北师大版七下数学第二章 平行线的条件与性质培优专练 （word版含解析）

北师大版七下数学第二章 平行线的条件与性质培优专练
一、单选题
1.（2021八上·江津期中）如图所示，直线a∥b， ， ，则 （ ）
A. 32 B. 78 C. 22 D. 20
2.（2021九上·金东期中）如图， ， 与 ， 分别相交于点 ， ， ，与 的平分线 相交于点 ，且 ，则 的度数（ ）
A. 70° B. 65° C. 60° D. 55°
3.（2021九上·长沙期中）如图，直线 ，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
4.（2021八上·鄞州开学考）如图，直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
5.（2021七下·黄石港期末）如图，AF//BG，AC//EG，那么图中与∠A相等的角有 个.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.（2021八上·温岭竞赛）如图所示，a//b，则下列式子中,值为180 的是( )
A. B.
C. D.
7.（2021七下·西湖期末）如图，AB DE，BC⊥CD，则以下说法中正确的是（ ）
A. α，β的角度数之和为定值 B. α随β增大而增大
C. α，β的角度数之积为定值 D. α随β增大而减小
8.（2021七下·武安期末）如图，DE∥BC ， BE平分∠ABC ， 若∠1＝66°，则∠CBE的度数为（ ）
A. 33° B. 32° C. 22° D. 56°
9.（2021七下·宣化期末）如图， ，则 满足的数量关系是（ ）
A. B.
C. D.
10.（2021八上·安庆开学考）如图，AB CD，∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（ ）
A. 4β﹣α+γ＝360° B. 3β﹣α+γ＝360° C. 4β﹣α﹣γ＝360° D. 3β﹣2α﹣γ＝360°
11.（2021七下·铜官期末）如右图，AB∥CD ， PG平分∠EPF ， ∠A+∠AHP＝180°，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；⑤若∠BEP＞∠DFP ， 则 ＝2，
其中正确结论的个数是（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
12.（2017七下·五莲期末）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）
A. ∠1=180°﹣∠3 B. ∠1=∠3﹣∠2 C. ∠2+∠3=180°﹣∠1 D. ∠2+∠3=180°+∠1
二、填空题
13.（2021七下·三明期末）如图所示，小明将一个含有45°角的直角三角板放在两条平行线上，若∠1＝115°，则∠2的度数为 .
14.（2021·苍南模拟）如图，AB//CD，∠D＝60°，FB＝FE，则∠E＝ °.
15.（2021七上·龙凤期末）如图，已知ABCD， ， ， 则 ．
16.（2021七上·龙凤期末）如图，已知ABCD，和的平分线相交于 ， ， 求的度数 ．
17.（2021七下·城阳期末）如图，在△ABC中，已知DE//BC ， ∠1=∠2，∠BEC=96°，则∠FGE= °
18.（2021七下·襄州期末）如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，则这两个角的度数分别为 。
19.（2021七下·黄石港期末）如图， ， 的角平分线 的反向延长线和 的角平分线 的反向延长线交于点 ， ，则 .
20.（2021七下·金平期末）如图，直线 ， ， ，则 ．
21.（2021八下·郫都期末）一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，若第一次拐弯是向右转85°，则第二次拐弯是向右转的度数为 ．
22.（2021七下·海曙期末）如图，已知 ，直线 与 相交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若 ，则 度．
23.（2021七下·新昌期中）观察下列图形：已知a∥b，在第一个图中，可得 ，则按照以上规律， 度 .
24.（2019七下·嵊州期末）已知∠A与∠B(∠A，∠B都是大于0°且小于180°的角)的两边一边平行，另一边垂直，且2∠A-∠B=18°，则∠A的度数为________。
三、解答题
25.（2021八上·余杭月考）如图，AB∥CD，∠ABE＝∠DCF.求证：∠E＝∠F.
26.（2021·武汉模拟）如图，B，E分别是AC，DF上的点，AE∥BF，∠A＝∠F.求证：∠C＝∠D.
27.（2020七下·武城期末）(如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理。
28.（2020七下·枣庄期中）完成推理填空：
已知，如图， 于点D， 于点G， ．试说明AD平分 ．
证明： 于点D， 于点G（已知）
▲ （垂直的定义）
（ ▲ ）
（ ▲ ）
▲ ▲ （两直线平行，同位角相等）
又 （已知）
▲ （等量代换）
平分
29.（2020·武汉模拟）已知，如图， ，垂足分别为 ，试说明 .
30.（2020七下·莆田月考）如图，DB∥FG∥EC，A 是 FG 上的一点，∠ADB=60°，∠ACE=36°，AP 平分∠DAC，求∠PAG 的度数．
31.（2019七下·滨州期中）
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG=90°，∠EGF=60°）”为主题开展数学活动．
（1）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；
（2）
结论应用
如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG=α，则∠CFG等于________（用含α的式子表示）．
32.如图，已知直线l1∥l2 ， l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明
（4）若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系
33.（2021七下·娄星期末）（问题情境）：如图 // ， ， ，求 的度数.
小明的思路是：过 作 // ，通过平行线性质来求 .
（1）按小明的思路，求 的度数；
（2）（问题迁移）：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）：在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
34.（2021七下·临邑期末）如图，直线 ， ，E、F在 上，且满足 ， 平分
（1）求 的度数；
（2）若平行移动 ，那么 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动 的过程中，是否存在某种情况，使 ？若存在，求出 度数；若不存在，说明理由．
35.（2021七下·上虞期末）我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A光射线自AM顺时针旋转至AN便立即逆时针旋转至AM，如此循环.灯B光射线自BP顺时针旋转至BQ便立即逆时针旋转至BP，如此循环.两灯交叉照射且不间断巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a,b满足(a﹣4b)2+(a+b﹣5)2＝0．若这一带江水两岸河堤相互平行，即PQ∥MN，且∠BAN＝60°．根据相关信息,解答下列问题.
（1）a= ,b= .
（2）若灯B的光射线先转动24秒，灯A的光射线才开始转动，在灯B的光射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的光射线互相平行？
（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯A的光射线到达AN之前，若两灯射出的光射线交于点C，过点C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动的过程中，∠BAC与∠BCD间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．
36.（2021七下·金平期末）已知 ， 是截线 上的一点， 与 、 分别交于 、 ．
（1）若 ， ，求 的度数：
（2）如图1，当点 在线段 上运动时， 与 的平分线交于 ，问： 是否为定值？若是定值、请求出定值：若不是，说明其范围
（3）①如图2，当点 在线段 的延长线上运动时， 与 的平分线交于 ，则 的值为 ▲ ．
②当点 在线段 上运动时， 与 的 等分线交于 ，其中 ， ，设 ，求 的度数（直接用含 ， 的代数式表示，不需说明理由）．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠DBC=∠1=50°，
∵∠2+∠A=∠DBC，
∴∠A=∠DBC-∠2=22°，
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行，内错角相等可得∠DBC=∠1=50°，利用三角形外角的性质可得∠A=∠DBC-∠2=22°.
2.【答案】 A
【解析】【解答】解： ，

∵

平分 ，

.
故答案为：A.
【分析】根据∠BEF=∠BEP+∠PEF可得∠BEF的度数，由平行线的性质可得∠BEF+∠∠EFD=180°，求出∠EFD的度数，由角平分线的概念可得∠EFP的度数，然后结合内角和定理进行求解.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】对图形进行角标注，根据平角的概念求出∠3的度数，然后根据平行线的性质进行解答.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：设AB与直线n交于点E，
则∠AED＝∠1＋∠B＝25°＋45°＝70°．
又直线m∥n，
∴∠2＝∠AED＝70°．
故答案为：C.
【分析】先根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠AED＝∠1＋∠B，据此求出∠AED的度数，再根据二直线平行，内错角相等可求∠2的度数.

5.【答案】 C
【解析】【解答】 ，
， ，
又 ，
，
，
即与 相等的角有3个.
故答案为： .
【分析】由平行线的性质可求解.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：过点A作AG∥b，
∵a∥b，
∴AG∥b∥a，
∴∠α=∠γ+∠1，∠β+∠1=180°，
∴∠1=∠α-∠γ，
∴∠β+∠α-∠γ=180°.
故答案为：A.
【分析】 过点A作AG∥b，利用在同一平面内，同平行于一条直线的两直线平行，可证得AG∥b∥a，利用平行线的性质可得到∠α=∠γ+∠1，∠β+∠1=180°，可得到∠β+∠α-∠γ的值，即可得到答案.
7.【答案】 B
【解析】【解答】解：过C点作MF∥AB，
∵AB∥DE，
∴MF∥DE，
∴∠α=∠BCM，∠β+∠DCM=180°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCM+∠DCM=360°-∠BCD=270°，
∴∠α+（180°-∠β）=270°，
∴∠α-∠β=90°，
∴α随β增大而增大，
故答案为：B.
【分析】过C点作MF∥AB，可得AB∥DE∥MF，利用平行线的性质可得∠α=∠BCM，∠β+∠DCM=180°，由垂直的定义可得∠BCD=90°，利用周角的定义可得∠BCM+∠DCM=360°-∠BCD=270°，即得∠α-∠β=90°，据此判断即可.
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵DE∥BC ，
∴∠ABC=∠1=66°，
∵BE平分∠ABC ，
∴∠CBE= ∠ABC=33°，
故答案为：A ．
【分析】根据平行线的性质得到∠ABC=∠1=66°，再根据BE平分∠ABC ， 即可求出答案。
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG∥AB ， 过点D作DH∥EF ，
则∠A=∠ACG ， ∠EDH=180°-∠E ，
∵AB∥EF ，
∴CG∥DH ，
∴∠CDH=∠DCG ，
∴∠ACD=∠ACG+∠CDH=∠A+∠CDE-（180°-∠E），
∴∠A-∠ACD +∠CDE +∠E=180°．
即
故答案为：A．
【分析】过点C作CG∥AB ， 过点D作DH∥EF ， 可得CG∥DH ， 利用平行线的性质可得∠A=∠ACG ， ∠EDH=180°-∠E ， ∠CDH=∠DCG ， 利用角的和差即可求出结论.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，
∵∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，∠ABE＝α，
∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，
∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，
即4β﹣α+γ＝360°，
故答案为：A．
【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可。
11.【答案】 C
【解析】【解答】解： ①∵∠A+∠AHP＝180°，
∴AB∥PH，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，
故①正确；
②∵AB∥PH，CD∥PH，
∴∠BEP=∠EPH， ∠DFP=∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP=∠EPH+∠FPH=∠EPF，
∵ PG平分∠EPF，
∴∠EPF=2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP=2∠EPG，
故②正确；
③ ∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH=∠GPH不一定成立，
故③错误；
④∵∠AGP=∠PHG+∠HPG，∠DFP=∠FPH，∠FPH+∠HPG=∠FPG，∠FPG=∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG，
=∠A+∠PHG+∠HPG+∠DFP-∠FPG，
=∠A+∠PHG+∠HPG+∠FPH-∠FPG，
=∠A+∠PHG+∠FPG-∠FPG，
=∠A+∠PHG，
=180°，
故④正确；
⑤ ∠BEP-∠DFP=∠EPH-∠FPH=（∠EPG+∠GPH）-∠FPH=∠FPG+∠GPH-∠FPH，
=∠GPH+∠GPH=2∠GPH，
∴ ，
故⑤正确，
∴ 正确结论的个数是4个.
故答案为：C.
【分析】 根据AB∥CD，PH∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论.
12.【答案】 D
【解析】【解答】如图，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠BDC=180°，即∠BDC=180°﹣∠2，
∵EF∥CD，
∴∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3﹣∠1，
∴180°﹣∠2=∠3﹣∠1，即∠2+∠3=180°+∠1，
故答案为：D．
【分析】A.由EF∥CD可知∠3+∠EDG=180°，即∠EDG=180°-∠3，而∠1与∠EDG不等，故A不符合题意；B.∵EF∥CD，∴∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3﹣∠1,而∠BDC与∠2不等，故B不符合题意；C.∠2+∠3=∠2+∠BDC+∠1=180°+∠1,故C不符合题意；
二、填空题
13.【答案】 20°
【解析】【解答】解：由题意可知∠3＝45°，如图.
又由平行线的性质可得：∠1+∠3+∠2＝180°，
且∠1＝115°，
∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣115°﹣45°＝20°.
故答案为：20°.
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，可求出∠2的度数.
14.【答案】 30
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠EFA=∠D，
∵∠D=60°，
∴∠EFA=60°，
∵FB=FE，
∴∠E=∠B，
∵∠EFA=∠E+∠B，
∴∠E=30°，
故答案为：30.
【分析】本题先利用平行线的性质，两直线平行，同位角相等，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解.
15.【答案】 95°
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵EF//AB，
∴∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=120°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，
∵EF//AB，AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∵∠DCE=35°，
∴∠FEC=35°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．
故答案为：95°
【分析】先求出∠BEF=60°，再求出∠FEC=∠DCE，最后计算求解即可。
16.【答案】 110°
【解析】【解答】解：过点E作EH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，
∵∠BEH+∠DEH+∠BED=360°，∠BED=140°，
∴∠BEH+∠DEH=220°，
∴∠ABE+∠CDE=220°，
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠EBF+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=110°，
∵∠BFD+∠BED+∠EBF+∠EDF=360°，
∴∠BFD=110°．
故答案为：110°．
【分析】先求出∠ABE+∠CDE=220°，再利用角平分线的定义计算求解即可。
17.【答案】 84
【解析】【解答】解：∵DE BC ，
∴∠2=∠EBC ，
∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠1，
∴GF BE ，
∴∠BEC+∠FGE=180°，
∵∠BEC=96°，
∴∠FGE=180°-∠BEC=180°-96°=84°．
故答案为：84．
【分析】利用平行线的性质和判定方法求解即可。
18.【答案】 50°，130°或10°，10°
【解析】【解答】解：设其中一个角为x，则另一个角为3x-20，则根据题意可分两种情况
（1）两角相等，
x=3x-20,
解的：x=10°，3x-20=10°；
（2）两角 互补，
x+3x-20=180°,
解的：x=50°，3x-20=130°；
故答案为：10°，10°或50°，130°.
【分析】根据题意如果两个角的两条边分别平行，则这两个角相等或互补，根据关系列出方程，即可求出答案.
19.【答案】 55°
【解析】【解答】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS.
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE ∠ABK，∠SHC=∠DCF ∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，
∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180° （∠ABK+∠DCK），
∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°，
∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC.
又∵∠BKC﹣∠BHC=15°，
∴∠BHC=∠BKC﹣15°，
∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣15°），
∴∠BKC=70°.
∴∠BHC=70°-15°=55°；
故答案为55°.
【分析】分别过K、H作AB的平行线MN和RS，由平行线的传递性可得AB∥CD∥RS∥MN，根据角平分线的定义和平行线的性质可求解.
20.【答案】 50°
【解析】【解答】解：如图，过点M作MG//AB,过点N作NH//AB,
∵AB∥CD ，
∴AB∥MG∥NH∥CD ，
∵AB//MG,
∴∠1 =∠3,
∵MG//NH,
∴∠4+∠5= 180° :
∵NH//CD,
∴∠2=∠6,
∴∠1 +∠2=∠3+∠6
=∠AMN+∠FNM-(∠4+∠5)
= 130°+ 100° - 180°
= 50°
故答案为：50°
【分析】过点M作MG//AB,过点N作NH//AB,由AB∥CD ， 得出B∥MG∥NH∥CD ， 因为AB//MG,得出∠1 =∠3,因为NH//CD,得出∠2=∠6,利用∠1 +∠2=∠3+∠6得答案。
21.【答案】 95°
【解析】【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，
∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，
∵第一次拐弯是向右转85°，
∴第二次拐弯是向右转180°-85°=95°．
故答案为：95°．
【分析】抓住关键已知条件：两次拐弯后，按原来的相反方向前进，利用平行线的性质，可求出结果.
22.【答案】 20
【解析】【解答】解：∵∠1=∠C=130°，
又∵ ，
∴∠C+∠ADB+∠2=180°，
∴∠2=180°-130°-30°=20°，
故答案为：20.
【分析】要求要知道大小，已知 ， 再运用平行线的性质即可求解.
23.【答案】 180（n+1）
【解析】【解答】解：如图，作P1E∥a，取∠3和∠4，
∵P1E∥a，
∴∠1+∠3=180°，
∵ a∥b，
∴P1E∥b，
∴∠2+∠4=180°，
∴∠1+∠2+∠P1=∠1+∠2+∠3+∠4=180°+180°=360°=（1+1）×180°，
如图，作P1A∥a，P2B∥a，
∵ a∥b，
∴P1A∥a∥P2B∥a，
∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，
∴∠1+∠P1+∠P2+∠2=180°+180°+180°=（2+1）×180°，
同理可得：∠1+∠P1+∠P2+∠P3+∠2=180°+180°+180°+180°=（3+1）×180°，
……
∴∠1+∠P1+∠P2+……+∠2=180°+180°+……+180°=（n+1）×180°，
故答案为： 180（n+1） .
【分析】过P1、P2……作平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补分别列出等式，最后将各式相加求和，再总结规律即可得出答案.
24.【答案】 36°或96°
【解析】【解答】解：1)如图，当C为凸点时，过C作CF∥AD，则CF∥AD，
∴∠B+∠BCF=180°，∠ACF+∠A=180°，
即∠B+∠BCF+∠ACF+∠A=360°，
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠A+∠B=270°，
∵2∠A-∠B=18°
∴∠A+∠B+2∠A-∠B=270°+18° ，
∴3∠A=288°，
∴∠A= 96°
2）如图，当C为凹点时，过C作CF∥AD，则CF∥AD，
∴∠B=∠BCF，∠ACF=∠A，
∴∠B+∠A=∠BCF+∠ACF=90°，
∵2∠A-∠B=18° ，
∴∠B+∠A+2∠A-∠B=90°+18°，
∵3∠A=108° ，
∴∠A=36°。
故答案为： 36°或96°.
【分析】本题分两种情况讨论，当C凸点或当C为凹点时，两种情况都是过C作BE的平行线，由平行线的性质定理得到，∠A和∠B之和为270°，或∠A和∠B之和为90°，再结合已知 2∠A-∠B=18°，组成方程组求解即可。
三、解答题
25.【答案】 证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD.
又∵∠ABE＝∠DCF，
∴∠ABC－∠ABE＝∠BCD－∠DCF，
即∠EBC＝∠FCB，
∴BE∥CF，
∴∠E＝∠F
【解析】【分析】由二直线平行，内错角相等得∠ABC＝∠BCD，根据∠ABE＝∠DCF结合角的和差关系可得∠EBC＝∠FCB，由内错角相等，二直线平行推出BE∥CF，最后利用二直线平行，内错角相等进行证明.
26.【答案】 证明：∵AE∥BF，
∴∠A＝∠FBC，
∵∠A＝∠F，
∴∠F＝∠FBC，
∴DF∥AC，
∴∠C＝∠D.
【解析】【分析】由二直线平行，同位角相等得∠A＝∠FBC， 结合∠A＝∠F， 等量代换得出∠F＝∠FBC，则可根据内错角相等，两直线平行判定 DF∥AC， 最后由二直线平行，内错角相等即可得出结论.
27.【答案】 解:∠AED＝∠C．
证明：∵∠1+∠4＝180°（邻补角定义）
∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2＝∠4（同角的补角相等）
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠B＝∠3（已知），
∴∠ADE＝∠B（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
【解析】【分析】根据已知和邻补角的性质可得∠2=∠4，则BD∥EF，根据平行线的性质可得∠3=∠ADE，再结合已知进行等量代换可得∠ADE=∠B，即可证明DE∥BC，利用平行线的性质和等量代换即可证明结论.
28.【答案】 证明： 于点D， 于点G（已知）
（垂直的定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
又 （已知）
（等量代换）
平分
【解析】【分析】先根据垂直的定义、平行线的判定得出 ，再根据平行线的性质得出 ，然后根据等量代换可得 ，最后根据角平分线的定义即可得证．
29.【答案】 解：
又
故
【解析】【分析】根据垂直定义可得∠BFE=∠BDC=90°，由EF∥CD，可得∠BEF=∠BCD，根据同旁内角互补两直线平行可得DG∥BC，可得∠CDG=∠DCB，从而求出∠BEF=∠CDG.
30.【答案】
平分
即 的度数为 ．
【解析】【分析】先根据平行线的性质得出 和 的度数，从而可得 的度数，再根据角平分线的定义可得 的度数，然后根据角的和差即可得．
31.【答案】 （1）如图2，∵AB∥CD， ∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°， 又∵∠FEG+∠EGF=90°，∴∠AEF+∠GFC=90°；
（2）如图3，∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE=180°， 即∠AEG+∠FEG+∠EFG+∠GFC=180°， 又∵∠GFE=90°，∠GEF=30°，∠AEG=α， ∴∠GFC=180°-90°-30°-α=60°
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，可计算角的度数，得到结论。
（2）根据平行线的性质，可通过换算角的度数，得出结论。
32.【答案】 （1）证明：过P作PQ∥l1∥l2 ，
由两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPE+∠QPF，
∴∠3=∠1+∠2．
（2）解：
∠3=∠2﹣∠1；
证明：过P作直线PQ∥l1∥l2 ，
则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；
∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，
∴∠3=∠2﹣∠1．

（3）解：
∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
证明：过P作PQ∥l1∥l2；
同（1）可证得：∠3=∠CEP+∠DFP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，
即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．
（4）解：
过P作PQ∥l1∥l2；
①当P在C点上方时，
同（2）可证：∠3=∠DFP﹣∠CEP；
∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，
∴∠DFP﹣∠CEP+∠2﹣∠1=0，
即∠3=∠1﹣∠2．
②当P在D点下方时，
∠3=∠2﹣∠1，解法同上．
综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1﹣∠2，当P在D点下方时，∠3=∠2﹣∠1．

【解析】【分析】此题四个小题的解题思路是一致的，过P作直线l1、l2的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．
33.【答案】 （1）解：过P点作PE//AB，因为AB//CD，所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ；
（2）解：过P点作PE//AB，
因为AB//CD，
所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以∠APE=∠PAB= ，
又因为PE//CD，
所以 ，
所以∠APC=∠APE+∠CPE=α＋β；
（3）解：当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PAB= ，
∴ β-α；
当P点在射线DM上运动时，设AP与CD交于点F，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PCD＝β，
∴ α-β，
当P点在线段OB上运动时， β-α.
当P点在射线DM上运动时， α-β.
【解析】【分析】（1）过P点作PE//AB，则PE//CD，由平行线的性质可得∠BAP+∠APE=180°，∠EPC+∠PCD=180°，结合已知条件可得∠APE、∠EPC的度数，最后根据角的和差关系进行求解；
（2）过P点作PE//AB，由平行线的性质可得∠APE=∠PAB=α ， ∠CPE=∠PCD=β，最后根据角的和差关系进行求解；
（3）当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，由平行线的性质可得∠BNP=∠PCD=β，由三角形外角的性质可得∠BNP=∠PAB+∠APC=β可推出∠APC=β-α，同理可求出当P点在射线DM上运动时∠APC与α、β的关系.

34.【答案】 （1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：不变，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，是定值；
（3）解：在 和 中，
∵ ， ，
∴ ，
， 平分
∴ 、 、 是 的四等分线，
∴ ，
∴ ，
故存在某种情况，使 ，此时
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补求出 ， 再求出 ， 计算即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等，可得 ， 再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ， 从而得解；
（3）根据三角形的内角和定理求出 ， 从而得到 、 、 是 的四等分线，在利用三角形的内角和定理列式计算即可得解。

35.【答案】 （1）4；1
（2）解：设A灯光射线转动x秒时，两灯的光射线互相平行.
①当灯A光射线转第1轮时，
有4x=x+24,则x=8.
②当灯A光射线转第⒉轮时，有4x-180+x+24=180 ,则x=67.2.
③当灯A光射线转第3轮时，有4x-360=x+24,则x=128.
综上:x=8或67.2或128秒时，两灯的光射线互相平行.
（3）解：设A灯转动x秒,∠BAC=60°-(180°-4x)=4x-120°,
∵CD⊥AC,∴∠BCD=90°-∠BCA.∠BCA=∠PBC+∠CAN=x+180°-4x=180°-3x,
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-(180°-3x)=3x-90°,
∴∠BAC:∠BCD=(4x-120):(3x-90)=4:3.
【解析】【分析】(1)直接根据 (a﹣4b)2+(a+b﹣5)2＝0，由非负性得到a-4b=0,a+b-5=0,解出a、b即可.
(2) 设A灯光射线转动x秒时，两灯的光射线互相平行. 分类讨论 当灯A光射线转第1轮时 、2转时、3转时，根据题意列出方程即可求出.
(3) 设A灯转动x秒 ,先求出∠BAC的度数接着由直角三角形两锐角互余进而求出∠BCD,即可求出答案
36.【答案】 （1）解：如图1，过 作 ，
，
，
， ，
， ，
；
（2）解：
如图1，∵ ，
，
，
，
，
同理： ，
又 ， 分别平分 ， ，
，
，
．
（3）解：① ；② ．
【解析】【解答】（3）① ，

解：如图2，过 作 ，过 作 ，
，
， ，
，
，
同理： ，
又 ， 分别平分 ， ，
，
，
．
②
解：（1）当 在当点 在线段EF的延长线上运动时，同图2
易得 ， ，
，
，即
（2）当点 在线段 的上运动时，同图1
易得 ， ，
，
，即
（3）当P在线段EF的延长线上运动时，同图3，
易得 ，
，
，
，即
综上所述， ．
【分析】（1）过 作 ， 根据平行线的性质得出 ， ， ， 得出 ， ， 得出 的度数；
（2） ， 由 ， ， 得出 ， ， ， 即可得出 ， 同理： ， 由平分线的性质得出 ， 即可得出；
（3）① ， 由平行线的性质得出 ，同理： ，即可得出结论；② ， （1）当 在当点 在线段EF的延长线上运动时，（2）当点 在线段 的上运动时，（3）当P在线段EF的延长线上运动时，分情况讨论即可。