吉林省白山市2021-2022学年高三上学期期末考试数学（文）试题（Word版含答案解析）
文档属性
| 名称 | 吉林省白山市2021-2022学年高三上学期期末考试数学（文）试题（Word版含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 689.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-18 15:43:26 | ||
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文档简介
白山市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试卷（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．若x，y，z为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（ ）
A．189 B．252 C．324 D．405
6．已知，则关于x的方程有解的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知M为抛物线上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．18 B．36 C．54 D．108
10．某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（ ）
A．2020年第四季度的销售额为380万元
B．2020年上半年的总销售额为500万元
C．2020年2月份的销售额为60万元
D．2020年12个月的月销售额的众数为60万元
11．已知四棱锥P－ABCD的底面是矩形，平面ABCD，，，，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．若，且，则
C．以线段，为直径的两个圆外切
D．若点到C的一条渐近线的距离为，则C的实轴长为4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知是奇函数，且当时，．若，则______．
14．已知实数x，y满足约束条件则的最大值为______．
15．函数的图象在点处的切线的斜率为______．
16．若函数在上单调递减，且在上的最大值为3，则______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知，．
（1）求a；
（2）若，求A．
18．（12分）
已知等差数列满足，．数列的前n项和为，且．
（1）求数列与的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
19．（12分）
某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：
女生 男生 合计
环境保护 80 40 120
社会援助 40 40 80
合计 120 80 200
（1）能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？
（2）从本校随机抽取的120名问卷调查的女生中用分层抽样的方式，从参加环境保护和社会援助的同学中抽取6人开座谈会，再从这6人（假设所有的人年龄不同）中随机抽取参加环境保护和社会援助的同学各1人，试求抽取的6人中参加社会援助的年龄最大的同学被选中且参加环境保护的年龄最大的同学未被选中的概率．
附：，其中．
0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
20．（12分）
如图，AB是圆O的直径，圆O所在的平面，C为圆周上一点，D为线段PC的中点，，．
（1）证明：平面平面PBC．
（2）若，求三棱锥B－ACD的体积．
21．（12分）
已知O为坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设C的左、右焦点分别为，，过作直线l交C于P，Q两点，若的面积为，求直线l的斜率．
22．（12分）
已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
白山市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试卷参考答案（文科）
1．C
【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．
解：因为，，所以．
2．B
【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养．
解：因为，所以，解得．
3．A
【解析】本题考查平面向量的夹角，考查数学运算的核心素养．
解：设向量与的夹角为，
因为，所以．
4．A
【解析】本题考查常用逻辑用语，考查逻辑推理的核心素养．
解：因为，，所以；
反之，取，，，
它们满足，但不满足．因此，选A．
5．C
【解析】本题考查数列的通项公式与求和公式，考查数学运算的核心素养．
解：设的公差为d，由，得，
联立方程组解得所以．
6．A
【解析】本题考查几何概型，考查数学运算的核心素养．
解：因为方程有解．
所以；解得，
所以所求的概率为．
7．B
【解析】本题考查抛物线，考查数学运算的核心素养．
解：设点M的纵坐标为，
因为点M到C的焦点的距离为7，所以，
又点M到x轴的距离为5，所以，
由，得．
8．A
【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．
解：．
9．C
【解析】本题考查三视图与几何体的体积，考查直观想象的核心素养．
解：由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，
其中等腰直角三角形的腰长为，直三棱柱的高为6，
所以体积．
10．D
【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析、数学运算的核心素养．
解：2020年全年的销售额为万元，故第四季度的销售额为万元，A错误；
2020年上半年的总销售额为万元，B错误；
2020年2月份的销售额为万元，C错误；
3，4，12三个月的月销售额均为60万元，D正确．
11．D
【解析】本题考查四棱锥外接球的表面积，考查直观想象、数学运算的核心素养．
解：显然线段PC是四棱锥P－ABCD外接球的直径，
因为平面ABCD，四边形ABCD是矩形，
所以，
所以．
12．C
【解析】本题考查双曲线，考查直观想象、数学运算的核心素养．
解：对于A，设，则，
因为，，
所以，
由，得，故A错误．
对于B，因为，所以，
根据双曲线的定义可得，
又因为，所以，整理得．
由，可得，
即，解得，故B错误．
对于C，设的中点为，O为原点．
因为为的中位线，
所以，
则可知以线段，为直径的两个圆外切，故C正确．
对于D，因为点到C的一条渐近线的距离为，所以．
又由前面的推理可知，所以，，故D错误．
13．1
【解析】本题考查函数的性质与求值，考查数学运算的核心素养．
解：因为是奇函数，所以，解得．
14．3
【解析】本题考查线性规划，考查直观想象、数学运算的核心素养．
解：画出可行域（图略）知，当直线过点时，z取得最大值3．
15．
【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．
解：因为，所以，
即函数的图象在点处的切线的斜率为．
16．
【解析】本题考查三角函数的性质；考查数学证算的核心素养．
解：由题意得，且，，，解得．
17．解：（1）因为，
所以，
解得，故．
（2）因为，所以，
所以，化简得．
又，所以．
由，得．
因为，所以或．
18．解：（1）设的公差为d，
因为，所以，
又，由，得，
所以．
数列的前n项和为，且，①
当时，，②
①－②，得．
当时，，满足，所以．
（2）因为，
所以，③
，④
③－④，得，
所以．
19．解：（1）因为，
所以没有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关．
（2）根据题意可知，从本校随机抽取的120名问卷调查的女生中用分层抽样的方式，
从参加环境保护和社会援助的女同学中抽取6人开座谈会，则根据分层抽样的定义不难求得，有2名参加社会援助的女同学和4名参加环境保护的女同学．
若将参加社会援助的2名女同学和参加环境保护的4名女同学按照年龄从大到小排列顺序如下：
参加社会援助的同学有，；参加环境保护的同学有，，，．
现从这2名参加社会援助的同学和4名参加环境保护的同学中各随机选1人，
包含的基本事件有
，，，，，，，，共8个，
参加社会援助的年龄最大的同学被选中，且参加环境保护的年龄最大的同学未被选中，
包含的基本事件有，，，共3个，
故所求概率．
20．（1）证明：因为圆O所在的面，即平面ABC，而平面ABC，
所以．
因为AB是圆O的直径，C为圆周上一点，所以．
又，所以平面PAC，而平面PAC，则．
因为，，所以．
又，所以，
又D为线段PC的中点，所以．
又，
所以平面PBC，而平面ABD，
故平面平面PBC．
（2）解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积．
在中，因为，，所以，，
所以．
因为平面ABC，D为PC的中点，
所以点D到平面ABC的距离．
所以．
21．解：（1）易知，．
因为的面积为，所以．
又直线AB的方程为，即，
点O到直线AB的距离为，所以．
联立方程组解得所以椭圆C的方程为．
（2）显然直线l的斜率不为0，由（1）知，
设l：，，，
联立方程组消去x，得，
由韦达定理可得，．
所以．
由，化简得，解得，所以直线l的斜率为．
22．解：（1）由题意知的定义域为．
当时，，所以．
令，得；令，得．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）若存在，使得成立，
等价于当时，有解，
即函数在上的最小值小于0．
则．
①当，即时，，在上单调递减，
，
由，得，又，所以．
②当，即时，，在上单调递增，
，由，得，
又，所以无解．
③当，即时，有，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以，又，所以，
从而，
所以无解．
综上，，即实数a的取值范围为．
数学试卷（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．若x，y，z为非零实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（ ）
A．189 B．252 C．324 D．405
6．已知，则关于x的方程有解的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知M为抛物线上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．18 B．36 C．54 D．108
10．某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（ ）
A．2020年第四季度的销售额为380万元
B．2020年上半年的总销售额为500万元
C．2020年2月份的销售额为60万元
D．2020年12个月的月销售额的众数为60万元
11．已知四棱锥P－ABCD的底面是矩形，平面ABCD，，，，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．若，且，则
C．以线段，为直径的两个圆外切
D．若点到C的一条渐近线的距离为，则C的实轴长为4
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知是奇函数，且当时，．若，则______．
14．已知实数x，y满足约束条件则的最大值为______．
15．函数的图象在点处的切线的斜率为______．
16．若函数在上单调递减，且在上的最大值为3，则______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，已知，．
（1）求a；
（2）若，求A．
18．（12分）
已知等差数列满足，．数列的前n项和为，且．
（1）求数列与的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
19．（12分）
某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：
女生 男生 合计
环境保护 80 40 120
社会援助 40 40 80
合计 120 80 200
（1）能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？
（2）从本校随机抽取的120名问卷调查的女生中用分层抽样的方式，从参加环境保护和社会援助的同学中抽取6人开座谈会，再从这6人（假设所有的人年龄不同）中随机抽取参加环境保护和社会援助的同学各1人，试求抽取的6人中参加社会援助的年龄最大的同学被选中且参加环境保护的年龄最大的同学未被选中的概率．
附：，其中．
0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
20．（12分）
如图，AB是圆O的直径，圆O所在的平面，C为圆周上一点，D为线段PC的中点，，．
（1）证明：平面平面PBC．
（2）若，求三棱锥B－ACD的体积．
21．（12分）
已知O为坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设C的左、右焦点分别为，，过作直线l交C于P，Q两点，若的面积为，求直线l的斜率．
22．（12分）
已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
白山市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试卷参考答案（文科）
1．C
【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．
解：因为，，所以．
2．B
【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养．
解：因为，所以，解得．
3．A
【解析】本题考查平面向量的夹角，考查数学运算的核心素养．
解：设向量与的夹角为，
因为，所以．
4．A
【解析】本题考查常用逻辑用语，考查逻辑推理的核心素养．
解：因为，，所以；
反之，取，，，
它们满足，但不满足．因此，选A．
5．C
【解析】本题考查数列的通项公式与求和公式，考查数学运算的核心素养．
解：设的公差为d，由，得，
联立方程组解得所以．
6．A
【解析】本题考查几何概型，考查数学运算的核心素养．
解：因为方程有解．
所以；解得，
所以所求的概率为．
7．B
【解析】本题考查抛物线，考查数学运算的核心素养．
解：设点M的纵坐标为，
因为点M到C的焦点的距离为7，所以，
又点M到x轴的距离为5，所以，
由，得．
8．A
【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．
解：．
9．C
【解析】本题考查三视图与几何体的体积，考查直观想象的核心素养．
解：由三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，
其中等腰直角三角形的腰长为，直三棱柱的高为6，
所以体积．
10．D
【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析、数学运算的核心素养．
解：2020年全年的销售额为万元，故第四季度的销售额为万元，A错误；
2020年上半年的总销售额为万元，B错误；
2020年2月份的销售额为万元，C错误；
3，4，12三个月的月销售额均为60万元，D正确．
11．D
【解析】本题考查四棱锥外接球的表面积，考查直观想象、数学运算的核心素养．
解：显然线段PC是四棱锥P－ABCD外接球的直径，
因为平面ABCD，四边形ABCD是矩形，
所以，
所以．
12．C
【解析】本题考查双曲线，考查直观想象、数学运算的核心素养．
解：对于A，设，则，
因为，，
所以，
由，得，故A错误．
对于B，因为，所以，
根据双曲线的定义可得，
又因为，所以，整理得．
由，可得，
即，解得，故B错误．
对于C，设的中点为，O为原点．
因为为的中位线，
所以，
则可知以线段，为直径的两个圆外切，故C正确．
对于D，因为点到C的一条渐近线的距离为，所以．
又由前面的推理可知，所以，，故D错误．
13．1
【解析】本题考查函数的性质与求值，考查数学运算的核心素养．
解：因为是奇函数，所以，解得．
14．3
【解析】本题考查线性规划，考查直观想象、数学运算的核心素养．
解：画出可行域（图略）知，当直线过点时，z取得最大值3．
15．
【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．
解：因为，所以，
即函数的图象在点处的切线的斜率为．
16．
【解析】本题考查三角函数的性质；考查数学证算的核心素养．
解：由题意得，且，，，解得．
17．解：（1）因为，
所以，
解得，故．
（2）因为，所以，
所以，化简得．
又，所以．
由，得．
因为，所以或．
18．解：（1）设的公差为d，
因为，所以，
又，由，得，
所以．
数列的前n项和为，且，①
当时，，②
①－②，得．
当时，，满足，所以．
（2）因为，
所以，③
，④
③－④，得，
所以．
19．解：（1）因为，
所以没有99%的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关．
（2）根据题意可知，从本校随机抽取的120名问卷调查的女生中用分层抽样的方式，
从参加环境保护和社会援助的女同学中抽取6人开座谈会，则根据分层抽样的定义不难求得，有2名参加社会援助的女同学和4名参加环境保护的女同学．
若将参加社会援助的2名女同学和参加环境保护的4名女同学按照年龄从大到小排列顺序如下：
参加社会援助的同学有，；参加环境保护的同学有，，，．
现从这2名参加社会援助的同学和4名参加环境保护的同学中各随机选1人，
包含的基本事件有
，，，，，，，，共8个，
参加社会援助的年龄最大的同学被选中，且参加环境保护的年龄最大的同学未被选中，
包含的基本事件有，，，共3个，
故所求概率．
20．（1）证明：因为圆O所在的面，即平面ABC，而平面ABC，
所以．
因为AB是圆O的直径，C为圆周上一点，所以．
又，所以平面PAC，而平面PAC，则．
因为，，所以．
又，所以，
又D为线段PC的中点，所以．
又，
所以平面PBC，而平面ABD，
故平面平面PBC．
（2）解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积．
在中，因为，，所以，，
所以．
因为平面ABC，D为PC的中点，
所以点D到平面ABC的距离．
所以．
21．解：（1）易知，．
因为的面积为，所以．
又直线AB的方程为，即，
点O到直线AB的距离为，所以．
联立方程组解得所以椭圆C的方程为．
（2）显然直线l的斜率不为0，由（1）知，
设l：，，，
联立方程组消去x，得，
由韦达定理可得，．
所以．
由，化简得，解得，所以直线l的斜率为．
22．解：（1）由题意知的定义域为．
当时，，所以．
令，得；令，得．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）若存在，使得成立，
等价于当时，有解，
即函数在上的最小值小于0．
则．
①当，即时，，在上单调递减，
，
由，得，又，所以．
②当，即时，，在上单调递增，
，由，得，
又，所以无解．
③当，即时，有，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以，又，所以，
从而，
所以无解．
综上，，即实数a的取值范围为．
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