2+ ）
=（1+k2） ﹣（2k2+ ） +（4k2+ ）= +
=﹣6+ =﹣ ．
故 为定值﹣ ．
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由题意可得c=2，再将M的坐标代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k，进而得到所求直线的方程；②运用向量的数量积的坐标表示和点满足直线的方程，化简整理，代入韦达定理，计算即可得到所求定值．
22．【答案】（1）解：根据 ，
解得 ，
椭圆C的方程为
（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程得， ，
消y得（1+2k2）x2+8kx+6=0，
则x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
又∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣ ，
y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4= ．
∵ ，
∴ =
= ．
故 恒为定值
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质列方程解出a，b；（2）联立方程组消元，得出A，B坐标的关系，代入向量的数量积公式计算即可．
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修一 第三章 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2021高二上·山东月考）抛物线的焦点到准线的距离为|（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的标准方程
【解析】【解答】整理为 ，即 ，焦点到准线的距离 ，
故答案为：C.
【分析】首先整理化简抛物线的方程，再由点到直线的距离公式计算出P的值即可。
2．（2020高二上·烟台期末）与双曲线 有公共焦点且离心率为 的椭圆的标准方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线 与椭圆有公共焦点，可得 ，
椭圆的离心率为 ，可得 ，则 ，
则该椭圆方程为： 。
故答案为：D．
【分析】利用双曲线 与椭圆有公共焦点，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出椭圆中c的值，进而得出双曲线中c的值，再利用椭圆的离心率为 ，从而求出a的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出b的值，进而求出该椭圆的标准方程。
3．（2021高二上·聊城期中）已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线，可得，
因为，所以，，
过点作轴，垂足为，
则，，即，
又由点在过且斜率为的直线上，可得的方程为，
代入点的坐标，可得，
整理得，即，所以双曲线的离心率为。
故答案为：B.
【分析】由双曲线，可得，再利用，得出，，过点作轴，垂足为，再利用正弦函数的定义和余弦函数的定义得出，，从而求出点P的坐标，又由点在过且斜率为的直线上，再结合点斜式可得的方程为，再利用代入法得出a，c的关系式，进而结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
4．（2021高二上·潍坊）中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1的青花瓷花瓶的颈部（图2）外形上下对称，可近似看作是中心为原点，焦点在轴上离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，则双曲线的渐近线方程可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线的标准方程为，
则离心率为，则，
又因为双曲线的渐近线方程为 ，即，也即。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合双曲线的离心率公式，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出a，b的关系式，进而求出双曲线的渐近线方程。
5．（2021高二上·聊城期中）设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．15
【答案】D
【知识点】椭圆的定义；余弦定理
【解析】【解答】由已知，①
由椭圆定义知，
，②
由余弦定理得，③
由①②③得出。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合数量积的定义得出，①，由椭圆定义知，从而得出，②，由余弦定理得，③，由①②③得出 的值 。
6．（2020高二上·烟台期末）设 ， 是椭圆 的焦点，若椭圆 上存在一点 满足 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为椭圆方程为 ， ，排除A，D选项，
所以椭圆焦点在 轴， ， ，所以
当 点为椭圆短轴的端点时， 取得最大角，设 ，
则 ，解得 ，
的取值范围是 ， 。
故答案为：B．
【分析】利用椭圆标准方程为 ，从而求出实数m的取值范围， 所以椭圆焦点在 轴， ， ，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出c的值，再利用当点 为椭圆短轴的端点时， 取得最大角，设 ，再利用角 的取值范围结合正弦函数的图象，从而求出角的正弦值得取值范围，进而求出实数m得取值范围。
7．（2020高二上·商河月考）已知 是椭圆 （ ）的左焦点， 为右顶点， 是椭圆上一点， 轴，若 ，则该椭圆的离心率是. （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题设可知 ，又 ，所以由题设可得 ，
故答案为：B．
【分析】由已知条件令x=c求出再由得到关于e的方程求解出其值即。
8．（2020高二上·济南期末）历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点 ，若其近月点 (离月球表面最近的点)与月球表面距离为 公里，远月点 (离月球表面最远的点)与月球表面距离为 公里，并且 ， ， 在同一直线上．已知月球的半径为 公里，则该椭圆形轨道的离心率为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由已知可得卫星的近地点、远地点离地心的距离分别为
设轨道的标准方程为
所以
解得 ，
所以椭圆形轨道的离心率为
故答案为：B
【分析】根据题意由已知条件结合椭圆的定义即可求出a与c的代数式，由离心率的公式即可得出答案。
二、多选题
9．（2021高二上·山东月考）曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与渐近线和双曲线分别交于（均在第一象限），连接，交另一支渐近线于E，且E为的中点，O是坐标原点．下列说法正确的是（　　）
A．双曲线的离心率
B．双曲线的渐近线方程为
C．当时，的面积为3
D．当时，的周长为
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意得以为直径的圆的方程为，双曲线的渐近线方程为，，
由，得，即，
因为E为的中点，所以，
因为点在渐近线上，所以，解得，
所以离心率，所以A符合题意，
由，得，所以渐近线方程为，即，所以B不符合题意，
当时，，所以双曲线方程为，以为直径的圆的方程为，由，得，因为点在第一象限，所以，所以的面积为，所以C符合题意，
的周长为，所以D符合题意，
故答案为：ACD
【分析】根据题意由双曲线的简单性质，结合圆的方程联立双曲线与圆的方程，求解出点的坐标，由此即可得出三角形的面积公式，再由边的大小即可求出三角形的周长，由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2020高二上·潍坊期末）已知曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（　　）
A．当 ，曲线 为椭圆
B．当 时，曲线 为双曲线，其渐近线方程为
C．“ 或 ”是“曲线 为双曲线”的充要条件
D．不存在实数 使得曲线 为离心率为 的双曲线
【答案】B,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的应用；双曲线的应用
【解析】【解答】对A，若 ，则曲线方程 表示圆，A不符合题意；
对B，当 时，曲线方程为 ，表示双曲线，其渐近线方程为 ，B符合题意；
对C，要使曲线为双曲线，需满足 ，解得 或 ，故“ 或 ”是“曲线 为双曲线”的充要条件，C符合题意；
对D，若离心率为 ，则 ，则可得 ，则 或 ，两个方程均无解，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合k的取值范围为 ，再利用圆的定义，从而推出曲线C为圆；再利用k的值为0结合双曲线求渐近线的方法，从而求出双曲线的渐近线方程；再利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出 “ 或 ”是“曲线 为双曲线”的充要条件 ；利用双曲线的离心率公式结合双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出a=b，进而得出 或 ，两个方程均无解，从而推出不存在实数 使得曲线 为离心率为 的双曲线，进而找出结论正确的选项。
11．（2020高二上·潍坊期末）过抛物线 的焦点 作一条直线 与抛物线相交于不同 ， 两点，则下列说法中正确的是（　　）
A．
B． 的最小值为
C．
D．以线段 为直径的圆与 轴相切
【答案】B,C
【知识点】直线与圆相交的性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】选项 ：由抛物线的定义可知： . 错误；
选项 ：设直线 的方程为： ，
由 ，得 ，
， ， ，
所以 ，
所以 ，所以选项 正确；
选项 ：由选项 的分析过程可知： ，所以选项 正确；
选项 ：由选项 的分析过程可知： ，
所以以 为直径的圆的半径为 ，
又因为 中点的横坐标为 ，
若以线段 为直径的圆与 轴相切，则 ，显然矛盾，所以选项 错误.
故答案为：BC.
【分析】利用已知条件结合抛物线的定义，从而得出 ；设直线 的斜截式方程为： ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合判别式法和韦达定理，得出
， ， ，再利用代入法得出 再利用抛物线的定义结合已知条件，从而求出 的最小值；再利用代入法得出 ；再利用抛物线的定义得出以 为直径的圆的半径，再利用中点坐标公式得出 中点的横坐标为 ，以线段 为直径的圆与 轴相切，从而结合直线与圆相切位置关系判断方法，从而得出 ，显然矛盾，从而得出说法正确的选项。
12．（2020高二上·烟台期末）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上， ， ， 为椭圆的顶点， 为右焦点，延长 与 交于点 ，若 为钝角，则该椭圆的离心率可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意设 ， ， ， ，
则 ， ，
且 为向量 与 的夹角，
因为 为钝角，
则 ，即 ， ， ，
即 ，又 ，
所以 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 。
故答案为：BCD．
【分析】由题意设 ， ， ， ，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，且 为向量 与 的夹角，再利用 为钝角结合数量积的定义，从而结合数量积的坐标表示得出，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，得出a，c的不等关系，再利用椭圆的离心率公式变形，从而结合椭圆的离心率的取值范围，进而求出该椭圆的离心率的取值范围，进而求出该椭圆的离心率可能的值。
三、填空题
13．（2020高二上·潍坊期末）已知双曲线 上一点 坐标为 为双曲线 的右焦点，且 垂直于 轴.过点 分别作双曲线 的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于1，则该双曲线的离心率是　 　.
【答案】 或
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由题意知， ，
双曲线 的渐近线方程为 ，
设过点 且与渐近线 平行的直线与渐近线 相交于点 ，如图所示，
直线 的方程为 ，
将其与 联立，解得 ， ，即 ， ，
，
点 ， 到直线 的距离为 ，
所围图形面积等于1，
，即 ，
化简得 ，
点 ， 在双曲线上， ，即 ，
，
又 ， ， 或 ， ，
离心率 或 。
故答案为： 或 。
【分析】利用已知条件结合双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，进而结合双曲线的渐近线方程，从而求出双曲线的渐近线方程，设过点 且与渐近线 平行的直线与渐近线 相交于点 ，从而设出直线 的点斜式方程为 ，将其与 联立，从而求出两直线交点A的坐标，即 ， ，再利用两点距离公式得出 ，再利用点到直线的距离公式得出点 ， 到直线 的距离为 ，再利用所围图形面积等于1，再结合矩形的面积公式得出 ，再利用点 ， 在双曲线上结合代入法，从而得出 ，进而求出ab的值，再利用双曲线中a，b，三者的关系式，从而求出a，b的值，再结合双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
14．（2020高二上·黄岛期中）已知椭圆 的离心率等于 ，则实数 　 　.
【答案】8或
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】当椭圆的焦点在 轴时， ， ， ，
所以 ，解得： ，
当椭圆的焦点在 轴时， ， ， ，
所以 ，解得： .
故答案为：8或
【分析】 利用椭圆的离心率，列出方程求解即可.
15．（2020高二上·威海期末）已知A，B是椭圆 的左、右顶点，P为C上一点，设直线PA，PB 的斜率分别为 ，若 ，则椭圆的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 。
故答案为： 。
【分析】利用 A，B是椭圆 的左、右顶点，P为C上一点，设 ， ，再利用两点求斜率公式结合求积法，再利用已知条件，从而求出a，b的关系式，再利用椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出a，c的关系式，再利用椭圆的离心率公式变形，从而求出椭圆的离心率。
16．（2020高二上·烟台期末）汽车前照灯的反射镜为一个抛物面．它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上．由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过进镜的折射等作用达到照亮路面的效果．如图，从灯泡发出的光线 经抛物线 反射后，沿 平行射出， 的角平分线 所在的直线方程为 ，则抛物线方程为　 　．
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】设 ，因为 在直线 上，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为 平分 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 与 轴的交点为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又由抛物线的焦半径公式可知： ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以抛物线方程为 。
故答案为： 。
【分析】设 ，利用点 在直线 上，从而结合代入法得出 ，再利用 ，所以 ，再利用 平分 ，所以 ，所以 ，所以 ，再利用 与 轴的交点为 ，从而求出点M的坐标，再利用抛物线的标准方程求出焦点的坐标，再利用抛物线的定义得出的长 ，又由抛物线的焦半径公式可知的长 ，再利用已知条件得出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
四、解答题
17．（2015高二上·淄川期末）已知直线x+y﹣1=0与椭圆 相交于A，B两点，线段AB中点M在直线 上．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上，求椭圆的方程．
【答案】（1）解：设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由 得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0．
△=﹣（2a2）2﹣（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，即a2+b2＞1．
x1+x2= ，y1+y2=﹣（ x1+x2）+2= ，
∴点M的坐标为（ ， ）．
又点M在直线l上，
∴ ﹣ =0，
∴a2=2b2=2（a2﹣c2），∴a2=2c2，
∴
（2）解：由（1）知b=c，设椭圆的右焦点F（b，0）关于直线 的对称点为（x0，y0），
由 ，解得
∵x02+y02=1，
∴ ，
∴b2=1，显然有a2+b2=3＞1．
∴所求的椭圆的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）设出A、B两点的坐标，联立直线与椭圆的方程得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x1+x2，y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．（2）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l的对称点为（x0，y0），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x0、y0；代入圆的方程 x02+y02=1，得出b的值，从而得椭圆的方程．
18．（2020高二上·烟台期末）动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ．
（1）求动点 的轨迹方程；
（2）设 ，点 为 轨迹上一点，且 ，求 的面积．
【答案】（1）解：设 ，由题意得 ，化简得 ，
所以动点 的轨迹方程为：
（2）解：由（1）知，双曲线 ， ， ，所以 和 为双曲线两焦点，
，设 ， ，则有 ，再由余弦定理得，
，
所以
【知识点】双曲线的应用
【解析】【分析】（1） 设 ，由题意结合两点距离公式和点到直线的距离公式，从而化简得 ，进而求出动点 的轨迹方程。
（2）由（1）知，得出双曲线中a，b的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出c的值，所以 和 为双曲线两焦点，进而求出的值 ，设 ， ，从而求出 的值 ，由余弦定理得出st的值，再利用三角形面积公式，从而求出三角形 的面积。
19．（2018高二下·河北期中）已知抛物线 的焦点为椭圆 的右焦点 ， 点 为此抛物线与椭圆 在第一象限的交点，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作两条互相垂直的直线 ，直线 与椭圆 交于 两点，直线 与直线 交于点 ，求 的取值范围.
【答案】（1）解：由已知可得 的焦点坐标为 ，设 ，则
，解得 ，所以 ，由点 在椭圆 上，得 ，即
，又 ，解得 ，所以椭圆 的方程为
（2）解：设直线 的方程为 ，由 ，得 ，则 ，
，当 时，直线 的方程为 ，
由 ，得 .即 ，所以 ，
所以 ，设 ，则 ，则 ，
由于 ，在 上为增函数， ，则 ，当 时， 的中点为 ，则 ， ，综上， ，故 的取值范围是
【知识点】函数的单调性及单调区间；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【分析】（1）由抛物线焦点坐标和 | B F |的值可得出B点坐标，将B点代入已知椭圆方程和性质可以得出a、b的值，即可得出椭圆 C 的方程。
（2）设出直线PQ的方程和P、Q的坐标可求出|PQ|表达式，再由 F T 的方程和直线 l 2 与直线 x = 4 交于点 T可得出 |T F|表达式，俩个表达式结合即可得出所求范围。
20．（2018高二下·重庆期中）已知椭圆 的焦距为 ，且长轴与短轴的比为 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆 的上、下顶点分别为 ，点 是椭圆上异于 的任意一点， 轴于点 ， ，直线 与直线 交于点 ，点 为线段 的中点，点 为坐标原点，求证： 恒为定值，并求出该定值.
【答案】（1）解：由题意 ，所以椭圆方程为 ；
（2）解：设点 ，则 .
因为点 在椭圆上，所以 ，
由（1）知， ，所以 ，
令 ，则点 .
又∵ ，∴ .
于是 ，
，
所以 ，恒为定值.
【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由椭圆的简单性质可得a、b之间的关系式，解之可得.
（2）设出M点的坐标后，将有关的点都表示出来后，即可得到相应的向量的坐标，运算后可知结果为常数，并可得到这个常数.
21．（2015高二上·滨州期末）已知椭圆C： （a＞b＞0）的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），点M（﹣2， ） 在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知斜率为k的直线l过椭圆C的右焦点F2，与椭圆C相交于A，B两点．
①若|AB|= ，求直线l的方程；
②设点P（ ，0），证明： 为定值，并求出该定值．
【答案】（1）解：由题意可得c=2，即a2﹣b2=4，
代入M的坐标，可得 + =1，
解得a= ，b= ，
即有椭圆方程为 =1；
（2）解：①设直线l的方程为y=k（x﹣2），
代入椭圆方程，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，
判别式△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）=24（1+k2）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），即有x1+x2= ，x1x2= ，
|AB|=
= = ，
解方程可得k=±1，
即有直线l的方程为y=±（x﹣2）；
② =（x1﹣ ，y1） （x2﹣ ，y2）=（x1﹣ ）（x2﹣ ）+y1y2
=（x1﹣ ）（x2﹣ ）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）
=（1+k2）x1x2﹣（2k2+ ）（x1+x2）+（4k2+ ）
=（1+k2） ﹣（2k2+ ） +（4k2+ ）= +
=﹣6+ =﹣ ．
故 为定值﹣ ．
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）由题意可得c=2，再将M的坐标代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）①设直线l的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k，进而得到所求直线的方程；②运用向量的数量积的坐标表示和点满足直线的方程，化简整理，代入韦达定理，计算即可得到所求定值．
22．（2017高二下·菏泽开学考）如图，已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，短轴端点与椭圆的两个焦点所构成的三角形面积为1，过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在定点 ，使 恒为定值．若存在求出这个定值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：根据 ，
解得 ，
椭圆C的方程为
（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程得， ，
消y得（1+2k2）x2+8kx+6=0，
则x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
又∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=﹣ ，
y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）=k（x1+x2）+4= ．
∵ ，
∴ =
= ．
故 恒为定值
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质列方程解出a，b；（2）联立方程组消元，得出A，B坐标的关系，代入向量的数量积公式计算即可．
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