山西省太原市第21高级中学2022届高三12月阶段性测试数学试题（Word版含答案解析）

太原市第21高级中学2022届高三12月阶段性测试
数学试卷
1. 已知集合，，则
A. ，1，2， B. ，1，
C. ， D.
1. 已知等差数列前9项的和为27，，则
A. 100 B. 99 C. 98 D. 97
1. 若，则
A. B. C. D.
1. 下列函数中，在区间上为减函数的是
A. B. C. D.
1. 设是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数n，”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
1. 函数的图象大致是
A. B.
C. D.
1. 已知，则
A. B. C. D.
1. 已知椭圆与双曲线：的焦点重合，，分别为，的离心率，则
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
1. 若，则
A. B. C. D.
1. 已知p：关于x的不等式的解集为R，则下列结论正确的是
A. p的必要不充分条件是
B. p的充分不必要条件是
C. 是p的充要条件
D. 是p的既不充分也不必要条件
1. 已知函数在和上单调递减，且关于x的方程有2个不相等的实数解，则a的取值可以是
A. 1 B. 4 C. 2 D. 5
1. 设，x，，则
A. “”“”
B. “”“”
C. “”“”
D. “”“”
1. 已知曲线在处的切线方程为，则______.
1. 方程在区间上的解为______.
1. 已知为等差数列，为其前n项和，若，，则______.
1. 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则______.
1. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
证明：；
若，求
1. 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
肥料原料 A B C
甲 4 8 3
乙 5 5 10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
1. 等差数列中，，
求的通项公式；
设，求数列的前10项和，其中表示不超过x的最大整数，如，
1. 将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧．
求三棱锥的体积；
求异面直线与所成的角的大小．
1. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，双曲线C的右顶点A在圆O：上，且
求双曲线C的标准方程；
动直线1与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M、N，问：为坐标原点的面积是否为定值？若为定值.求出该定值；若不为定值.试说明理由.
1. 已知函数，
讨论的单调性；
若有两个零点，求a的取值范围．
1.
答案
1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】C
6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】ABCD
11.【答案】BD12.【答案】BCD
【解析】解：对于A，当，时，满足，但，故A错误，
对于B，，，
，
，故B正确，
对于C，，
无论y为正数或负数，，故C正确，
对于D，，
，故D正确．
故选：
根据已知条件，结合特殊值法和不等式的性质，即可求解．
本题主要考查特殊值法和不等式的性质，属于基础题．
13.【答案】4
【解析】解：由，得，
，则，得，
，即
故答案为：
求出原函数的导函数，利用函数在处的导数值为3求得a，再由切点处的函数值相等列式求得
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，
可得，
即为，
即有，
因为，所以，
则，
解得或，
故答案为：
由二倍角的余弦公式和正弦函数的性质，解方程可得所求解．
本题考查三角方程的解法，以及正弦函数的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
15.【答案】4
【解析】解：设等差数列的公差为d，
由，得，即，又，则，
所以
故答案为：
设等差数列的公差为d，由可得，再结合即可求出d，最后利用进行求解即可．
本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：是定义在R上的周期为2的奇函数，
，，即，
，且，
又时，，
，
，
故答案为：
根据条件可得出，代入即可求出，并可得出，并可求出，从而可求出的值．
本题考查了奇函数和周期函数的定义，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】证明：，
利用正弦定理：，
故
解：由于，
所以，
由，
故，
整理得：，
所以
【解析】直接利用正弦定理和三角函数的关系式的变换的应用求出结果；
利用的关系式求出的值，进一步利用三角函数的定义求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18.【答案】解：由已知x，y满足不等式，则不等式对应的平面区域为图1中的阴影部分，
设年利润为z万元，则目标函数为，即，
平移直线，由图象得当直线经过点M时，直线的截距最大，此时z最大，
由得，即，
此时，
即分别生产甲肥料20车皮，乙肥料24车皮，能够产生最大的利润，最大利润为112万元．
【解析】设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域．
设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可．
本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域，利用平移法是解决本题的关键．
19.【答案】解：设等差数列的公差为d，
，
，
解得：，
；
，，
，，
故数列的前10项和
【解析】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．
设等差数列的公差为d，根据已知构造关于首项和公差的方程组，解得答案；
根据，列出数列的前10项，相加可得答案．
20.【答案】解：连接，则，
为正三角形，
，
设点在下底面圆周的射影为B，连接，则，
为直线与所成角或补角，
，
连接BC、BO、OC，
，，，
为正三角形，
，，
直线与所成角大小为
【解析】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题.
连接，推导出为正三角形，从而，由此能求出三棱锥的体积．
设点在下底面圆周的射影为B，连接，则，为直线与所成角或补角，由此能求出直线与所成角大小．
21.【答案】解：设双曲线C的半焦距为c，
由点在圆O：上，可得，
由，解得，
所以，
故双曲线C的标准方程；
设直线l与x轴相交于点D，双曲线C的渐近线方程为，
当直线l的斜率不存在时，直线l为，，，
所以；
当直线l的斜率存在时，设其方程为，则，，
把直线l的方程与C：联立可得，，
由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别相交，
所以直线l与双曲线的渐近线不平行，所以且，
所以，可得，解得或，
设，，
由，解得，
同理可得，
所以
，
综上所述，的面积恒为定值
【解析】利用点A在圆O上，求出a的值，设双曲线C的半焦距为c，利用数量积的坐标表示结合，即可求出c的值，由a，b，c的关系求出b的值，即可得到答案；
设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，求出三角形的面积；当l的斜率存在时，设直线l的方程，与双曲线方程联立，通过直线与双曲线的位置关系，得到m与k的关系，然后联立直线l与渐近线方程，求出点M，N的纵坐标，由三角形的面积公式求解即可．
本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：由，
可得，
①当时，由，可得；由，可得，
即有在递减；在递增；
②当时，由，解得或，
若，则恒成立，即有在R上递增；
若时，由，可得或；
由，可得；
即有在，递增，
在递减；
若，由，可得或；
由，可得
即有在，递增；在递减；
综上：当时，在递减；在递增；
当时，时，在R上递增；
时，在，递增，在递减；
时，在，递增；在递减．
①由可得，当时，在递减；在递增，
且，，故在上存在1个零点，
取b满足，且，
则，
故在是也存在1个零点，
故时，有2个零点；
②当时，，所以只有一个零点，不合题意；
③当时，若时，在R递增，不存在2个零点，不合题意；
若，在递增，又当时，，不存在2个零点，不合题意，
当时，在单调增，在递减，在递增，
极大值，故不存在2个零点，不合题意；
综上，有两个零点时，a的取值范围为
【解析】求出的导数，分当时，时的情况讨论，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；
由的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．
本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，考查分类讨论的想和函数方程的转化思想，属于难题．