宿州市十三所重点中学2021—2022学年度第一学期期末质量检测
高二数学试卷（北师大版）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线与互相垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．一组样本数据：，，，，，由最小二乘法求得线性回归方程为，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知随机变，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．将一枚均匀的骰子先后抛掷次，至少出现两次点数为的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点,为椭圆的左,右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，且所有项的系数和为，则含 的项的系数为（ ）
A． B． C． D．
10．已知,为双曲线的左,右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在直三棱柱中，，，为的
中点，点在线段上，点在线段上，则线段长的最小值为（ ）
“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个
正方形构成．现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻
的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）
种
种
种
种
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在答题卡的横线上.
13．若随机变量，则 ．
14．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则实数的值为 ．
15．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件为“三人竞岗部门都不同”，为“甲独自竞岗一个部门”，则 ．
16．在单位正方体中，点为的中点，过点,,的平面截该正方体所得的截面面积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17. (本小题满分10分)
已知直线与圆．
（Ⅰ）当直线恰好平分圆的周长时，求的值；
（Ⅱ）当直线被圆截得的弦长为时，求的值．
18. (本小题满分12分)
如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，点在棱上移动．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当为的中点时,求直线与平面所成角的正弦值．
19. (本小题满分12分)
某话剧表演小组由6名学生组成，若从这6名学生中任意选取3人，其中恰有1名男生的概率是．
（Ⅰ）求该小组中男、女生各有多少人？
（Ⅱ）若这6名学生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相邻的概率．
(本小题满分12分)
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，
，，．
（Ⅰ）求点到平面的距离；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．
21. (本小题满分12分)
新冠疫情下，有一学校推出了食堂监管力度的评价与食品质量的评价系统，每项评价只有合格和不合格两个选项，师生可以随时进行评价，某工作人员利用随机抽样的方法抽取了位师生的信息，发现对监管力度满意的占，对食品质量满意的占，其中对监管力度和食品质量都满意的有人．
（Ⅰ）完成列联表，试问：是否有的把握判断监管力度与食品质量有关联
监督力度情况 食品质量情况 对监督力度满意 对监督力度不满意 总计
对食品质量满意
对食品质量不满意
总计
（Ⅱ）为了改进工作作风，针对抽取的位师生，对监管力度不满意的人抽取位征求意见，用表示人中对监管力度与食品质量都不满意的人数，求的分布列与均值．
参考公式：，其中．
参考数据：
①当时，有的把握判断变量、有关联；
②当时，有的把握判断变量、有关联；
③当时，有的把握判断变量、有关联．
22. (本小题满分12分)
已知点到点的距离比它到直线的距离小．
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）点在点的轨迹上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），求面积的最小值．宿州市十三所重点中学 2021—2022 学年度第一学期期末质量检测
高二数学试卷（北师大版）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C C D B A D B C A B B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2 8 1 613. ； 14. ； 15. ； 16. .
2 2
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解：（Ⅰ）由题意知圆心C为 (1， 2)，
直线 l过圆心C(1， 2) ，
1 2m 1 0，即m 1，
所以m的值为 1 . ………………5分
（Ⅱ 2 2）圆的标准方程为 (x 1) (y 2) 11， 圆心为 (1， 2) ，半径为 11，
因为直线被圆截得的弦长为 2 3，
1 2m 1 2 2
所以圆心到直线的距离为： ( 11) ( 3)
1 m2
解得：m 1,
所以m的值为1. ………………10分
18. 解：（Ⅰ） 因为 AD AA 1， AB 2，所以
D (0,0,1)， E(1,m,0)， A (1,0,1)，D(0,0,0)
因此D E (1,m, 1)， A D ( 1,0, 1)，
又因为D E A D 1 ( 1) m 0 ( 1) ( 1) 0，
所以D E A D，
即D E A D . ………………6分
（Ⅱ） 当 E为 AB 1的中点时， E(1, ,0) ，
2
又因为 A(1,0,0) ,C(0,2,0) ,所以 AC ( 1,2,0)，
1
又D E (1, 1 , 1)，D C (0,2, 1) ,
2
设 n (x, y, z)是平面D EC的法向量，则
n D E 0
1
x y z 0
，即 2 ，令 y 2，取 n (3,2,4)，
n D C 0 2y z 0
cos AC,n AC n 1 145 ，
AC n 5 29 145
设直线 AC与平面D EC所成角为 ，
则 sin cos AC,n 145 ，
145
145
从而直线 AC与平面D EC所成的角的正弦值为 . ………………12分
145
19. 解：（Ⅰ ）设该小组中男生有 n(n N )人，
C1 C 2 3
由已知得恰有一名男生的概率为 n 6 n
C 3
，
6 5
即 n(6 n)(5 n) 24，因为1 n 4,n N ，
逐一验证可得 n 2 ，所以女生有：6 2 4
因此该小组中男生有 2人，女生有 4人． ………………6分
（Ⅱ）6 名学生站成一排，共有
A66 6 5 4 3 2 1 720种站法，
4
男生不相邻的站法共有 A4 A
2
5 24 20 480种
480 2
所以男生不相邻的概率为：P ． ………………12分
720 3
20. 解：（Ⅰ）由题意得 PB 平面ABCD， AB、BC 平面ABCD，
所以 PB AB , PB BC ,
又因为 ABC BAD ,所以 PA, AB,BC 两两垂直，
2
以点 B为坐标原点， BC,BA,BP所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
因为 PB AB BC 6， AD 3
所以 B(0,0,0)， P(0,0,6)，C(6,0,0)，D(6,3,0)， A(0,6,0)，
2
BP (0,0,6)， PD (6,3, 6)， PC (6,0, 6)，
设平面 PCD的一个法向量为 n (x, y, z)，
n PD 0 6x 3y 6z 0
则 ，即 令 x 1，取 n (1,0,1)
n PC 0 6x 6z 0
n BP
所以点D到平面 PBC 6的距离为 d 3 2 . ………………6分
n 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面 PCD的一个法向量为n (1,0,1)，
平面CDA的一个法向量为m (0,0,1)，
设二面角 P CD A的平面角为 ，由图得二面角为锐角
cos cos m n m n 1 2故 ，
m n 2 2
2
所以二面角 P CD A的平面角的余弦值为 . ………………12分
2
21.解：（Ⅰ）对食品质量满意的有 200 60 00 120（人），
对监管力度满意的有 200 75 00 150（人），
对食品质量与监管力度都满意的有80人，
列出 2 2列联表如下：
监督力度情况
对监督力度满意 对监督力度不满意 总计
食品质量情况
对食品质量满意 80 40 120
对食品质量不满意 70 10 80
总计 150 50 200
K 2 200 (80 10 40 70)
2 100
10.828，
120 80 150 50 9
所以可以在犯错误的概率不超过 0.100 的前提下，认为食品质量与监管力度有关．
………………6分
（Ⅱ）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3，
3
C 3 247 C1 2P(X C 39 0) 403 ， P(X 1)
10 40
C50 490 C
3
50 98
2 1 3
P(X 2) C10C40 9 P(X 3) C ， 10 3
C 3 3
50 98 C50 490
则 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
247 39 9 3
P
490 98 98 490
EX 0 247 39 1 2 9 3 3 3 . ……………12分
490 98 98 490 5
22. 解：（Ⅰ）由题意:点 P到点 F (1,0)的距离比它到直线 x 1的距离，
由抛物线定义知，点 P的轨迹为以 F (1,0)为焦点， x 1为准线的抛物线，
所以点 P的轨迹方程为： y2 4x . ………………4分
（Ⅱ）易知直线MN的斜率不为0，设其方程为 x ty m，
设M (x1, y1)， N (x2 , y2 ) ,
x ty m 2
联立 ，消去2 x得 y 4ty 4m 0，
y 4x
其中 16t 2 16m 0， y1 y2 4t， y1y2 4m，
由OM ON 5，得
2 2 2
x x y y y y 1 21 2 1 2 y y
(y
1
y2 )
1 2 y y
2
1 2 m 4m 5，4 4 16
解得:m 5或m 1，
由已知点M ,N 位于 x轴的两侧，则 y1y2 4m 0，即m 0，
所以m 5，
从而直线MN 的方程为 x ty 5，所以直线MN 过定点 (5,0)，
设 OMN 的面积为 S ,则
S 1 5 5 y1 y2 ( y1 y2 )
5
2 y
2 2 2 1
y2 10 5，
当且仅当 y1 y2 2 5时，等号成立，
因此 OMN 的面积的最小值为10 5 . ………………12分
（说明：解答题若用其它方法，可酌情给分！）
4
