山西省太原市第21高级中学2021-2022学年高二12月阶段性测试数学试题（Word版含答案）

太原市第21高级中学2021-2022学年高二12月阶段性测试
数学试卷
1. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线有
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
1. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数a为
A. 或 B. 1或3 C. 或6 D. 0或4
1. 已知A点坐标为，，点P在x轴上，且，则P点坐标为
A. B. C. D.
1. 过点，且与直线平行的直线方程是
A. B.
C. D.
1. 用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 正方形 D. 正六边形
1. 不论m为何值，直线恒过定点
A. B. C. D.
1. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值是
A. B. C. D. 0
1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为
A.
B.
C.
D.
1. 已知直线在y轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为
A. ，1 B. ， C. ，1 D. ，
1. 已知直线恒经过定点P，则点P到直线l：的距离是
A. 6 B. 3 C. 4 D. 7
1. 使圆与有交点的充要条件是
A. B. C. D.
1. 直线l：分别与直线：和：交于A，B两点，与交于点P，O为坐标原点，当O到l的距离最大时，
A. 1 B. C. 2 D. 0
1. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，，体积分别为，，若它们的侧面积相等，且，则的值是______.
1. 已知直线与两坐标轴围成的三角形面积不大于1，则实数k的取值范围是______.
1. 已知，，过点且斜率为k的直线与线段AB相交，点到直线：的距离为d，则实数d的取值范围是______.
1. 若直线与圆至少有一个交点，则实数m的取值范围是______ .
1. 已知点m是直线l：与x轴的交点，将直线l绕点m旋转，求所得到的直线的方程．
1. 如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图及正视图和侧视图单位：
画出该多面体的俯视图，并标上相应的数据；
按照给出的数据，求该几何体的体积．
1. 甲，乙，丙三种食物维生素A，B含量以及成本如右表：某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素
试用x，y表示混合物的成本元；
确定x，y，z的值，使成本最低，并求最低成本．
项目 甲 乙 丙
维生素单位/千克 600 700 400
维生素单位/千克 800 400 500
成本元/千克 11 9 4
1. 已知圆，圆，，分别为两圆的圆心．
求圆和圆的公共弦长；
过点的直线l交圆与A，B，且，求直线l的方程．
1. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线方程为，点在AD边所在直线上．求：
直线AD的方程；
直线DC的方程．
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为：，直线l的方程为
求证：直线l恒过定点；
当直线l被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；
在的前提下，若P为直线l上的动点，且圆C上存在两个不同的点到点P的距离为，求点P的横坐标的取值范围．
1.
答案
1.【答案】B
【解析】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为，
把代入所设的方程得：，则所求直线的方程为即；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，
把代入所求的方程得：，
则所求直线的方程为即
综上，所求直线的方程为：或，
故选：
分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．
此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想．
2.【答案】D
【解析】解：圆的圆心坐标为，半径为2，
圆心到直线的距离，
又直线被圆所截得的弦长为，
，
即，解得或
故选：
由圆的方程求出圆心坐标和半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用垂径定理求弦长．
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式及垂径定理的应用，是中档题．
3.【答案】A
【解析】解：点P在x轴上，
设
又，
解得；
故选
先根据题意设，再利用平面上两点的距离公式表示出，最后解一个关于x的方程即得结果．
本小题主要考查空间两点间的距离公式、空间中的点的坐标、方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了点斜式和一般式的互化，属于基础题．
由已知的直线方程求出要求直线的斜率，得到直线方程的点斜式，化为一般式得答案．
【解答】
解：由直线方程可得该直线的斜率为，则与直线平行的直线的斜率为，
又直线过，由直线方程的点斜式得直线方程为，
化为一般式得：
故选：
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查学生作图能力，判断能力，以及空间想象能力，明确几何图形的特征是解好本题的关键，属于基础题.
画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项．
【解答】
解：画出截面图形如图：
显然A正三角形，C正方形，D正六边形都可以画出，可以画出三角形但不是直角三角形；
故选
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查直线过定点的问题，属于基础题．
将直线方程变形为，令，求解即可．
【解答】
解：直线可变为
令 解得：
故不论m为何值，直线恒过定点
故选
7.【答案】B
【解析】解：由于变量x、y满足约束条件，
在坐标系中画出可行域四边形，
平移直线经过点时，最小，最小值为：，
则目标函数的最小值为
故选：
先根据条件画出可行域，设，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线，过可行域内的点时的最小值，从而得到z最小值即可．
借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
8.【答案】D
【解析】解：由三视图得到几何体如图：正方体的棱长为2，
该四棱锥的侧面积单位：是
；
故选：
首先还原几何体，根据图中数据计算几何体的侧面积．
本题考查了几何体的三视图；要求对应的几何体的体积或者表面积，关键是正确还原几何体．
9.【答案】D
【解析】解：令直线中，解得，
由直线在y轴上的截距为，得到，
则，
，即的斜率为，
，，
倾斜角，
直线的倾斜角为，
则其斜率为，
，
，
故选：
令直线中，表示出此时的y，即为直线在y轴上的截距，根据此截距为1列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，然后由直线直线的斜率为，得到其倾斜角的正切值为，根据倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值求出倾斜角的度数，从而得到直线的倾斜角，进而得到此直线的斜率，根据斜率列出关系式，把b的值代入即可求出a的值．
此题考查了直线的倾斜角，直线截距的求法，以及直线倾斜角与斜率的关系，熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】
【分析】把直线的方程变形，令m的系数等于零，求得x、y的值，可得定点P的坐标，再利用点到直线的距离公式求得点P到直线l：的距离．本题主要考查直线经过定点问题，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
【解答】
解：由直线方程变形为：，
令，可得，
求得，，
可得直线恒经过定点，
故点P到直线l：的距离是，
故选：
11.【答案】D
【解析】解：圆的圆心，半径r，
的圆心，半径，
，
使圆与有交点的充要条件是：
，
解得
故选：
设两圆半径分别为，，圆心距为d，那么它们有公共点的充要条件是
本题考查两圆的公共点的充要条件的求法，是中档题，解题时要注意两圆位置关系的合理运用．
12.【答案】D
【解析】解：由题意知，，解得，所以点；
由直线l：可化为，
令，解得，所以直线l过定点；
求出直线OP的斜率为，
当点O到直线l的距离最大时，直线，
这时，直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，
化简为；
由，解得，所以点；
由，解得，所以点；
所以，，
计算
故选：
求出直线与的交点P，写出向量的坐标，求出直线l所过定点M，当O到l的距离最大时，l垂直与OP，求出l的斜率，写出直线l的斜率，写出l的方程，再求出直线l与、的交点A、B，计算和的值．
本题考查了直线方程的应用问题，也考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；
，
，它们的侧面积相等，
，
故答案为：
设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．
本题考查圆柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．
14.【答案】
【解析】解：令，得；令，得
三角形面积
又，即，
又当时，直线过原点构不成三角形，故应舍去，
故答案为：
先求出直线在两坐标轴上的截距，把三角形的面积表示出来，再根据其面积不大于1，建立关于k的不等式求解，注意去掉时的情况．
本题考查直线的一般式方程，在求解时易忘记验证时是一个须舍去的点，故本题是一个易错题
15.【答案】
【解析】解：，，过点且斜率为k的直线与线段AB相交，
直线BC的斜率为，直线AC的斜率为，
点到直线：的距离为，
故答案为：
由题意利用直线的斜率公式求得k的范围，再利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离d的范围．
本题主要考查直线的斜率公式，点到直线的距离公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：圆，即圆，，或
直线经过定点，直线与圆至少有一个交点，
点在圆的内部或点在圆上，故有，解得
综上可得，，
故答案为：
根据圆的标准方程特征求得或再根据直线经过定点，而点在圆的内部或点在圆上，可得，由此解得m的范围．再把所求得的这两个m的范围取交集，即得所求．
本题主要考查直线经过定点问题，直线和圆相交的条件，属于中档题．
17.【答案】解：在方程中，取，得
，
直线的斜率为，则其倾斜角为，
直线l绕点M旋转，若是逆时针，则直线的倾斜角为，
直线的方程为；
若是顺时针，则直线的倾斜角为，
直线的斜率为，
直线的方程为，即
【解析】求出直线l与x轴的交点M的坐标，然后分l顺时针和逆时针旋转求出直线l的倾斜角，再进一步分析斜率的情况，斜率不存在时直接写出直线方程，斜率存在时由直线方程的点斜式求得直线方程．
本题考查了直线方程的点斜式，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
18.【答案】本小题满分12分
解：该多面体的俯视图如下图所示：
…分
它可以看成一个长方体截去一个小三棱锥，
设长方体体积为，小三棱锥的体积为，则根据图中所给条件得：，
，
…分
【解析】依据三视图的定义作出其俯视图即可；
此几何体是一个长方体削去了一个角，由图中的数据易得几何体的体积．
本题考查由三视图求面积、体积，求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等性质，熟练掌握各种类型的几何体求体积的公式，可使本题求解更快捷
19.【答案】解：由题意，x，y，z满足，则，
成本元；
依题意得不等式组，
，
，
作出可行域如图，
联立，解得，
直线过A时C最小为
千克，千克，千克时成本最低．
【解析】直接由题意得到x，y，z的关系，把z用含有x，y的代数式表示代入得答案；
由题意列出关于x，y，z的不等式组，转化为关于x，y的不等式组，然后利用线性规划知识求得答案．
本题考查了简单的线性规划，考查了简单的数学建模思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．
20.【答案】解：两圆相减可得，
圆的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离，
圆和圆的公共弦长；
圆的圆心为，半径为2，圆心到直线l的距离为，
设直线l的方程为，即，，或，
直线l的方程为，或
【解析】两圆相减可得公共弦方程，即可求圆和圆的公共弦长；
圆的圆心为，半径为2，圆心到直线l的距离为，设直线l的方程为，利用点到直线的距离公式，求出k，即可求直线l的方程．
本题考查圆与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．
21.【答案】解：在矩形ABCD中，
所求直线AD的方程可设为
又点在直线AD上，
，，
直线AD：；
解：，即，
，
，
又在矩形ABCD中，点C与点A关于点M对称，
设，，，
，
，所以设，
C点代入上式解得：，
：
【解析】在矩形ABCD中，，直线AD的方程可设为，又点在直线AD上，代入解得m即可得出．
，解得，又在矩形ABCD中，点C与点A关于点M对称，设，，解得C坐标即可得出．
本题考查了直线的方程、方程组的解法、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
22.【答案】解：直线l的方程为，
，
由 得，
即直线l过定点；
方法一：由题意可知：圆心C：，
，
又所截弦长最短时，，，
直线方程为；
方法二：圆心到直线的距离，
，
设弦长为a，则，
当所截弦长最短时，d取最大值，
，令，
；
令，
当时，取到最小值；
此时，d取最大值，弦长取最小值，
直线l的方程为；
设，
当以P为圆心，为半径画圆P，当圆P与圆C刚好相外切时，
，
解得或，
由题意，圆P与圆心有两个交点时符合题意，
点P横坐标的取值范围为
【解析】直线l的方程化为，
由求得定点M的坐标；
方法一：根据所截弦长最短时直线MC垂直与直线l，求得直线l的斜率和方程；
方法二：根据圆心到直线的距离和弦长与半径的关系，求出所截弦长最短时的直线l的方程；
以P为圆心，为半径画圆P，圆P与圆C外切时，，由此求得点P横坐标的取值范围．
本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了方程的解法与应用问题，是综合题．