山东省德州市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题（Word版含答案）

德州市2021-2022学年高三上学期期末考试
数学试题
2022．1
本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分，第 I 卷 页，第 II 卷 页， 共 150 分， 测试时间 120 分钟．
注意事项：
选择题每小题选出答案后， 用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案， 不能答在测试卷上．
第I卷（共60分）
一、选择题(本题共 8 小题， 每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是 符合题目要求的)
设全集为 ， 集合 ， 则
A．
B．
C．
D．
已知复数 满足 ， 其中 为虚数单位， 则复数 在复平面内所对应的点在
A． 第一象限
B． 第二象限
C． 第三象限
D． 第四象限
已知向量 ， 则 是 为钝角的
A． 充分不必要条件
B． 必要不充分条件
C． 充要条件
D． 既不充分也不必要条件
已知函数 ， 则函数 的大致图象为
若函数 ， 又 ， 且 的最 小值为 ， 则 的值为
A．
B．
C． 4
D．
已知圆 ， 直线 与两坐标轴交点分别为 ， 当直线 被圆 截得的弦长最小时，
A．
B．
C．
D．
《算数术》是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求 “困盖” 的术： 置如其周， 令 相乘也， 叉以高乘之， 三十六成一． 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 与 ， 当圆周 率 近似取 3 时， 其体积 的近似公式 ． 现有一圆锥， 其体积的近似公式 ， 侧面积为其轴截面面积的 3 倍， 母线长为 4 ， 则此圆锥的高为
A． 4
B．
C．
D．
设函数 在 上的导函数为 ， 若 ， ， 则不等式 的解集为
A．
B．
C．
D．
二、多选题(本题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分． 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合要求． 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分， 有选错的得 0 分)
已知 ， 则下列结论正确的是
A． 的展开式中常数项是 15
B． 的展开式中各项系数之和是 0
C． 的展开式中的二项式系数最大值是 15
D． 的展开式中不含 的项
定义在区间 上的函数 ， 如果对于任意给定的等比数列 ， 仍是等比数列， 则称 为 “保等比数列函数”． 下列函数是 “保等比数列函数” 的为
A．
B．
C．
D．
已知 ， 则下列结论正确的是
A． 的最小值为
B． 的最小值为 16
C． 的最大值为
D． 的最小值为
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 过点 的直线 交椭圆于 两点， 若 的最大值为 5 ， 则下列说法正确的是
A． 椭圆的短轴长为
B． 当 最大时，
C． 椭圆离心率为
D． 面积最大值为
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分， 共 20 分)
某研究机构采访了“一带一路”沿线 20 国的青年， 让他们用一个关键词表达对中国的印 象， 使用频率前 12 的关键词为： 高铁、移动支付、网购、共享单车、一带一路、无人机、大 熊猫、广场舞、中华美食、长城、京剧、美丽乡村． 其中使用频率排前四的关键词“高铁、移 动支付、网购、共享单车”也成为了他们眼中的“新四大发明”． 从这 12 个关键词中选择 3 个不同的关键词， 且至少包含一个 “新四大发明”关键词的选法种数为________ (用数字作答)．
写出一个同时满足①②的函数 ________．
① 是偶函数， ② ．
设 为双曲线 的左右焦点， 为坐标原点， 以 为 直径的圆与该双曲线 的一条渐近线交于 两点， 若 ， 则 的离心率 为________．
如图， 在四棱锥 的平面展开图中， 四边形 是矩形， 是等边三角形， ， ． 则平面展开图中 ________，四棱锥 的外接球半径为________(第一空 2 分， 第二空 3 分)．
四、解答题(本题共 6 小题， 共 70 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分 10 分)
已知等差数列 中， ， 首项 ， 其前四项中删去某一项后(按原来的顺序) 恰好是等比数列 的前三项．
(1) 求 的通项公式；
(2) 设 中不包含 的项按从小到大的顺序构成新数列 ， 记 的前 项和为 ， 求 ．
(本小题满分 12 分)
在① ②③ 三个条件中任选一个补充在下面横线上， 并解决问题．
问题： 在 中， 角 所对的边分别为 ， 且满足________．
(1) 求角 ；
(2) 若 的角平分线 长为 1 ， 且 ， 求 的值．
注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分．
(本小题满分 12 分)
已知抛物线 的顶点是坐标原点 ， 对称轴为 轴， 焦点为 ， 拋物线上点 的横坐标 为 1 ， 且 ．
(1) 求抛物线 的方程；
(2) 过抛物线 的焦点作与 轴不垂直的直线 交抛物线 于两点 ， 直线 分别交直线 于点 和点 ， 求证： 以 为直径的圆经过 轴上的两个定点．
(本小题满分 12 分)
环保生活， 低碳出行， 新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择． 某型号电动汽车， 在 一段平坦的国道进行测试， 国道限速 (不含 )， 经多次测试得到， 该汽车 每小时耗电量 (单位： ) 与速度 (单位 ) 的下列数据：
0 10 20 60
0 1625 3000 9000
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系， 现有以下两种函数模型供选择：
(1) 当 时， 请选出符合表格所列数据实际的函数模型， 并求出相应的函数解析式；
(2) 现有一辆同型号汽车从 地驶到 地， 前一段是 的国道， 后一段是 的高速路． 若已知高速路上该汽车每小时耗电量 (单位： ) 与速度的关系是： ， 则如何行驶才能使得总耗电量最少， 最少为多少 (假设在两段路上分别匀速行驶)
(本小题满分 12 分)
如图， 在直三棱柱 中， ， 点 为 的中点， 平面 平面 ．
(1) 证明： 平面 ；
(2) 若直线 与平面 所成角的大小为 ， 求锐二面角 的大小．
(本小题满分 12 分)
已知函数 ．
(1) 若 在 处的切线斜率为 ， 求实数 的值；
(2) 当 时， 判断 的极值点个数；
(3) 对任意 ， 有 ， 求 的取值范围．