2021-2022学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷
单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的
已知集合A-{3+2x-x2≥0,B={
2.已知复数z满足(x-3)(1+i)=1-i,1
3.已知a=og20.4.b=lop6
的大小顺序为
4.“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立的一个必要不充分条件是(
A.0
020年8月11日,国家主席习近平同志对制止餐饮浪费行为作出重要指示,他指出
餐饮浪费现象,触日惊心,令人痛心!谁知盘中餐,粒粒皆辛苦”,某中学制订了“光盘
面向该校师生开
次问卷调查,目的是了解师生们对这一倡议的关注度和支持
度,得到参与问卷调查中的200人的得分数据。据统计此次问卷调查的得分x(涛分
100分)服从正态分布N(93,2),则P(91随机变量5~N(,2),则P(-<学<+a)=0.6827,P(-20<5<+20)=0.545
A.0.34135
47725
6.若x-2的二项展开式中x5的系数是
实数a的值是
高三年级数学科试卷第
7.已知抛物线C
2p(p>0)的焦点为F,点M(x
x>是抛物线C上
点,以点M为圆心的圆与直线
于E,G两点.若in∠MFG
则抛物线C的
方椹是
C
拜世博会”于
10月1日至2022年3月
在迪拜举行,中国馆建筑名为
华夏之光”,外观取型中国传统灯笼。它的形状可视为内外两个同轴圆柱,某爱好者制
中国馆的实心模聖,已知模型内层底面直径为12cm,外层底面直径为16cm
外层圆柱的底面园周都在一个直径为20m的球面上此模型的体积为
多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多
项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
列说法中镨误的
A.已知
则a与b可以作为平面内所有向量的一组基底
B.若a与b共线
在b方向上的投影为|a
C.若两个非零向量a,b满足a+ba
D.平面直角坐标系中,A(11),B(4.2),C(S30),则△ABC为锐角三角形
有一组样本数据x,x2,…x,另一组样本数据
其中
为非零常数,则
A.两组祥本数据平均数相同B.两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等
C.两组样本数据方差相同D.两组样本数据极差相
高三年级数学科试卷第2页共7页2021-2022 学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷
参考答案及评分标准
一、单项选择题
1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．D 7．B 8．C
二、多项选择题
9．ABD 10．BCD 11．BC 12．AB
三、填空题
5 1
13． 3 14． 15．1 n 16．66 2
四、解答题
17．【解析】
（1）由m // n得： (2c b) cos A a cos B 0
由正弦定理可得：(2sinC - sin B)cos A - sin AcosB 0，可得：2sinC cos A sin(A B) 0，
即：2sinC cos A sinC 0 .....................................................................................（. 3分）
1
由 sinC 0，可得： cos A
2
又 A (0, )，可得： A
...................................................................................（5分）
3
4
a b 4 3 1
（2）由已知及正弦定理得： 即 3 则 sin B
sin A sin B sin sin B 2
3
因为 a b 所以 A B 即 B ............................................................................（8分）
6
C= 故 ，则 ABC的面积 S 1 ab sinC 1 4 3 8 3 4 = ....................................（10分）
2 2 2 3 3
18．【解析】
（1）选①②时，由于数列为等差数列， S4 2(a4 1)， a2n 2an 1，
4a1 6d 2(a1 3d 1)
所以
a1 2n 1 d 2 a n 1 d 1
.................................................（3分）
1
高三年级数学科试卷参考答案及评分标准 第 1 页 共 6 页
解得 a1 1，d 2，故 an 2n 1； .............................................................................（6分）
选①③时，由于数列为等差数列， S4 2(a4 1)， a22 a
2 a26 4 a
2
5 ，
4a1 6d 2(a1 3d 1)
所以 .................................................（3分）
a d
2 a 2 2 21 1 5d a1 3d a1 4d
解得 a1 1， d 2，故 an 2n 1； .............................................................................（6分）
选②③时，由于数列为等差数列， a 2 2 2 22n 2an 1， a2 a6 a4 a5 ，
a1 (2n 1)d 2[a1 (n 1)d ] 1
所以 2 2 2 2 ...............................................（3分）
a1 d a1 5d a1 3d a1 4d
解得 a1 1，d 2，故 an 2n 1； .............................................................................（6分）
1 1 1 1 1
（2）由（1）得：bn ( )a a (2n 1)(2n 3) 4 2n 1 2n 3 ..................（8分）n n 2
S 1 (1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 n 1所以 n 4 5 3 7 5 9 2n .............（. 12分） 1 2n 3 3 (2n 1)(2n 3)
19．【解析】
方法一：
（1）如图所示，取 AB中点O，连结OE，OD；
因为 ABE是等腰直角三角形，所以 EO AB，
因为平面 ABCD 平面 ABE，平面 ABCD 平面 ABE AB，
OE 平面 ABE，所以 EO 平面 ABCD
由 AB 2CD 2BC =4，点O是 AB的中点，所以 BO CD 2
又因为 BO//CD， AB BC，所以四边形CDOB是矩形，可得OD AB
所以OD，OA，OE两两垂直 .........................................................................（3分）
以O为原点，分别以OD，OA，OE所在的直线为 x， y， z轴建立如图所示的空间直角
坐标系，则C(2, 2,0)，B(0, 2,0)，D(2,0,0)，E(0,0,2)， A(0,2,0)
由此可得BD (2,2,0) ，BE (0,2,2)
高三年级数学科试卷参考答案及评分标准 第 2 页 共 6 页
设平面 BDE的一个法向量为 n x, y, z ，
n B D 2x 2y 0
则 ，令 y 1可得 x z 1，所以 n 1, 1,1 且CD (0,2,0) ...（4分）
n BE 2y 2z 0
CD n 2
故求点C到平面 BDE的距离 d 3 ..............................................（6分）
n 3
（2）因为F(0,1,1)，D(2,0,0)，则DF ( 2,1,1)
由（1）得：平面BDE的法向量为n 1, 1,1 ..........................（8分）
DF n 2
设DF与平面 BDE所成角为 ，则 sin ..........................（12分）
DF n 3
方法二：几何法
（1）取 AB中点O，连结OE，OD
因为 ABE是等腰直角三角形，所以 EO AB
因为平面 ABCD 平面 ABE，平面 ABCD 平面 ABE AB，OE 平面 ABE
所以 EO 平面 ABCD .................................................................（3分）
又VC BDE VE BDC
1 1
设点C到平面BDE的距离为 h，且 ED BD BE 2 2，得： S BDE h S BDC OE3 3
则 h
2
3 .........................................................................（6分）
3
（2）几何法酌情给分 .........................................................................（12分）
20．【解析】
c 6
（1）由题意得： 2a 2 3， e ，所以 a 3， c 2，又b2 a2 c2 1，
a 3
x2
所以椭圆的方程为 y2 1 ........................................................................（. 4分）
3
（2）必要性：若M ,O,N三点共线，不妨设M (x1, y1)， N ( x1, y1)， A(x0 , y0 ) .
高三年级数学科试卷参考答案及评分标准 第 3 页 共 6 页
k y0 y
2 2
1则 1 , k
y0 y 1 k y k 0 y1
x x 2 x x ，所以 1 2 2 2 ....................................................（6分）0 1 0 1 x0 x1
2 2
又因为M (x1, y1)， A(x0 , y )
x
在椭圆上，所以 00 y20 1
x
①， 1 y21 1 ②.3 3
x2 x2 y2 y2 1
①②两式相减得： 0 1 y2 y2 0 1
3 0 1
0， 即 .
x20 x
2
1 3
故 k1 k
1
2 ....................................................（8分）3
x 2 x 2
充分性：设 A(x0 , y0 )，M (x1, y1)， N (x2 , y2 )，则 0 y2 1 ①， 1 y2 1 ②.
3 0 3 1
x2 x2 y2 y2 1
①②两式相减得： 0 1 y2 20 y1 0，即
0 1 .
3 x20 x
2
1 3
y0 y1 y0 y2 1
又因为 k1 k2 x0 x1 x0 x2 3
y 2 2
所以 0
y1 y0 y y 2 0 y1
x 2 20 x1 x0 x2 x0 x1
y0 y2 y0 y 2整理得： x x x x ....................................................（10分）0 2 0 2
所以 A(x0 , y0 )，M ( x1, y1)， N (x2 , y2 )三点共线，又因为点M ( x1, y1)在椭圆上，所
以点M ( x1, y1)与点 N (x2 , y2 )重合，显然点M (x1, y1)与点M ( x1, y1)关于原点O对称，
所以弦MN过原点O，即M ,O,N三点共线. ....................................................（12分）
21．【解析】
1 2 200 30 90 60 20
2
（ ）依题意有 χ 6.061 3.841，故有 95%的把握认为密切接
90 110 50 150
触者感染病毒与年龄有关； ....................................................（4分）
30 20 1
（2）由题意得：该地区每名密切接触者感染病毒的概率为 ，设随机抽取的 4
200 4
3 A p(A) C3 (
1)3 3 (1)4 13人中至少有 人感染病毒为事件 ，则 4 ； ...............（8分）4 4 4 256
高三年级数学科试卷参考答案及评分标准 第 4 页 共 6 页
（3）设事件B为：检测了 3名成员确定为“感染高危家庭”； 事件C为：检测了 4名成员
确定为“感染高危家庭”；
则 P B 1 p 2 p， P C 1 p 3 p
即 f p 1 p 2 p 1 p 3 p p 1 p 2 2 p ...................................................（. 10分）
设 x 1 p (0 x 1) g(x) 1 x 1 x x2，则 1 x2 x2，
1 x2因为 0, x2 0，由均值定理可知：
2 2
2
g(x) 1 x x 1 1 x2 x2
2 4
1 x2 x2 2当且仅当 ，即 x 时等号成立，
2
即 p m 2 1 . ....................................................（12分）
2
（注：利用换元法，导数法求 g(x)最大值均为可行方案）
22．【解析】
x 1（1）极小值点为 ，无极大值点. ....................................................（2分）
e
2 2
（2）由题意得： x x11 x
x2 ek2
即 x 2 21 ln x1 x2 ln x2 k ....................................................（3分）
（i）问题转化为m(x) x2 ln x k在 (0, )内有两个零点.
则 m (x) x(1 2ln x)
1 1
当 x (0,e 2 )时，m (x) 0，m(x)单调递减；当 x (e 2 , )时，m (x) 0，m(x)单调递
1
增. 1若m(x)有两个零点，则必有m(e 2 ) 0 .解得： k ......................（4分）
2e
1
若 k 0，当0 x e 2 时，m(x) x2 ln x k x2 ln x 0，无法保证m(x)有两个零点.
1 1 1
若 k 0，又m(ek ) 0,m(e 2 ) 0,m(1) k 0
2e
高三年级数学科试卷参考答案及评分标准 第 5 页 共 6 页
1 1 1
故 x1 (ek ,e 2 )
1
使得m(x1) 0， x2 (e 2 ,1)使得m(x2 ) 0 .综上：k ( ,0) .....（6分）2e
（ii）设 t x 2 ，则 t (1, ) .将 t x 2 代入 x 2 2
x x 1
ln x1 x2 ln x2可得：
1 1
ln x t
2 ln t
1 , ln x
ln t
2 （*） ....................................................（8分）1 t2 1 t2
e e
2
欲证： x e 2e e
2 2
，需证： ln x e
2 2e
2 ln
e
x 21 x1
2 2
即证： ln x1 (e
2 2e) ln x e . * (t e 2e) ln t e 2 将（ ）代入，则有 2 1 t2 2
(x e2 2e) ln x
则只需证明： e (x 1)
1 x
ln x e(x 1)即 (x 1) . ....................................................（10分）
x e2 2e
ln x x 1 2(x 1)x 1 x 1 (x 1)[ ln x]
构造函数 (x) e 2，则 (x) x ， (x) x 1
ln x e ln2 x e x2 ln3 x
(x 1)（其中 (x)为 (x)的导函数）
2
令 (x) 2(x 1) ln x (x 1)则 (x) (x 1) 所以 (x) (1) 0 则 (x) 0 .
x 1 x(x 1)2
0
因此 (x)在 (1, )内单调递减. 又 (e) 0，当 x (1,e)时， (x) 0， (x)单调递增；
当 x (e, )时， (x) 0， (x)单调递减.
(x) x 1 x e 2 x 1 x所以 (e) 0，因此有 e 2
ln x e ln x e
ln x e(x 1)即 (x 1) .
x e2 2e
综上所述，命题得证. ....................................................（12分）
（注：其他可行方法酌情给分）
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