吉安市高二上学期期末教学质量检测 2022.1
数学试题(理科)参考答案
分条件 故选
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ． B．
７．C 双曲线C１,C２ 的实轴长与参数t和m 有关,所
答案 C D B A C B
以实轴长不一定相等,故 A 错误;因为双曲线C１ 的
题号 ７ ８ ９ １０ １１ １２
焦点在x 轴上,双曲线C２ 的焦点在y 轴上,所以焦
答案 C D A C B A 点坐标不同,故 B 错误;因 为 (９－t)＋ (t－４)＝
２π
１．C 由题意得该直线的斜率为－ ３,其倾斜角为 (１６－m)＋(m－１１)＝５,所以两个双曲线的焦距相３．
c
故选C． 等,所以C 正确;因为离心率e＝ , 相等, 不一a c a
( ) x＋a, ( ) e
x－(x＋a)ex
２．D f x ＝ f′ x ＝ ＝ 定相等,故离心率不一定相等,故 D错误．故选C．ex e２x
８．D 因为M,N 分别是OA ,BC 的中点,所以O→M＝
１－x－a, () １－a所以
ex f′ ０ ＝ ０ ＝－１
,所以 故
e a＝２． １O→A,O→ １N＝ (O→ ２B＋O→C)．因为M→G＝ M→N,所以２ ２ ３
选 D．
, ; O→G＝O→ → → ２ → → ２ →３．B 棱柱的侧面都是平行四边形 A 不正确 棱台是 M＋MG＝OM ＋ ３MN＝OM ＋ (３ ON－
由对应的棱锥截得的,B正确;不是所有几何体的表 →) １ → ２ １ １ １ １OM ＝ →２OA＋３ ( ２OB＋ O→ →２ C－２OA) ＝６O→A＋面都能展开成平面图形,例如球不能展开成平面图
形,C不正确;正棱锥的各条棱长并不是都相等,应 １O→ １ １ １ １３ B＋３O
→C＝６a＋３b＋ 故选３c． D．
该为正 棱 锥 的 侧 棱 长 都 相 等,所 以 D 不 正 确．故
９．A 根据椭圆的定义可知,|PF１|＋|PF２|＝２a＝８,
选B．
４．A 由题意可知,
即
３n 的个位数从n＝１开始,以３,９, m＋n＝８
,因为m≥４－ ７＞０,n≥４－ ７＞０,所
７,１的顺序循环出现,周期为４,所以３２０２１的个位数 １ ４ １ １ ４以
m ＋n ＝ ８ ( m ＋n ) ( １ nm＋n)＝ ８ (５＋m ＋
字是３．故选 A．
４m １ n ４m ９
５．C S＝４πR２＝４８４π,得 R＝１１,故该球的半径为 n ) ≥８× (５＋２ m n ) ＝ ,当且仅当８ m＝
１１cm．若要使这个正方形盒子的体积最小,则这个 ８, ８, １６n＝ n＝ 时等号成立．故选 A．
正方体正好是该球的外切正方体,所以正方体的棱 ３ ３ ３
长等于球的直径,即２２cm,所以这个正方体盒子的 π １１０．C 由题意得,当∠AFB＝ 时,２ S△FAB ＝２×２p×
最小体积为V ＝２２３＝１０６４８cm３min ．故选C．
π π
６．B 若|MF ,解得 ;当 或１|＋|MF２|＞|F１F２|,则点 M 的轨迹是 p＝８ p＝２２ ∠FAB ２ ＝ ∠FBA＝ ２
以F１,F２ 为焦点的椭圆,若|MF１|＋|MF２|＝
时, １S ２△FAB ＝ p ＝８,解得p＝４,所以抛物线的方
|F１F２|,则 点 M 的 轨 迹 是 线 段 F１F２,所 以 由 ２
“|MF１|＋|MF２|为定值”不一定得到“点 M 的轨迹 程是y２＝４ ２x 或y２＝８x．故选C．
是椭圆”．反之,若“点 M 的轨迹是椭圆”,则一定能 １１．B 直线l可化为３x－y－１－t(２x－y－２)＝０,令
得到“|MF１|＋|MF２|为 定 值”．所 以 “|MF１|＋ ３x－y－１＝０, x＝－１,
解得 所以点A 的坐标为
|MF２|为定值”是“点 M 的轨迹是椭圆”的必要不充 {２x－y－２＝０, {y＝－４,
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(－１,－４)．设点A(－１,－４)关于直线x－y－５＝０ , , πl２ 垂直 所以直线m 的斜率为１ 倾斜角α＝４．
ìb＋４ ,
a＋１
＝－１
１５．２ 因为A→B⊥B→C,B→C⊥C→D,A→D＝A→B＋B→C＋
的对称点为B(a,b),则由 í 解
a－１ b－４
－ －５＝０, C
→D,所以AD→２＝AB→２＋BC→２＋CD→２＋２A→B C→D＝
２ ２
３＋１＋１＋２ ３ , １
cos１５０°＝２,所以|AD→|＝ ２．
{a＝１得 所以点B 坐标为(１,－６)．由线段垂直, １６．－３ 过点A 作AA′⊥l,垂足b＝－６
为 ,过点 作 ,垂足
平分线的性质可知, A′ B BB′⊥l|AM|＝|BM|,所以|AM|＋
为B′,由 抛 物 线 的 定 义 可 知
|MN|＝|BM|＋|MN|≥|BN|≥|BC|－r＝６－
( , , , |AA′|＝|AF|
,|BB′|＝|BF|,
２＝４ 当 且 仅 当 B M N C 四 点 共 线 时 等 号 成
不妨设
), |AF|＝x
,因为A→F＝
立 所以|AM|＋|MN|的最小值为４,故选B．
, １１２．A 若直线l的斜率存在且不为０ 根据双曲线的 F→B,所以|FB|＝２x,因 为２
对称性,此时满足|AB|＝５的直线l的个数为偶 |PA| |AA′| |AF|
, △PAA′∽△PBB′
,所以
|PB|＝|BB′|＝|BF|＝数 所以直线l的斜率为０或斜率不存在．当直线l
的斜率为０时,A,B 为双曲线的左、右顶点,由|AB|＝ １, |PA| |PA| １即 ,所以
２ |PA|＋|AB|＝|PA|＋３x＝ ２ |PA|＝
２ ２
２a＝５,
x y
得双曲线C 的方程为２５－
,易得,过
２９＝１ , |PA| ３x３x 所以|AF|＝x ＝３
,因为A→P与A→F反向,所以λ＝
４ ４
２９ －３．
２×４ ２９
点F 的通径长为 ＝ ＞５,,满足条件,此时 １７．解:(１)对于q:所有的非负整数都是自然数,显然正５ ５
２ 确． １分
２５ ２９ 因为p∧q为假,所以p 为假． ２分
４＋４ ３ ６ ２
双曲线C 的离心率e＝ ＝ ; 所以“函数f(x)＝x －ax＋１没有零点”为真,５ ５
２ ３分
２
当直线l的斜率不存在时,此时AB 为双曲线过点 所以a －４＜０,解得－２＜a＜２．
２(a２＋１) １ 所以实数a的取值范围是(－２,２)． ５分
F 的通径,则|AB|＝ ＝５,解得a＝ 或a ２ (２)对于p:x２－２x－８＞０,解得x＜－２或x＞４．
１
a＝２,当a＝ 时,实轴长为１,因为１＜５,所以满 ６分２
对于q,不等式的解集为(m,m＋１), ７分
足|AB|＝５的直线有３条;当a＝２时,实轴长为
因为p 是q的必要不充分条件,
４,因为４＜５,所以满足|AB|＝５的直线也有３条．
所以(m,m＋１) (－∞,－２)∪(４,＋∞),
综上所述, ３ ６双曲线C 的离心率为 ５ ．
故选 A． ８分
１３． x０∈R,sinx ＋１＜０ 命题“ x∈Rsinx＋１≥０” 所以m＋１≤－２或m≥４
, ９分
０
的否定是“ x ∈R,sinx ＋１＜０”． 所以m≤－３或m≥４,０ ０
π 所以实数m 的取值范围是(－∞,－３]∪[４,＋∞)．
１４． 设直线 m 与直线４ l１
,l２ 分别相交于 A,B 两 １０分
点,由题意知,平行直线l１ 与直线l２ 之间的距离
１８．解:(１)
１
因 为 所 求 的 切 线 与 直 线 y＝ － ２x＋１|－１＋３|
d＝ ＝ ２＝|AB|,所以直线m 与直线l１,
２ 垂直,
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故所求切线的斜率为２． ２分 ２ ４ １０
所以|AB|＝２ r２１－d２ ＝２ ２－ ,所
１ ５
＝ ５
因为y＝lnx 所以y′＝ ,x ４ １０
以两圆的公共弦长为 ． １２分
１ １ １
令 ＝２得x＝ ,所以切点坐标为 ( ,－ln２) , ５x ２ ２ ２０．解:(１)∵点E 在椭圆C 上,
４分
４ １４
１ ∴２a＝|EF１|＋|EF２|＝ ＋
,即
３ ３＝６ a＝３．
故所求切线方程为y＋ln２＝２(x－ ) ,即２ ２x－ ２分
y－ln２－１＝０． ６分
在Rt△EF１F２ 中,|F ２１F２|＝ |EF２|－|EF|２１ ＝
(２)设切点坐标为(x０,ex０), ７分
x, x, ２０＝２ ５,因为y＝e 所以y′＝e
所以切线的斜率k＝ex０, ８分 ∴椭圆C 的半焦距c＝ ５． ４分
故所求切线方程为y－ex０＝ex０(x－x０)． ９分 ∵b＝ a２－c２ ＝ ９－５＝２,
因为切线过原点,所以－ex０＝－x０ex０, x２ y２
∴椭圆C 的方程为 ＋ ＝１． ６分
所以x０＝１, １１分 ９ ４
所以切线方程为y－e＝e(x－１),即ex－y＝０． (２)设A(x１,y１),B(x２,y２),若直线l的斜率不存
１２分 在,显然不符合题意． ７分
２ 从而可设过点 P(－２,１)的直线l 的方程为y＝
１９．解:(１)圆C 的标准方程为(x－１)２＋ ( my＋ ２ ) ＝ k(x＋２)＋１,
m２
１＋ , 将直线l的方程代入椭圆C 的方程,得４
(４＋９k２)x２＋(３６k２＋１８k)x＋３６k２＋３６k－２７＝０,
m m２
所以圆心为 (１,－ ) ,半径２ r＝ １＋ ４ ． ３６k２＋１８k则x１＋x２＝－ ２ ． ９分４＋９k
１分
∵P 为线段AB 的中点,
m ２ m２
由勾股定理可得(４－１)２＋ (３＋ ２ ) ＝１＋ ４ ＋ x１＋x２ １８k２＋９k , ８∴ ２ ＝－ ４＋９k２ ＝－２ 解得k＝９．
( １１)２, ２分
１１分
解得m＝－２． ４分
８
所以圆C 的标准方程为(x－１)２＋(y－１)２＝２． 故直线l的方程为y＝－ (x＋２)９ ＋１
,
６分 即８x－９y＋２５＝０(经检验,所求直线方程符合题
(２)由题意得圆C 的圆心C(１,１),半径r１＝ ２,圆 意)． １２分
M 的圆心M(０,－２),半径r２＝２ ２, ２１．(１)证明:因为AC 是圆O 的直径,点B 是圆O 上
因为|CM|＝ １０,r２－r１＜|CM|＜r ＋r ,所以 不与A,C 重合的一个动点,１ ２
圆C 和圆M 相交． ９分 所以AB⊥BC． １分
设两圆相交于A,B 两点,则两圆的方程相减得直 因为PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,
线AB 的方程为x＋３y－２＝０, １０分 所以PA⊥BC．
, , ,
|１＋３－２| １０ 因为AB∩PA＝A 且AB PA 平面PAB
圆心C 刻直线AB 的距离d＝ ＝ ．
１０ ５ 所以BC⊥平面PAB． ２分
１１分 因为AE 平面PAB,
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所以BC⊥AE． ３分
cos m,n
m n －１ ２
＝|m||n|＝ ＝－ ．
１１分
因为 AE ⊥PB,BC∩PB ＝B,且 BC,PB 平 ２ ２
面PBC, 因为二面角EＧACＧB 是锐角,
所以AE⊥平面PBC． ４分 ２
所以二面角EＧACＧB 的余弦值为 １２分
因为PC 平面PBC, ２
所以AE⊥PC． ５分 ２２．解:(１)因为动点P 到点F(４,０)的距离比到直线
(２)解:因 为 ∠PCA ＝ x＋６＝０的距离小２,
４５°,AC＝４,所以 PA＝ 所以动点P 到点F(４,０)的距离和它到直线x＝
４,所以三棱锥的体积V＝ －４的距离相等,
１ ４ 所以点 的轨迹是以 (,)为焦点,以直线
２ S△ABC PA＝３×AB×
P F ４０ x＝
－４为准线的抛物线． ２分
２ AB２＋BC２
BC≤ ３ × ２ ＝ 设抛物线方程为y
２＝２px(p＞０),
AC２ １６ p
＝ ,(当且仅当“３ ３ AB＝BC
”时等号成立)． 由２＝４
,得p＝８．
所以当三棱锥PＧABC 的体积最大时,△ABC 是等 所以动点P 的轨迹方程为y２＝１６x． ４分
腰直角三角形,OB⊥AC． ６分 (２)由题意可知,直线l的斜率不为０．
所以以OB,OC 所在直线分别为x 轴,y 轴,以过点 故设 直 线l 的 方 程 为x＝my＋４,A(x１,y１),
O 且垂直于圆O 平面的直线为z 轴建立如图所示 B(x２,y２)． ５分
的空间直角坐标系,则 A(０,－２,０),B(２,０,０),
{y
２＝１６x,
２
C(０,２,０),
联立 得
P(０,－２,４)． y －１６my－６４＝０
,
x＝my＋４,
BA BE
因为△BAE∽△BPA,所以 ,因为BP＝BA BA＝
Δ＝２５６m２＋２５６＞０恒成立．
由韦达定理,得y１＋y２＝１６m,y１y２＝－６４．
OA２＋OB２ ＝２ ２,
７分
２ ２ , BA
２ ２６
BP＝ BA ＋PA ＝２６ 所以BE＝BP ＝ ３ ＝ 假设存在一点 M(t,０)(t≠４),满足题意,
１ 则射线 MF 平分∠AMB,
３BP
,
则直线AM 的斜率kAM 与直线BM 的斜率kBM 满足
１
所以A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋ B→P＝(２,２,０)３ ＋ kAM ＋kBM ＝０,
１ ( ４ ４ ４
y１ y) 即 ＋ ２
y１(my２＋４－t)＋y２(my１＋４－t)
(－２, ,３ －２４
)＝ , , , ＝３ ３ ３ x１－t x２－t (x１－t)(x２－t)
A→C＝(０,４,０)． ７分 ＝０． ９分
设向量n＝(x,y,z)为平面EAC 的一个法向量,则 所以２my１y２＋(４－t)(y１y２)＝０,
n A→E＝０, ４ ４ ４ 所以, －１２８m＋１６m(４－t)＝０,即m(－４－t)＝０．{ {３x＋３y＋３z＝０→ 即 因为m(－４－t)＝０对任意m 恒成立,n AC＝０, ４y＝０．
所以－４－t＝０,即t＝－４． １１分
令x＝１得,n＝(１,０,１)． ９分
所以存在一点 M,满足d１ ＝d２,点 M 的坐标为
向量m＝(０,０,１)为平面ABC 的一个法向量,
(－４,０)． １２分
１０分
吉安市高二上学期期末教学质量检测 数学试题 理科 参考答案 第 ４页 共４页吉安市高二上学期期末教学质量检测2m21
数学试题(理科)
(测试时间:120分钟卷而总分:150分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干
净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效
3.考试结束后,将答题卡交回。
选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。
1.直线3ax+ay+1=0(a∈R且a≠0)的倾斜角为
B
3
2.已知函数
若f(0)=-1,则a
A.-1
B.0
D.2
3.下列说法中正确的是
A.棱柱的侧面可以是三角形
B棱台的所有侧棱延长后交于一点
C.所有几何体的表面都能展开成平面图形D.正棱锥的各条棱长都相等
4.观察下列各式:31=3,32=9,3=27,34=81,35=243,…,则32021的个位数字是
B.9
D.1
5将一个表面积为484xcm2的球用一个正方体盒子装起来,则这个正方体盒子的最小体积为
A.121cm2
B484 cm
C.10648cm3
D.1331cm3
6.已知在平面内,F1,F2是两个定点,M是一个动点,则“MF1|+|MF2为定值”是“点M的
轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的
A.充分不必要条件
B必要不充分条件
C充要条件
D.既不充分也不必要条件
吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试题理科第1页共6页
双曲线C12-1(=0)与双曲线C12mm2m21=m1的
A.实轴长相等
B焦点坐标相同
C.焦距相等
D.离心率相等
8.如图,在四面体OABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G为MN上
点,且MG一3MON,若O=a,O一b,OC一,则O元
A.a+b+c
B.-a+-b+-c
C.a+b+
0已知椭圆C:x2+2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上的动点,m=1PF1
符
n=1PF21,则1+4的最小值为
B
3√7
√7
D
10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l上有两点A,B,若△FAB为等腰直角三
角形且面积为8,则抛物线C的标准方程是
A.y2=4√2x
B
C.y2=42x或y2=8
11已知圆C的方程为(x-1)2+y2=4,直线l:(3-2t)x
1)y+22-1=0恒过定点A
若一条光线从点A射出,经直线x-y-5=0上一点M反射后到达圆C上的一点N,则
AM|+MN的最小值是
A.3
C.5
D.6
12.已知双曲线C:a-a2+1=1(a>0)的右焦点为F,过点F作直线与C交于A,B两点,
若满足AB|=5的直线L有且仅有1条,则双曲线C的离心率为
3√6
√6
D.。或√6
吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试题理科第2页共6页
