6.1 平面向量的概念(共33张PPT)

(共33张PPT)
1
PART ONE
向量的实际背景与概念
老鼠逃跑的方向
猫追老鼠的方向
不一定？
请问猫能逮住老鼠吗？
还有一些量不是这样的，比如猫捉老鼠，猫的速度不仅要快，还要注意方向，不然的话，即使猫的速度再快也不能逮住老鼠，这说明猫捉老鼠的速度是一个既有大小又有方向的量，
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度，质量，人的体重，身高等等，都是这样的量。
A
B
再如下图中小船的位移问题：小船由A地向东南方向航行15 n mile 到达B地（速度的大小为10 n mile)。
如果仅指出“由A地航行15 n mile” ,而不指名“向东南方向”航行，那么小船就不一定
到达B地了，这也说明，位移也是一个既有大小又有方向的量，我们把这种既有大小又有方
向的量叫做向量。
2.数量：只有 没有 的量称为数量.
1.向量：既有 又有 的量叫做向量.
知识点　向量的概念
大小
方向
大小
方向
物理学中常称向量为矢量，数量为标量。
向量 PK 数量
向量：即有大小又有方向的量
数量：只有大小，没有方向的量
向量的模
向量的长度
在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
2
PART TWO
向量的几何表示
数量可以用实数表示，而实数和数轴上的点一一对应，所以数量可以用数轴上的点表示，并且不同的点表示不同的数量，那么向量该如何表示呢？
我们仍以位移为例，小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A、
B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船
行驶的方向，于是，这条“带有方向的线段”就可以表示位移了。
由此：我们可以用”带有方向的线段” 表示向量。
在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设以A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有了方向。
A
B
3
PART THREE
相等向量与共线（平行）向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫相等向量
注：1.若向量 相等，则记为 ；
a
b
c
a=b=c
A1B1=A2B2=A3B3=A4B4
A1
B1
A2
B2
A3
B3
A4
B4
2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与
有向线段的起点无关,所以向量也叫自由向量。
平行向量
方向相同或相反的非零向量叫平行向量.
平行向量也叫共线向量
注：任一组平行向量都可以平移到同一直线上.
O
A
B
C
共线向量
(2)规定：零向量与任意向量 .
(1)记法：向量a与b平行，记作 .
2.相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也
叫做 向量.
1.平行向量：方向 的 向量叫做平行向量.
　相等向量与共线向量
相同或相反
非零
a∥b
平行
相等
相同
共线
向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线是不一样的.
A
B
C
D
A
B
C
D
有向线段 PK 向量
向 量
有向线段
（1）有固定的起点，
（1）可选任意点作为向量的起点，
（2）向量有大小、方向，与起点无关。
（2）有向线段有：起点、大小、方向，
任意两个相等的非零向量，都可以用一
条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；
同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同
一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定。
思考　(1)平行向量是否一定方向相同？
答案　不一定；
(2)不相等的向量是否一定不平行？
答案　不一定；
(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？
答案　零向量；
(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
答案　平行(共线)向量.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.如果 .(　　)
提示　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
2.若a，b都是单位向量，则a＝b.(　　)
提示　a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b的方向可能不同.
3.力、速度和质量都是向量.(　　)
提示　质量不是向量.
4.零向量的大小为0，没有方向.(　　)
提示　任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.
×
×
×
×
类题探究
例1　(多选)下列说法错误的有
A.向量 与向量 的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量都是相等的
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
一、向量的概念
√
解：两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也
不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反
向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.
√
√
【悟】
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
【练1】下列说法中正确的是
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
√
解：不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；
向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，
故C不正确；
向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
二、向量的几何表示及应用
例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西
偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km
到达D点.
二、向量的几何表示及应用
例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西
偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km
到达D点.
∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
【悟】
作向量的方法
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
【练2】在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
解（1）根据相等向量的定义，所作向量b与向量a方向相同，
且长度相等(作图略).
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝ ，
并说出向量c的终点的轨迹是什么？
（2）由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，
半径为 的圆(作图略).
三、相等向量与共线向量
例3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与 共线的向量；
解(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
又因为D是BC的中点，
(2)写出模与 的模相等的向量；
(3)写出与 相等的向量.
【悟】
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
【练3】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与 的模相等的向量有多少个？
解(1)与 的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，
而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.
(2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与 共线的向量有几个？
(4)分别写出图中与 相等的向量。
【练3】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与 的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与 共线的向量有几个？
(4)分别写出图中与 相等的向量。
O
A
B
C
D
E
F
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
特殊向量的作用
典例 给出下列命题：
①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③若两个模相等的向量互相平行，
则这两个向量相等；
④若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确的是_____.(填序号)
④
解 由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，
故取a＝0，则对于任意的向量b，都有a∥b，知①错误；
取b＝0，则对于任意的向量a，c都有a∥b，b∥c，知②错误；
两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知③错误；
由两个向量相等的概念可知④正确.
1.知识点：
(1)向量的基本概念.
(2)向量的几何表示.
(3)相等向量与共线向量(平行向量).
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
2.方法归纳：数形结合.
3.易错点：忽视零向量这一特殊向量.
本课结束
作业：
课本p4 练 习 1,2,3,4
课本p5 习题6.1 1,2,3,4