(共36张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第1课时 集合的含义
学习目标 素养要求
1.了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养抽象、概括的能力 数学抽象
2.理解元素与集合的属于关系，知道常用数集及其记法 数学抽象
| 自 学 导 引 |
1．元素：一般地，把________统称为元素，常用小写字母____________表示．
2．集合：一些________组成的总体叫做集合，简称______，常用大写拉丁字母____________表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是________的．
4．集合中元素的特性：________、________和无序性．
研究对象
元素与集合的概念
a，b，c，…
元素
集
A，B，C，…
一样
确定性
互异性
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)漂亮的花可以组成集合． ( )
(2)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素． ( )
(3)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相等的． ( )
【答案】(1)× (2)× (3)×
【解析】(1)“漂亮的花”具有不确定性，故不能组成集合．
(2)由于集合中的元素具有互异性，故由两方程的根组成的集合中只有两个元素．
(3)集合中的元素具有无序性，所以元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是同一集合．
元素与集合的关系
概念 记法 读法
如果__________的元素，就说a属于集合A ________ a属于集合A
如果____________中的元素，就说a不属于集合A ________ a不属于集合A
a是集合A
a∈A
a不是集合A
a A
设集合A表示“1～10以内的所有素数”，3,4这两个元素与集合A有什么关系？如何用数学语言和符号语言分别表示？
【提示】3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4 A．
常用数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 ______ 有理数集 ______
符号 ______ N*或N＋ Z ______ R
整数集
实数集
N
Q
【答案】(1)D (2)2或3
| 课 堂 互 动 |
素养点睛：考查逻辑推理的核心素养．
题型1 集合的概念
判断一组对象能否构成集合的方法
(1)依据：元素的确定性是判断的依据．如果考查的对象是确定的，就能构成集合，否则不能构成集合．
(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性.
1．下列各组对象可以组成集合的是 ( )
A．数学必修第一册课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第一象限的一些点
D．所有小的正数
【答案】B
【解析】A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．
题型2 元素与集合的关系
素养点睛：考查逻辑推理和数学抽象的核心素养．
【答案】(1)C (2)2,1,0
判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．像此类题，主要看能否将所给对象的形式转化为集合中元素所具有的形式．
【答案】B
题型3 元素特性及其应用
已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3是集合A中的元素，试求实数a的值．
素养点睛：考查数学运算的核心素养．
解：因为－3是集合A中的元素，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合要求；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合要求．
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.
利用集合中元素的互异性求参数的策略及注意点
(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中的元素的互异性对集合中的元素进行检验．
(2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
3．已知集合A中含有三个元素1,0，x，若x2∈A，求实数x的值．
解：∵x2∈A，∴x2是集合A中的元素．
又∵集合A中含有3个元素，∴需分情况讨论：
①若x2＝0，则x＝0，此时集合A中有两个元素0，不符合互异性，舍去；
②若x2＝1，则x＝±1.当x＝1时，此时集合A中有两个元素1，舍去；当x＝－1时，此时集合A中有三个元素1,0，－1，符合题意；
③若 x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合互异性，都舍去．
综上，x＝－1.
方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集为__________．
错解：{1，a}
易错防范：本题易错的地方是忽略元素的互异性，且没有考虑参数a的不确定性，从而得到错误的答案．防范措施是当集合中元素含有参数时，求出参数的值后一定要代回式中检验，确保满足集合中元素的互异性．
易错警示 忽略集合元素的互异性
正解：x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，
所以方程的解为x＝1或x＝a.
若a＝1，则方程的解集为{1}；
若a≠1，则方程的解集为{1，a}．
故答案为{1}或{1，a}(a≠1)．
| 素 养 达 成 |
1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，就能构成集合；如果没有，就不能构成集合．
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a A．
3．能利用集合中元素的三个特性进行解题(体现了逻辑推理的核心素养)．
(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．
(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个特性通常用来判断两个集合的关系．
1．(题型1)下列能构成集合的是 ( )
A．中央电视台著名节目主持人
B．我市跑得快的汽车
C．上海市所有的中学生
D．香港的高楼
【答案】C
【解析】A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．
【答案】D
3．(题型2)已知集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是
( )
A．0∈A B．a A
C．a∈A D．a＝A
【答案】C
【解析】由元素与集合的关系可知a∈A．
4．(题型3)已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为________．
【答案】3
【解析】若m＝2，则m2－3m＋2＝0，与m2－3m＋2≠0矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．(共33张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
第2课时 集合的表示
学习目标 素养要求
1.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，掌握表示集合的列举法、描述法 数学抽象
2.通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，能在具体问题中选择适当的方法表示集合 数学建模
| 自 学 导 引 |
1．列举法：
(1)定义：把集合的元素________出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(2)形式：A＝{a1，a2，a3，…，an}．
一一列举
集合的表示方法
一一列举元素时，需要考虑元素的顺序吗？需要注意什么？
【提示】集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，但需要注意元素不能重复．
2．描述法：
(1)定义：设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征p(x)的元素x所组成的集合表示为____________，这种表示集合的方法称为描述法；
(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的____________________________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的__________．
(3)约定：如果从上下文的关系看，x∈R，x∈Z是明确的，那么x∈R，x∈Z可省略，只写其元素x.
{x∈A|P(x)}
一般符号及取值(或变化)范围
共同特征
【预习自测】
(1)用列举法表示方程x2＝x的所有实数解组成的集合为________．
(2)用符号“∈”或“ ”填空：
①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A；
②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．
【答案】(1){0,1} (2)①∈ ②∈
【解析】(1)方程x2＝x的实数解是x＝0或x＝1，所以方程x2＝x的所有实数解组成的集合为{0,1}．
(2)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1 A．
②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．
能用列举法表示所有大于0的实数吗？如果不能，又该怎样表示？
【提示】不能．表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素，而完成此任务除了一一列举，还可用元素的共同特征(如都大于0)来表示集合，如大于0的实数可表示为{x∈R|x＞0}．
| 课 堂 互 动 |
素养点睛：考查数学抽象和数学运算的核心素养．
题型1 用列举法表示集合
用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
素养点睛：考查数学抽象的核心素养．
题型2 用描述法表示集合
解：(1)偶数可用式子2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
用描述法表示集合的注意点
(1)“竖线”前面的x∈R可简记为x；
(2)“竖线”不可省略；
(3)p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；
(4)同一集合用描述法表示可以不唯一．
2．试用描述法表示下列集合：
(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
解：(1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，
∴用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．
(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10
∴用描述法表示为B＝{x∈Z|10用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
素养点睛：考查数学抽象的核心素养．
题型3 集合表示方法的综合应用
用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．
解：(1)列举法：{3,5,7}．
(2)描述法：{x|x是周长等于10 cm的三角形}．
(3)列举法：{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}．
(4)列举法：{(0,0)，(1,1)}．
若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”．
(1)判断集合A＝{－1,1,2}是否为可倒数集；
(2)试写出一个含3个元素的可倒数集．
巧题妙解 新定义题
| 素 养 达 成 |
1．集合表示法的选取(体现了数学建模的核心素养)．
(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则；
(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．
2．在用描述法表示集合时应注意：
(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数，还是有序实数对(点)，还是集合或其他形式；
(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．
1．(题型1)用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为 ( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
【答案】B
【解析】集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解，此方程有两相等实根，为1，即可表示为{1}．故选B．
2．(题型2)集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为 ( )
A．{x|x＝2n±1，n∈N}
B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N}
C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N}
D．{x|x＝(－1)n－1(2n＋1)，n∈N}
【答案】C
【解析】观察规律，其绝对值为奇数排列，正负相间，且第一个为正数．故选C．
3．(题型3)下列四个集合中，不同于另外三个的是 ( )
A．{y|y＝2} B．{x＝2}
C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
【答案】B
【解析】集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.
【答案】{(3，－7)}
5．(题型3)选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于3的整数组成的集合；
(2)方程(3x－5)(x＋2)＝0的实数解组成的集合；
(3)一次函数y＝x＋6图象上所有点组成的集合．(共36张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 集合间的基本关系
学习目标 素养要求
了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn图表示集合的方法，理解两集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 逻辑推理
数学运算
| 自 学 导 引 |
1．Venn图
(1)定义：在数学中，经常用平面上______曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
(2)适用范围：元素个数较少的集合．
(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
封闭
子集的相关概念
2．子集、真子集、集合相等的概念
(1)子集的概念
任意一个
包含于
包含
(2)集合相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．此时，集合A是集合B的子集(A B)，且集合B是集合A的子集(B A)，也就是说，若A B，且B A，则A＝B．
(3)真子集的概念
x∈B，且x A
(4)空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集．用符号表示为： .规定：空集是任何集合的子集．
【解析】(1)由Venn图易得答案．
(2)①“ ”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系．
②空集只有子集，没有真子集．
③ 是不含任何元素的集合，而{ }集合中含有一个元素 .
集合间关系的性质
【预习自测】
设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为 ( )
A．P N M Q B．Q M N P
C．P M N Q D．Q N M P
【答案】B
【解析】正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形．故选B．
| 课 堂 互 动 |
指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
素养点睛：考查逻辑推理的核心素养．
题型1 集合关系的判断
判断集合关系的方法
(1)观察法：一一列举观察．
(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．
(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．
【答案】(1)D (2)C
【解析】(1)因为A＝{－2,3}，B＝{3}，所以B?A．
(2)在数轴上分别画出集合A，B，如图所示，由数轴知B?A．
题型2 子集、真子集个数问题
【解析】集合{a，b，c}的子集有： ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个．
(2)解：由题意知，集合P中一定含有元素3,4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．
1．假设集合A中含有n个元素，则有：
(1)A的子集的个数有2n个；
(2)A的非空子集的个数有2n－1个；
(3)A的真子集的个数有2n－1个；
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个(n∈N*)．
2．求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序或借助树状图来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．
【答案】(1)B (2)7
已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1素养点睛：考查逻辑推理的核心素养．
题型3 由集合间的包含关系求参数
由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为 的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．
3．(2020年沈阳高一期中)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B A，则实数m的取值范围是 ( )
A．m≤2 B．2＜m≤4
C．2≤m≤4 D．m≤4
【答案】D
若集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1，x∈R}，且N?M，求实数m的值．
易错警示 忽视空集
| 素 养 达 成 |
1．对子集、真子集有关概念的理解(体现了逻辑推理的核心素养)．
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A B的常用方法．
(2)不能简单地把“A B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝ ，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A．
2．集合子集的个数(体现了数学运算的核心素养)．
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
3．涉及字母参数的集合关系问题，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
1．(题型2)集合A＝{－1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有 ( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
【答案】B
【解析】根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．故选B．
2．(题型1)(2021年漳州高一期末)设集合A＝{1,5}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为 ( )
A．A∈B B．B∈A
C．A B D．B A
【答案】C
【解析】∵1<2，∴1∈B．又∵5>3，∴5∈B．∴A B．
3．(题型1)(多选)下列四个关系中错误的是 ( )
A．1 {1,2,3} B．{1}∈{1,2,3}
C．{1,2,3} {1,2,3} D． {1}
【答案】AB
【解析】A应该为1∈{1,2,3}；B应该为{1} {1,2,3}；C中{1,2,3} {1,2,3}，正确；D中 {1}，正确．故选AB．
4．(题型3)(2021年贵州适应性考试)已知集合A＝{x|1【答案】{a|a≥1}
5．(题型3)已知M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2，4a－3，3a－1}，若M＝N，求实数a的值．
解：因为M＝N，则(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；
当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故实数a的值为1.(共37张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
第1课时 并集与交集
学习目标 素养要求
1.理解两个集合的并集、交集的含义，会求两个集合的并集与交集 数学运算
2.体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间运算的过程，培养学生的自学阅读能力和自主探究能力 数学运算
3.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 直观想象
| 自 学 导 引 |
1．(1)文字语言：由所有属于集合A____属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的________．
(2)符号语言：A∪B＝________________.
(3)图形语言：如图所示．
或
并集
并集
{x|x∈A或x∈B}
2．并集的运算性质
(1)A∪B＝B∪A；
(2)A∪A＝________；
(3)A∪ ＝________；
(4)A∪B A，A∪B B；
(5)A B A∪B＝________.
A
A
B
某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛．已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？
【提示】参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12－3＝19人．
【预习自测】
(1)已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于 ( )
A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}
C．{x|0(2)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．
【答案】(1)A (2)5
【解析】(1)A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1≤x≤2}＝{x|x≥－1}．
(2)A∪B＝{1,2,3}∪{2,4,5}＝{1,2,3,4,5}，共5个元素．
1．(1)文字语言：由属于集合A____属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的________．
(2)符号语言：A∩B＝_______________.
(3)图形语言：如图所示．
且
交集
交集
{x|x∈A且x∈B}
2．交集的运算性质
对于任何集合A，B，有
(1)A∩B＝B∩A；
(2)A∩A＝________；
(3)A∩ ＝________；
(4)A∩B A，A∩B B；
(5)A B A∩B＝________.
A
A
一副扑克牌，既是黑桃又是K的牌有几张？
【提示】黑桃共13张，K共4张，其中两项要求均满足的只有黑桃K一张．
【预习自测】
(1)若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝ ( )
A．{0，－1} B．{1}
C．{0} D．{－1,1}
(2)若P＝{x|x≥1}，Q＝{x|－1【答案】(1)B (2){x|1≤x<4}
【解析】(1)M∩N＝{－1,1}∩{－2,1,0}＝{1}．故选B．
(2)如图所示，P∩Q＝{x|1≤x<4}．
| 课 堂 互 动 |
(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于 ( )
A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}
C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}
(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于 ( )
A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
题型1 并集的概念及简单应用
素养点睛：考查数学运算与数学抽象的核心素养．
【答案】(1)A (2)C
【解析】(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．
(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}．
求集合并集的两种方法
(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时要注意端点能否取到．
【答案】B
(1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x|x2＋x－6＝0}，则A∩B等于 ( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
(2)(2021年绵阳模拟)若集合M＝{x|－3≤x＜3}，N＝{1,2,3}，则M∩N等于 ( )
A．{1} B．{2}
C．{1,2} D．{1,2,3}
题型2 交集的概念及简单应用
素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养．
【答案】(1)A (2)C
【解析】(1)易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，所以A∩B＝{2}．故选A．
(2)M＝{x|－3≤x＜3}，N＝{1,2,3}，则M∩N＝{1,2}．
求集合交集的两个注意点
(1)求两个集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．
(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．
2．(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为 ( )
A．5 B．4
C．3 D．2
(2)已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝ ( )
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
【答案】(1)D (2)D
设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a－1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
素养点睛：考查数学抽象与数学运算的核心素养．
题型3 并集、交集的运算性质及应用
解：(1)由题可知A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，因为A∩B＝{2}，所以2∈B，将2代入集合B中得4＋4(a－1)＋(a2－5)＝0，解得a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，集合B＝{2,10}符合题意；
当a＝1时，集合B＝{2，－2}，符合题意．
综上所述，a＝－5或a＝1.
(2)若A∪B＝A，则B A，
因为A＝{1,2}，所以B＝ 或B＝{1}或{2}或{1,2}．
若B＝ ，则Δ＝4(a－1)2－4(a2－5)＝24－8a<0，解得a>3；
利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝A A B，A∪B＝A B A．
(2)关注点：当集合A B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝ 的情况，否则易漏解．
3．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝ ，求实数a的取值范围．
解：由A∩B＝ ，
①若A＝ ，有2a＞a＋3，所以a＞3.
②若A≠ ，如图：
| 素 养 达 成 |
1．对并集、交集概念的理解(体现了直观想象和数学运算的核心素养)．
(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x B；x∈B但x A；x∈A且x∈B．因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分．特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝ .
2．集合的交、并运算中的注意事项
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
1．(题型2)(2020年太原高一期中)设集合A＝{－2，－1，0,1}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝ ( )
A．{0,1} B．[0,1]
C．{－2，－1,0,1,2} D．[－2,2]
【答案】A
【解析】因为A＝{－2，－1,0,1}，B＝{0,1,2}，所以A∩B＝{0,1}．故选A．
2．(题型3)(2021年临汾高一期末)已知集合A＝{x|x≤5}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是 ( )
A．{a|a＜5} B．{a|a≤5}
C．{a|a＞5} D．{a|a≥5}
【答案】B
【解析】因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示5的点重合或在表示5的点的左边，所以a≤5.
3．(题型3)已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{－1，0,1}的集合N的个数是 ( )
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】C
【解析】由M∪N＝{－1,0,1}，得到集合M M∪N，且集合N M∪N，又M＝{－1,0}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0,1}或{－1,1}或{0，－1,1}，共4个．故选C．
【答案】1或2
5．(题型1,2)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2(1)A∪B； (2)C∩B．
(2)由集合B＝{x|2则C∩B＝{x|2第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及综合运算
学习目标 素养要求
1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 数学运算
2.能运用Venn图表达补集运算 直观想象
| 自 学 导 引 |
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作________．
所有元素
补集的概念
U
2．补集
不属于集合A
{x|x∈U且x A}
补集的相关性质
(1)A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝ .
(2) U( UA)＝A， UU＝ ， U ＝U.
(3) U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB)．
【预习自测】
(1)设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则 U(A∪B)＝________.
(2)已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若 AB＝{5}，则实数m＝________.
【答案】(1){5} (2)5
【解析】(1)因为A∪B＝{1,2,3,4}，所以 U(A∪B)＝{5}．
(2)由 AB＝{5}知5∈A且5 B，即5∈{3,4，m}，故m＝5.
| 课 堂 互 动 |
题型1 补集的基本运算
素养点睛：考查数学运算的核心素养．
(1)C (2)2
求补集的方法
(1)定义法：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．
(2)数形结合法：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合．
1．(1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3(2)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m＝________.
【答案】(1){x|x＝－3或x>4} (2)－3
【解析】(1)借助数轴得 UA＝{x|x＝－3或x>4}．
(2)因为 UA＝{1,2}，所以A＝{0,3}，所以0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，所以m＝－3.
设U＝R，已知集合A＝{x|－5(1)A∩B；
(2)A∪B；
(3)A∪( UB)；
(4)B∩( UA)；
(5)( UA)∩( UB)．
素养点睛：考查数学运算和直观想象的核心素养．
题型2 集合交、并、补的综合运算
解：如图1.
(1)A∩B＝{x|0≤x＜5}．
(2)A∪B＝{x|－5(3)如图2， UB＝{x|x<0或x≥7}，
∴A∪( UB)＝{x|x<5或x≥7}．
(4)如图3， UA＝{x|x≤－5或x≥5}，
∴B∩( UA)＝{x|5≤x＜7}．
(5)(方法一)∵ UB＝{x|x<0或x≥7}，
UA＝{x|x≤－5或x≥5}，画数轴如图4，
∴( UA)∩( UB)＝{x|x≤－5或x≥7}．
(方法二)( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{x|x≤－5或x≥7}．
求解与不等式有关的集合问题的方法
解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．
求解集合混合运算问题的一般顺序
解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分．
2．已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求 U(A∪B)， U(A∩B)，( UA)∩( UB)，( UA)∪( UB)．
解：(方法一)∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∴ U(A∪B)＝{6,7,9}．
∵A∩B＝{5,8}，∴ U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
∵ UA＝{1,3,6,7,9}， UB＝{2,4,6,7,9}，
∴( UA)∩( UB)＝{6,7,9}，
( UA)∪( UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
(方法二)作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．
设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2素养点睛：考查数学运算和直观想象的核心素养．
解：由已知A＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2.
所以m的取值范围是{m|m≥2}．
题型3 与补集相关的参数值的求解
由集合的补集求解参数的方法
(1)定义法：如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义求解．
(2)数形结合法：如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．
3．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩( UA)＝ ，求实数m的值．
错解：A
易错警示 忽视语言转换的等价性
易错防范：容易错选A，原因是将集合M看作直线y＝x＋1上的点的集合．防范措施是在变形的过程中，不可忽视等价性．
正解：M是直线y＝x＋1上除去点(2,3)的点的集合．集合N是坐标平面内不在直线y＝x＋1上的点的集合，所以M∪N是坐标平面上除去(2,3)以外的点构成的集合，它的补集 I(M∪N)＝{(2,3)}，应选B．
| 素 养 达 成 |
1．补集定义的理解(体现了数学运算的核心素养)．
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想．
(3)从符号角度来看，若x∈U，A?U，则x∈A和x∈ UA二者必居其一．
2．与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．
3．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视．
1．(题型2)(2020年黄冈高一期中)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，且集合B＝{1,2,4}，集合A＝{2,3}，则B∩( UA)＝ ( )
A．{1,4} B．{1}
C．{4} D．
【答案】A
【解析】 UA＝{0,1,4}，B∩( UA)＝{1,4}．故选A．
2．(题型2)已知集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则( RA)∩B＝ ( )
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
【答案】A
【解析】因为集合A＝{x|x>－1}，所以 RA＝{x|x≤－1}，则( RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．故选A．
3．(题型3)(2021年衡阳模拟)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪( RB)＝R，则实数a的取值范围是 ( )
A．{a|a≤1} B．{a|a≥1}
C．{a|a≤2} D．{a|a≥2}
【答案】D
【解析】∵ RB＝{x|x<1或x>2}，且A∪( RB)＝R，∴{x|1≤x≤2} A，∴a≥2.
4．(题型1)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x【答案】2
【解析】因为A＝{x|1≤x5．(题型2)已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求 UA， UB，( UA)∩( UB)．
解：将集合U，A，B分别表示在数轴上，如图所示，
则 UA＝{x|－1≤x≤3}，
UB＝{x|－5≤x<－1或1≤x≤3}．
(方法一)( UA)∩( UB)＝{x|1≤x≤3}．
(方法二)因为A∪B＝{x|－5≤x<1}，
所以( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{x|1≤x≤3}.(共33张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
学习目标 素养要求
理解充分条件、必要条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系；会判断充分条件、必要条件 数学抽象
逻辑推理
| 自 学 导 引 |
1．命题：可以判断真假的陈述句叫做命题．
2．数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是它的表述进行适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式，这样条件p和结论q就明确了．
充分条件
充分条件与必要条件
必要条件
p q
充分必要
充要
充要
既不充分也不必要
3．数学中的每一条判定定理都给出了相应结论成立的一个________条件；
数学中的每一条性质定理都给出了相应结论成立的一个________条件；
数学中的每一个定义都给出了相应结论成立的一个________条件．
充分
必要
充要
【预习自测】
(1)“x＝1”是(x－1)(x－2)＝0的________条件．
(2)设集合M＝{x|0(3)设p：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，q：b2－4ac≥0，则p是q的________条件．
【答案】(1)充分不必要
(2)必要不充分 (3)充要
| 课 堂 互 动 |
(1)(2021年郑州期末)已知命题p：(a－2)(a－3)＝0，命题q：a＝3，则p是q的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
素养点睛：考查数学抽象和逻辑推理的核心素养．
(1)B (2)B
题型1 充分、必要、充要条件的判断
【解析】(1)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以推出(a－2)(a－3)＝0，因此p是q的必要不充分条件．
(2)由两个三角形全等可得，两个三角形面积相等．反之不成立．故“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B．
1．(1)已知a，b，c是实数，下列命题结论正确的是 ( )
A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件
B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件
(2)指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
①p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
②p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
【答案】(1)C
【解析】对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是ab，但是a2bc2得c≠0，则a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是ab，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选C．
已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
素养点睛：考查数学抽象和逻辑推理的核心素养．
题型2 充分条件与必要条件的应用
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：首先将充分条件、必要条件转化为集合间的包含关系，然后借助数轴直观建立关于参数的不等式(组)进行求解．
2．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若q是p的充分条件，求实数a的取值范围．
证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
素养点睛：考查逻辑推理的核心素养．
题型3 充要条件的证明
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
(3)证明时一定要注意方向性，分清充分性与必要性的证明方向，关键是要明确谁是条件．
2．已知a＋b≠0，证明：a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
证明：(充分性)若a＋b＝1，则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立．
(必要性)若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)·(a＋b－1)＝0.
因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1，必要性成立．
综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
命题“x＜2”的一个充分不必要条件是________(答案不唯一)．
错解：命题“x＜2”的一个充分不必要条件是：x＜3(或任意填写一个不等式：x＜a，a为大于2的任一实数)．
易错防范：错解的根源在于没有分清条件与结论之间的关系．若命题p的一个充分不必要条件是命题q，那么有q p.也就是命题“x＜2”是结论，我们要填的是条件．防范措施是对于充分或必要条件的判断，首先要分清谁是条件，谁是结论．
正解：命题“x＜2”的一个充分不必要条件是：x＜1(或任意填写一个不等式：x＜a，a为小于2的任一实数)．
易错警示 没有分清条件与结论
| 素 养 达 成 |
1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断(体现了逻辑推理的核心素养)．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性分别是证明怎样的一个命题成立．
“A的充要条件为B”的命题的证明：A B证明了必要性；B A证明了充分性．
“A是B的充要条件”的命题的证明：A B证明了充分性；B A证明了必要性．
1．(题型1)(2020年景德镇高一期中)设a，b∈R，则a≥b是|a|≥b的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若a≥b≥0，则|a|＝a≥b即|a|≥b；若b≤a≤0，则|a|＝－a≥0≥b，即|a|≥b；若a≥0≥b，则|a|＝a≥0≥b即|a|≥b；或由|a|≥a，a≥b可得|a|≥b，可知充分条件成立；当a＝－3，b＝－2时，则|a|≥b，此时a＜b，可知必要条件不成立．所以a≥b是|a|≥b的充分不必要条件．故选A．
【答案】A
3．(题型1)(2020年青岛高一期中)“－2＜x＜4”是“x＜4”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
4．(题型2)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．
【答案】－1 (共36张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
学习目标 素养要求
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 数学抽象
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 逻辑推理
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 逻辑推理
| 自 学 导 引 |
1．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做____________，并用符号“________”表示，含有全称量词的命题叫做全称量词命题．常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等．
2．通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为______________．
全称量词
全称量词命题
x∈M，p(x)
3．一个全称量词命题可以包含多个变量，如“ x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”．
4．全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”．
【预习自测】
下列命题是全称量词命题的是________(填序号)．
①每个四边形的内角和都是360°；②任何实数都有算术平方根；③ x∈Z,2x＋1是整数；④存在一个x∈R，使2x＋1＝3.
【答案】①②③
1．短语：“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做________，并用符号“________”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．
2．存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为____________．
3．一个存在量词命题可以包含多个变量，如“ a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”．
存在量词
存在量词命题
x∈M，p(x)
4．含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．
【预习自测】
下列语句是存在量词命题的是________(填序号)．
①任意一个自然数都是正整数；②存在整数n，使n能被11整除；③ x∈R，x2＋1≥1；④有些整数只有两个正因数．
【答案】②④
1．全称量词命题： x∈M，p(x)，它的否定：__________________.
2．存在量词命题： x∈M，p(x)，它的否定：__________________.
x∈M，綈p(x)
全称量词命题和存在量词命题的否定
x∈M，綈p(x)
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)命题綈p的否定是p. ( )
(2) x0∈M，p(x0)与 x∈M，綈p(x)的真假性相反． ( )
(3)从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定． ( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)√
| 课 堂 互 动 |
判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(5)方程3x－2y＝10有整数解．
素养点睛：考查数学抽象的核心素养．
题型1 全称量词命题与存在量词命题的判断
解：(1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．
(2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．
(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(5)可改写为：存在整数x，y，使3x－2y＝10成立，故为存在量词命题．
全称量词命题与存在量词命题的判断思路
[注意] 全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
1．给出下列命题：
①存在实数x>1，使x2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中存在量词命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．故选C．
判断下列命题的真假．
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0.
素养点睛：考查数学抽象的核心素养．
题型2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
解：(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“ x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
判断全称量词命题与存在量词命题真假的技巧
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可．
(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．
2．下列是存在量词命题且是真命题的是 ( )
A． x∈R，x2>0 B． x∈Z，x2>2
C． x∈N，x2∈N D． x，y∈R，x2＋y2<0
【答案】B
【解析】对于A， x∈R，x2>0是全称量词命题，不合题意；对于B， x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对于C， x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D， x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意．故选B．
(1)命题“存在实数x，使x>1”的否定是 ( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
题型3 全称量词命题与存在量词命题的否定
(2)命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
D． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
素养点睛：考查数学抽象的核心素养．
【答案】(1)C (2)D
【解析】(1)利用存在性命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都有x≤1.故选C．
(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N*，使得n＜x2”．故选D．
全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
3．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p是 ( )
A．有些三角形不是等腰三角形
B．所有三角形是等边三角形
C．所有三角形都不是等腰三角形
D．所有三角形是等腰三角形
【答案】C
【解析】在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词，“有些”改为“所有”，否定结论，“是等腰三角形”改为“都不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形都不是等腰三角形”．
“ x∈R，若y＞0，则x2＋y＞0”的否定是________________．
错解： x∈R，若y≤0，则x2＋y≤0
易错防范：本题答案看似正确，量词由“ ”改为“ ”，结论中“＞”改为“≤”，但是“若y＞0”改成了“若y≤0”就出现了错误，原因是“若y＞0”不是结论，而是条件．防范措施是记准两点：一是否定量词，二是否定结论．
正解： x∈R，若y＞0，则x2＋y≤0
易错警示 对含量词命题的否定把握不准
已知命题“ x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
素养养成 根据命题的真假求参数范围
【素养养成】由命题的真或假推断参数的取值范围考查逻辑推理的核心素养，由全称量词命题和存在量词命题的真假，推断不等式成立与否，考查数学抽象的核心素养．
| 素 养 达 成 |
1．全称量词与存在量词(体现了数学抽象的核心素养)．
(1)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”．
(2)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题．
2．全称量词命题和存在量词命题的否定(体现了逻辑推理的核心素养)．
对全称量词命题和存在量词命题的否定，我们可以这样理解：
①要否定全称量词命题“ x∈M，p(x)”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也就是命题“ x∈M，綈p(x)”成立；
②要否定存在量词命题“ x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“ x∈M，綈p(x)”成立．
在书写这两种命题的否定时，要将相应的存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．
1．(题型3)设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p： x∈Z,2x∈A，则綈p ( )
A． x∈Z,2x A
B． x Z,2x∈A
C． x∈Z,2x∈A
D． x∈Z,2x A
【答案】D
【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，所以綈p： x∈Z,2x A．故选D．
2．(题型2)下列结论中正确的是 ( )
A． n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B． n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C． n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D． n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是假命题
【答案】C
【解析】当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B、D错误，C正确．故选C．
3．(题型2)下列命题中正确的是 ( )
A． x∈{－1,1},2x＋1>0
B． x∈Q，x2＝3
C． x∈R，x2－1>0
D． x∈N，|x|≤0
【答案】D (共37张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
章末素养提升
| 体 系 构 建 |
| 核 心 归 纳 |
1．集合中元素的三个特性
特征 含义 示例
确定性 作为一个集合的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了 集合A＝{1,2,3}，则1∈A,4 A
互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或者说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时只能算集合的一个元素 集合{x，x2－x}中的x应满足x≠x2－x，即x≠0且x≠2
无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分 集合{1,0}和{0,1}是同一个集合
2.集合描述法的两种形式
(1)符号描述法：用符号把元素的共同属性描述出来，其一般形式为{x|P(x)}或{x∈I|P(x)}，其中x代表元素，I是x的取值集合，P(x)是集合中元素x的共同属性，竖线不可省略，如大于1且小于4的实数构成的集合可以表示为{x∈R|1(2)文字描述法：用文字把元素的共同属性叙述出来，并写在花括号内，如{x|x是参加平昌冬奥会的运动员}，但花括号内不能出现“所有”“全体”“全部”等字样．
3．条件关系判定的常用结论
4.全称量词命题和存在量词命题的否定
对含有全称(存在)量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称(存在)量词改写成存在(全称)量词；第二步，将结论加以否定．
含有全称量词的命题的否定是含有存在量词的命题，含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．例如：
①“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在一个正方形不是矩形”，其中，把全称量词“所有的”变为存在量词“至少存在一个”；
②“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的否定为“对所有的实数x，都有x2＋x＋1>0”，其中，把存在量词“存在一个”变为全称量词“所有的”．
| 思 想 方 法 |
(一)分类与整合思想
思想方法解读：当所给集合不确定时，往往需要对集合的种类和集合中的字母参数进行分类讨论，特别要注意空集的情况．
【答案】C
【点评】本题主要考查集合中元素的互异性，属常考题型，较难．解题的关键是求出a的值后要回代到集合中利用集合中元素的互异性进行检验．
已知集合A＝{x|2≤x≤9}，B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}，若B A，求实数m的取值范围．
1．已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|5＜2x－1＜17}．
(1)求A∩B，( RB)∪A；
(2)已知C＝{x|m＋2＜x≤2m}，若C∩B＝C，求实数m的取值范围．
解：(1)因为B＝{x|5＜2x－1＜17}＝{x|3＜x＜9}，
所以A∩B＝{x|3＜x＜7}， RB＝{x|x≤3或x≥9}．
所以( RB)∪A＝{x|x＜7或x≥9}．
(二)数形结合思想
思想方法解读：集合的运算时，对离散的数集间的运算，可借助Veen图实施，对连续的数集间的运算，常常利用数轴进行，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．
某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为 ( )
A．60 B．70
C．80 D．90
【答案】B
【解析】随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出Venn图如下，
所以阅读过《西游记》的学生人数为10＋60＝70.故选B．
【点评】本题求阅读过《西游记》的学生人数，考查交集定义等基础知识、运用Venn图求解能力与数形结合思想，属于基础题．
2．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加物、化两科的有3名，只参加数、化两科的有4名．若该班学生共有48名，问没有参加任何一科竞赛的学生有多少名？
解：画三个圆分别代表参加数学、物理、化学竞赛的人数．因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科竞赛的有5名，只参加物、化两科竞赛的有3名，只参加数、化两科竞赛的有4名．分别填入图形中，又因为有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛．故单独参加数学的有8人、
单独参加物理的有13人，单独参加化学的有5人，
故8＋13＋5＋5＋7＋4＋3＝45是参加竞赛的人数，
所以没参加的人数为48－45＝3.
已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∩Q等于
( )
A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
【答案】A
【解析】在数轴上表示两个集合，如图，可得P∩Q＝{x|－1≤x＜3}．
【点评】当集合是用不等式表示时，涉及集合的基本运算，可运用数轴数形结合求解，对于端点处的取舍，可以单独检验．
3．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∪B＝( )
A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|－1≤x≤4}
【答案】D
【解析】在数轴上表示出集合A与B，如图所示．
则由并集的定义知，A∪B＝{x|－1≤x≤4}．故选D．
(三)转化与化归思想
思想方法解读：应用集合的交、并、补集的运算求参数或确定另外的集合，关键是利用交、并、补集的定义将问题转化为元素与集合的关系，从而构造方程、不等式(组)来解答．
(2020年兰州高一期中)已知集合A＝{x|－a＜x＜2a－6}，B＝{x|(x＋1)(x－5)＜0}．
(1)若a＝4，求A∩B；
(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
4．(2020年昌吉高一期中)已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－2或x＞6}．
(1)若a＝5，求A∪B；
(2)若A∩B＝ ，求实a的取值范围．
| 链 接 高 考 |
(2018年课标Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为 ( )
A．9 B．8
C．5 D．4
【答案】A
【解析】当x＝－1时，y2≤2，得y＝－1,0,1，当x＝0时，y2≤3，得y＝－1,0,1，当x＝1时，y2≤2，得y＝－1，0,1，即集合A中元素有9个．故选A．
集合的含义与表示
【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．
(2021年全国新高考Ⅰ)设集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝ ( )
A．{2} B．{2,3}
C．{3,4} D．{2,3,4}
【答案】B
【解析】A∩B＝{x|－2＜x＜4}∩{2,3,4,5}＝{2,3}．故选B．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题．
集合的运算
【答案】B
(2021年全国乙)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，则 U(M∪N)＝ ( )
A．{5} B．{1,2}
C．{3,4} D．{1,2,3,4}
【答案】A
【解析】M∪N＝{1,2}∪{3,4}＝{1,2,3,4}，又因为全集U＝{1,2,3,4,5}，所以 U(M∪N)＝{5}．故选A．
【点评】本题主要考查集合的并、补运算，是基础题．
(2019年天津改编)设x∈R，则“0＜x＜5”是“0＜x＜2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为0＜x＜5推不出0＜x＜2,0＜x＜2 0＜x＜5，所以0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件．故选B．
【点评】本题考查充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．
充分条件、必要条件的判断
【答案】A
(2013年四川)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A,2x∈B，则 ( )
A．綈p： x∈A,2x B B．綈p： x A,2x B
C．綈p： x A,2x∈B D．綈p： x∈A,2x B
含有量词命题的否定
【答案】D
【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p： x∈A，2x∈B，则綈p： x∈A,2x B．故选D．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基本知识的考查．