3.2 双曲线几何性质 （课时检测） 高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册(Word含答案解析)

双曲线几何性质
选择题
1. 已知双曲线的一个焦点为,焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2. 斜率存在的直线过点且与双曲线有且只有一个公共点,则直线斜率为( )
A. B. C. 或 D. 或
3. 已知双曲线(,)的两条渐近线互相垂直,焦距为,则该双曲线的实轴长为( )
A. B. C. D.
4. 已知双曲线,斜率为的直线与双曲线交于不同的两点,且线段的中点为,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题
5. 已知双曲线的一个焦点坐标为,且两条渐近线的夹角为,则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
6. 已知双曲线,则( )
A. 双曲线的焦距为
B. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍
C. 双曲线与双曲线的渐近线相同
D. 双曲线的顶点坐标为
7. 设,分别是双曲线的左右焦点,过作轴的垂线与交于,两点,若为正三角形,则( )
A.
B. 的焦距为
C. 的离心率为
D. 的面积为
三、填空题
8. 若双曲线的虚轴长为,则实数的值为__________.
9. 已知双曲线的渐近线方程为,且过点,则双曲线的离心率为__________.
10. 已知过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
11. 点是双曲线上一点,是双曲线的左、右焦点,,,则双曲线的离心率为__________.
12. 如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为__________.
13. 过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若为的中点,则双曲线的离心率是__________.
14. 若双曲线的一条渐近线与圆:相交于,两点且,则此双曲线的离心率为__________.
15. 如图,已知双曲线:左 右焦点分别为,,是上位于第一象限内的一点,且直线与轴的正半轴交于点,的内切圆在边上的切点为,若,则双曲线的离心率为__________.
16. 设、是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为__________．
四、解答题
17. 已知直线与双曲线.当为何值时,直线与双曲线:(1)有两个公共点;(2)有一个公共点;(3)没有公共点
18. 已知双曲线的离心率为,且过点,过双曲线的右焦点,做倾斜角为的直线交双曲线于,两点,为坐标原点,为左焦点. (1)求双曲线的标准方程; (2)求的面积.
19. 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在轴上,,; (2)焦点在轴上,经过点,. (3)焦点为,,且经过点.
20. 已知双曲线的两个焦点为,,并且经过点. (1)求双曲线的方程; (2)过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点,求直线的方程.
21. 设分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）已知直线与双曲线的右支交于两点，且在双曲线的右支上存在点，使，求的值及点的坐标．
22. 双曲线的中心在原点,右焦点为,渐近线方程为. (1)求双曲线的方程; (2)设直线与双曲线交于两点,问:当为何值时,以为直径的圆过原点.
答案和解析
第1题：
【答案】D
【解析】由题意得, ∵焦点到渐近线的距离为, ∴, ∴, ∴该双曲线的方程为. ∴渐近线方程为.
第2题：
【答案】D
【解析】由题意,设直线的方程为,代入双曲线方程化简可得,当即时,只有一解,满足直线与双曲线有且只有一个公共点;当时,令,解得,此时方程有两个相等实数根,满足直线与双曲线有且只有一个公共点;所以或.
第3题：
【答案】B
【解析】因为两条渐近线互相垂直,故可得, 又因为焦距为,故可得, 结合, 解得, 故实轴长. 故选:B.
第4题：
【答案】C
【解析】设,则,相减得, ∴,又线段的中点为,的斜率为,∴,,∴渐近线方程为,故选:C.
第5题：
【答案】B,C
【解析】因为焦点坐标为,所以, 设渐近线的倾斜角为, 由两条渐近线的夹角为,可得或解得或, 所以或又,解得,或,所以C的方程为或,故选:BC.
第6题：
【答案】B,C
【解析】因为,, 所以,,焦距为,所以A错误; 因为,所以B正确; 双曲线与双曲线的渐近线方程均为,所以C正确; 令,得,所以双曲线的顶点坐标为,所以D错误. 故选:BC.
第7题：
【答案】A,C,D
【解析】设,则,,离心率,选项C正确. 因此,,选项A正确.,选项B错误.的面积为,选项D正确.
第8题：
【答案】或
【解析】因为双曲线的虚轴长为, ①当时,双曲线方程可化为,有,得; ②当时,双曲线方程可以化为,得; 故实数的取值为或.
第9题：
【答案】
【解析】设双曲线的方程为, 将代入中,则, 故双曲线的焦点在轴上,且, 则双曲线的离心率.
第10题：
【答案】
【解析】要使得直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即，即，因为，所以，整理得，所以，因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是．
第11题：
【答案】
【解析】根据题意,点是双曲线上一点,则有, 设,则有,又由,解可得:,, 又由,则有,则,又由,则双曲线的离心率.故答案为:.
第12题：
【答案】
【解析】设，，则，即，又，所以，在中，，由余弦定理得，化简得，所以
第13题：
【答案】
【解析】如图,,; ∴,又∵为的中点,,, ∴; ∴, ∴, ∴.
第14题：
【答案】
【解析】因为,,故圆心到渐近线的距离为. 不妨设渐近线方程为,即.故,即. 所以.故,故双曲线的离心率为.
第15题：
【答案】
【解析】如图所示:设的内切圆在,的切点分别为,,由双曲线的定义知:,即, 又∵,即,即, 又∵,∴,即,则,, ∴,即,∴,故答案为:.
第16题：
【答案】5
【解析】解答：取的中点，则由，得，即，即，由，设，则，即，由椭圆的定义，得，，则椭圆的离心率.
第17题：
【答案】略.
【解析】由消去得.当,即时,方程为一次方程,只有一解. 当,即时,. ①，∴当且时,方程有两个不同的解. ②，∴当时,方程只有一解. ③，∴当或时,方程无解. 综合以上得:当且时,直线与双曲线有两个公共点;当或时,直线与双曲线有一个公共点;当或时,直线与双曲线没有公共点.
第18题：
【答案】见解析
【解析】(1)过点,所以,,所以,又,所以, 所以双曲线的方程为. (2)结合题意可得直线的方程为,设,,联立方程,消去,得,∴,,,直线的方程变形为,∴原点到直线的距离为,∴.
第19题：
【答案】见解析
【解析】(1). (2)由题意,可设双曲线的标准方程为(). 把点,的坐标代入,解得,, 故标准方程为. (3) 根据双曲线的定义, 有,以.又,所以.由题意可知双曲线的焦点在轴上,所以所求双曲线的标准方程为.
第20题：
【答案】(1); (2)或
【解析】(1)由已知可设双曲线的方程为, 则, 解得, 所以双曲线的方程为. (2)当直线斜率不存在时,显然不合题意 所以可设直线方程为, 联立,得, ①当,即或,方程只有一解,直线与双曲线有且仅有一个公共点,此时,直线方程为, ②当,即,要使直线与双曲线有且仅有一个公共点, 则,解得, 此时,直线方程为, 综上所述,直线的方程为或.
第21题：
【答案】（1）； （2）t=4，．
【解析】解答：（1）双曲线的渐近方程为，焦点为，焦点到渐近线的距离为，又，双曲线的方程为． （2）设点由得：，，，有，又点在双曲线上，,解得，点在双曲线的右支上，，此时点．
第22题：
【答案】(1);(2).
【解析】(1)设双曲线的方程为,则, 故,故双曲线的方程是. (2)由,得, 由,且得,且, 设、,因为以为直径的圆过原点,所以, 所以,又,, 所以, 所以解得.