2021-2022学年青岛版八年级数学上册 1.2全等三角形的判定4课件(共52张PPT)

(共52张PPT)
复习提问
证明一般两个三角形全等有哪些方法
1.在两个三角形中,如果有三条边对应相等,那么这两个三角形全等(简记S.S.S)
2.在两个三角形中,如果有两条边及它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等(简记为S.A.S)
3.在两个三角形中,如果有两个角及它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等(简记为A.S.A)
4.在两个三角形中,如果有两个角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等(简记为A.A.S)
A
C
B
如图， △ABC中, ∠C是直角
斜边
直角边
直角边
直角三角形用Rt△
表示。
一、判断：满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么
1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形.
全等
(AAS)
练一练
2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形.
全等
( ASA)
一、判断：满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么
练一练
3.两直角边对应相等的两个直角三角形.
全等
( SAS)
一、判断：满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么
练一练
4.有两边对应相等的两个直角三角形.
不一定全等
情况1：全等
情况2：全等
(SAS)
( HL)
一、判断：满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么
练一练
11
情况3：不全等
一、判断：满足下列条件的两个三角形是否全等 为什么
练一练
12
5.一个锐角及一边对应相等的两个直角三角形.
不一定全等
想一想
对于一般的三角形“S.S.A”可不可以证明三角形全等
A
B
C
D
但直角三角形作为特殊的三角形,
会不会有自身独特的判定方法呢
动动手 做一做
画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=
8cm,斜边AB=10cm.
A
B
C
10cm
10cm
10cm
10cm
10cm
8cm
8cm
8cm
8cm
8cm
动动手 做一做
1:画∠MCN=90°;
C
N
M
动动手 做一做
1:画∠MCN=90°;
C
N
M
2:在射线CM上截取CA=8cm;
A
1:画∠MCN=90°;
2:在射线CM上截取CA=8cm;
动动手 做一做
3:以A为圆心，10cm为半径画弧，交射线CN于B;
C
N
M
A
B
C
N
M
B
动动手 做一做
A
4:连结AB;
△ABC即为所要
画的三角形
1:画∠MCN=90°;
2:在射线CM上截取CA=8cm;
3:以A为圆心，10cm为半径画弧，交射线CN于B;
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？
你发现了什么？
A
B
C
10cm
10cm
10cm
10cm
10cm
8cm
8cm
8cm
8cm
8cm
A′
B ′
C ′
10cm
10cm
10cm
10cm
10cm
8cm
8cm
8cm
8cm
8cm
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”
或“HL”
前提
条件1
条件2
斜边、直角边公理 (HL)推理格式
A
B
C
A ′
B′
C ′
∴在Rt△ABC和Rt△A B C 中
AB=A B
BC=B C
∴Rt△ABC≌
∵∠C=∠C′=90°
Rt△A B C
(HL)
1.如图所示,在△ABC 和△ABD 中，AC⊥BC, AD⊥BD,
垂足分别为C、D,AD =BC,求证：△ABC ≌△BAD。
A
B
D
C
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD
∴∠C与∠D都是直角。
AB =BA
AC =BD
Rt△ABC ≌Rt△BAD (HL）。
∴ BC﹦AD
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
如图 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE。说明△EBC≌ △DCB的理由。
A
B
C
∟
∟
E
D
如图，AC=AD，∠C=∠D=Rt∠ ，你能说明点A在∠CBD的平分线上吗？
例2
已知：如图， △ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是高
求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD
A
B
C
D
证明：∵AD是高
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ADB和Rt△ADC中
AB=AC
AD=AD(公共边)
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
(全等三角形的对应边相等,对应角相等)
如图，∠B=∠E=Rt∠，AB=AE，∠1=∠2，则∠3=∠4 ，请说明理由。
2、如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2，则AD平分∠BAC，请说明理由。
课堂练习
　　练习3　如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂
足分别为E ，F，CE =BF．求证：AE =DF．
A
B
C
D
E
F
例3、如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA， PE⊥OB，D，E分别是垂足,且PD=PE，则点P在
∠AOB的平分线上。请说明理由。
4.如图所示，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？
∠ABC +∠DFE =90°
解：在Rt△ABC 和Rt△DEF 中
BC =EF
AC =DF
∴ Rt△ABC ≌Rt△DEF (HL)
∴∠ABC =∠DEF
(全等三角形对应角相等)
∵ ∠DEF +∠DFE =90°
∴∠ABC +∠DFE =90°
实际应用：
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
　　变式1　如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC
≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（3） （ ）；
（4） （ ）．
AD = BC
AC = BD
∠DAB = ∠CBA
∠DBA = ∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
“HL”判定方法的运用
A
B
C
D
(1) _______,∠A=∠D ( ASA )
(2) AC=DF,________ (SAS)
(3) AB=DE,BC=EF ( )
(4) AC=DF, ______ (HL)
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )
(6) ________,AC=DF ( AAS )
B
C
A
E
F
D
比一比
把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.
AC=DF
BC=EF
HL
AB=DE
AAS
∠B=∠E
小结
直角三角形全等的识别
一般三角形全等的识别
S.A.S
A.S.A
A.A.S
S.S.S
S.A.S
A.S.A
A.A.S
H.L
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
A
F
C
E
D
B
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
求证：BF=DE
巩固练习
A
F
C
E
D
B
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
求证：BD平分EF
G
变式训练1
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
想想：BD平分EF吗
C
D
A
F
E
B
G
变式训练2
拓展提高
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,
求证：△ABC≌△DEF
A
B
C
P
D
E
F
Q
∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E
分析： △ABC≌△DEF
Rt△ABP≌Rt△DEQ
AB=DE,AP=DQ
A
B
C
P
D
E
F
Q
证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高
∴∠APB=∠DQE=90°
在Rt△ABP和Rt△DEQ中
AB=DE
AP=DQ
∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL)
∴ ∠B=∠E (全等三角形的对应角相等)
在△ABC和△DEF中
∠BAC=∠EDF
AB=DE
∠B=∠E (已证)
∴△ABC≌△DEF (ASA)
思维拓展
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,
求证：△ABC≌△DEF
A
B
C
P
D
E
F
Q
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
小结
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,
求证：△ABC≌△DEF
A
B
C
P
D
E
F
Q
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
思维拓展
小结
已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,
并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,
求证：△ABC≌△DEF
A
B
C
P
D
E
F
Q
变式1：若把∠BAC＝∠EDF,改为BC＝EF ，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？请说明思路。
变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF改为另一个适当条件，使△ABC与△DEF仍能全等。试证明。
思维拓展
小结
A
B
C
E
D
拓展提高
46
在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC．
（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．
学以致用
如图等边△AEB与等边△BCD在线段AC的同侧。
求证： △ABD≌△EBC
A
B
C
E
D
学以致用
C
D
E
B
A
如图,△ABC与△DCE都是等边三角形，点D在BC上，AD与BE相等吗？试说明理由。
学以致用
E
D
C
B
A
如图,△ABC与△DCE都是等边三角形，点D在△ABC内，AD与BE相等吗？试说明理由。
学以致用
E
D
C
B
A
如图,△ABC与△DCE都是等边三角形，点D.E在△ABC外，AD与BE相等吗？试说明理由。
学以致用
已知如图△ABD与△ACE均为等边三角形，求证：DC=BE
B
A
C
D
E
学以致用
如图，已知正方形ABCD和等腰直角三角形△ECF，试说明BE=DF。
A
B
C
D
E
F
学以致用