2021-2022学年北师大版数学八年级下册第1章三角形的证明复习（二）教案

第1章 三角形的证明复习（二）
一、复习目标
1.在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.
2．进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力．
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
重点：线段垂直平分线与角平分线的性质和判定．
难点：线段垂直平分线与角平分线的综合应用．
四、教学过程
(一)知识梳理
1．直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的　 　.
2．勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的　 　.
逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是　 　三角形
3．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理
性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离　 　.
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段
的　 　上．
4．三线共点
三角形三条边的垂直平分线相交于　　 ，并且这一点到三角形三个顶点的距离　 　.
5．角平分线的性质定理及判定定理
性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离　 　.
判定定理：在一个角的内部，且到角的两边　 　相等的点，在这个角的平分线上．
[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个条件．
6．三角形三条角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离　 　.
(二)题型、技巧归纳
考点一　勾股定理及逆定理的应用
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点P在BC上，PD⊥AB于点D，PD=2，PC=11,求AP的长．
考点二　线段垂直平分线的性质及判定
例2、如图，△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，交AC边于点E，交BC边于点D，且△ABC的周长为19，△ABD的周长为13，求AE的长为多少？
例3、如图，△ABC中，AB=AC，直线l经过△ABC的顶点A，点D在直线l上，且∠1=∠2.求证：直线l是线段BC的垂直平分线
考点三　角平分线的性质及判定
例4、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD，求证：∠BAP+∠BCP=180°
例5、如图，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，BF于CE交于点D，BE=CF.
求证:AD平分∠BAC
典例精讲
1．下列命题中，是真命题的是 （ ）
A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同位角互补
C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角三角形中两锐角互补
2．若三角形三边长之比为1∶∶2，则这个三角形中的最大角的度数是 （ ）
A．60° B．90°　　　C.120° D．150°
3．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于 （ ）
A．∶1∶2 B．1∶2∶ C．1∶∶2 D．2∶1∶
4．到线段AB两个端点距离相等的点，在 .
5．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线交AB于D，若AD＝2 cm，则BD＝ cm．
6．如图1－80所示，△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，已知△ADE的周长为12 cm，求BC的长．
7．如图1－81所示，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1 km，B村到公路l的距离BD＝2 km，B村在A村的南偏东45°方向上．
（1）求A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置．（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）
（四）归纳小结
1．本节课学习了哪些主要内容？
2．勾股定理，垂直平分线以及角平分线的性质与判定的应用。
3．在应用时要注意哪些问题？
随堂检测
1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分线交CB边于D，若AB＝10，AC＝5，则图中等于60°的角的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝________.
3．若点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC的(　　)
A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条中垂线的交点
4．在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有(　　)
A．只有一个 　 B．有两个
C．有三个或三个以上 　 D．有一个或没有
5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；
(2)AB＝BC＋AD.
6、在ΔABC中,∠C=900,∠B=300,AD是∠BAC的平分线,已知AB= ,求AD的长.
五、板书设计
把黑板分成两份，左边部分板书例题，右边部分板书学习练习题，重复使用
六、作业布置
完成课后同步练习题