2022版高中数学第三章不等式本章达标检测含解析北师大版必修5（Word含答案）

本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.关于x的一元二次不等式5x+6A.{x|x<-1或x>6}　　　　B.{x|-1C.{x|x<-2或x>3}　　　　D.{x|-22.若x<0,M=5x2+x+2,N=4x(x+1),则M与N的大小关系为 (　　)
A.M>N　　　　B.M=N
C.M3.若a,b∈R,-2≤a≤4,1≤b≤3,则a-2b的取值范围是 (　　)
A.[-4,2]　　　　B.[-3,1]
C.[-8,2]　　　　D.[-7,7]
4.不等式<的解集是 (　　)
A.(-∞,2)　　　　B.(2,+∞)
C.(0,2)　　　　D.(-∞,0)∪(2,+∞)
5.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是 (　　)
A.
B.
C.
D.
6.设点(x,y)满足不等式组则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点(x,y)是 (　　)
A.(1,2)　　　　B.(1,3)
C.(2,3)　　　　D.(2,4)
7.若关于x的不等式2x2-8x-4-a≥0在1≤x≤4内有解,则实数a的取值范围是 (　　)
A.a≤-4　　　　B.a≥-4
C.a≥-12　　　　D.a≤-12
8.已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为 (　　)
A.-1　　　　B.3
C.7　　　　D.8
9.已知a,b为正实数,若函数f(x)=ax3+bx+ab-1是奇函数,则f(2)的最小值是 (　　)
A.2　　　　B.4
C.8　　　　D.16
10.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线x-y=0对称,动点P(a,b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动,则ω=的取值范围是 (　　)
A.[2,+∞)　　　　B.(-∞,-2]
C.[-2,2]　　　　D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
11.若正数a,b满足+=1,则+的最小值为 (　　)
A.16　　　　B.9
C.6　　　　D.1
12.已知函数f(x)=x2+-3,g(x)=kx+2,若对任意的x1∈[-1,2],总存在x2∈[1,],使得g(x1)>f(x2),则实数k的取值范围是 (深度解析)
A.　　　　B.
C.　　　　D.以上都不对
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.不等式≤的解集为　　　　.
14.若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.
15.设实数x,y满足不等式组则(x+3)2+y2的取值范围是　　　　.
16.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数).若不等式f(x)≥2ax+b的解集为R,则的最大值为　　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)若函数f(x)=lg(8+2x-x2)的定义域为M,函数g(x)=的定义域为N,求集合M、N、M∩N.
18.(本小题满分12分)某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产,已知该工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A,B,C的数量和一周内可用资源数量如下表所示:
原材料 甲(吨) 乙(吨) 资源数量(吨)
A 1 1 50
B 4 0 160
C 2 5 200
如果甲产品每吨的利润为300元,乙产品每吨的利润为200元,那么怎么安排生产工厂每周获得的利润最大 并求出最大利润.
19.(本小题满分12分)设函数y=ax2-(2a+1)x+2.
(1)若该函数有且只有一个零点,求a的值;
(2)求关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0的解集.
20.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),若关于x的一元二次方程ax2-(a+2)x+1=0在(-2,-1)上只有一个实数根,求不等式f(x)>1的解集.
21.(本小题满分12分)新型冠状病毒感染的肺炎在治疗过程中,需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250万元,每生产x千件需另投入成本为C(x)万元.当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+-1450.每件药品售价为0.05万元,假设在疫情期间该公司生产的药品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)该公司决定将此药品所获年利润的1%用来捐赠,当年产量为多少千件时,此药品的年利润最大 此时可捐赠多少万元的防疫物资款
22.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足:①对任意实数x,都有f(x)≥x;②当x∈(1,3)时,有f(x)≤(x+2)2成立.
(1)求证:f(2)=2;
(2)若f(-2)=0,求函数f(x)的解析式;
(3)在(2)的条件下,若存在x∈[0,+∞),使得f(x)-x<成立,求实数m的取值范围.
答案全解全析
本章达标检测
一、选择题
1.A　不等式5x+60,即(x+1)(x-6)>0,解得x<-1或x>6,
故不等式的解集为{x|x<-1或x>6},故选A.
2.A　因为M-N=5x2+x+2-4x(x+1)=x2-3x+2=-,且x<0,所以M-N>0,所以M>N.
3.C　∵1≤b≤3,∴-6≤-2b≤-2,
∵-2≤a≤4,
∴-8≤a-2b≤2,故选C.
4.D　由<,得-=<0,即x(x-2)>0,解得x<0或x>2,故选D.
5.D　解法一:取x=1检验,满足,排除A;取x=4检验,不满足,排除B、C,故选D.
解法二:原不等式可化为2x2+7x-9≤0,
即(x-1)(2x+9)≤0,解得-≤x≤1,
故选D.
6.C　约束条件表示的可行域如图,
因为目标函数z=6x+5y对应直线l的斜率为-,所以当直线l过点A时,z取得最大值.
由解得即A(2,3).
7.A　由题知不等式2x2-8x-4-a≥0在1≤x≤4内有解,则只需在1≤x≤4内a≤(2x2-8x-4)max即可,设y=2x2-8x-4,因为y=2x2-8x-4(1≤x≤4)在x=4时,取最大值-4,所以当a≤-4时,2x2-8x-4≥a在-1≤x≤4内有解.故选A.
8.C　依题意得kAB==-2,所以线段lAB:y-1=-2(x-4),x∈[2,4],即y=-2x+9,x∈[2,4],故2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9,x∈[2,4].设h(x)=4x-9,易知h(x)=4x-9在[2,4]上单调递增,
故当x=4时,h(x)max=4×4-9=7.故选C.
9.C　因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0,所以ab=1.又因为a,b为正实数,所以f(2)=8a+2b+ab-1=2(4a+b)≥2×2=8,当且仅当a=,b=2时取等号,故选C.
10.D　由题意知直线y=kx+1与直线x-y=0垂直,所以k=-1,即直线为y=-x+1.又圆心C在直线x-y=0上,所以可求得m=-1.
所以不等式组为其表示的平面区域如图所示,ω=的几何意义是点Q(1,2)与平面区域内点P(a,b)连线的斜率.由图知,kOQ=2,kAQ=-2,
故ω的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).
11.C　∵+=1,∴a+b=ab,
∴ab-a-b=0,∴ab-a-b+1=1,
∴a(b-1)-(b-1)=1,
∴(a-1)(b-1)=1.
∵a>0,b>0,+=1,
∴a>1,b>1,∴a-1>0,b-1>0,
∴+≥2=6,
当且仅当=时,等号成立,
由解得
∴当a=,b=4时,+取得最小值6.
12.C　∵对任意的x1∈[-1,2],总存在x2∈[1,],使得g(x1)>f(x2),∴g(x)min>f(x)min,∵f(x)=x2+-3≥2-3=1(当且仅当x2=2时取等号),
∴f(x)min=1.
当k>0时,若x∈[-1,2],则g(x)∈[-k+2,2k+2],∴只需满足1<-k+2,解得0当k=0时,g(x)=2,满足题意.
当k<0时,若x∈[-1,2],则g(x)∈[2k+2,-k+2],∴只需满足1<2k+2,解得-综上,实数k的取值范围是.
方法总结
已知函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d],且f(x),g(x)均存在最值,则有:
(1)若对任意x1∈[a,b],x2∈[c,d],总有f(x1)(2)若任意x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],有f(x1)(3)若存在x1∈[a,b],x2∈[c,d],有f(x1)(4)若任意x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2),则f(x)的值域是g(x)值域的子集 .
二、填空题
13.答案　[-3,1]
解析　∵不等式≤可化为≤2-1,∴x2+2x-4≤-1,∴x2+2x-3≤0,
∴-3≤x≤1,∴原不等式的解集为[-3,1].
14.答案　
解析　依题意,对任意的x∈[4,+∞),有f(x)=(mx+1)(m2x-1)<0恒成立,结合图像(图略)分析可知
解得m<-,即实数m的取值范围是.
15.答案　[5,17]
解析　如图,不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分,(x+3)2+y2表示该区域上的点(x,y)到点(-3,0)的距离的平方.从图中可以看出,点A(-1,1)到点(-3,0)的距离的平方最小,最小值为5;点B(1,1)到点(-3,0)的距离的平方最大,最大值为17.因此(x+3)2+y2的取值范围是[5,17].
16.答案　2-2
解析　由题设可得ax2+(b-2a)x+c-b≥0对一切实数恒成立,取x=1可得c-a≥0且对一切实数恒成立,即对一切实数恒成立,所以≤,
令c-a=t≥0,则c=a+t,代入得≤==≤=2-2(当且仅当c=(+1)a时取等号).
故的最大值为2-2.
三、解答题
17.解析　由题得8+2x-x2>0,即x2-2x-8<0,
∴(x-4)(x+2)<0, (2分)
∴-2∴M={x|-2由1-≥0,得≥0,
∴x<1或x≥3, (6分)
∴N={x|x<1或x≥3}. (8分)
∴M∩N={x|-218.解析　设该工厂一周内安排生产甲产品x吨,乙产品y吨,工厂每周获得的利润为z元.依据题意,得目标函数为z=300x+200y,(3分)
约束条件为 (5分)
画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示. (6分)
求得有关点A(40,0)、B(40,10)、C,、D(0,40), (7分)
由图知将直线300x+200y=0向右上平移,当经过可行域内的点B时,函数z=300x+200y的值最大,且最大值为14000. (10分)
故当工厂每周生产甲产品40吨,乙产品10吨时,工厂每周获得的利润最大,且最大利润为14000元. (12分)
19.解析　(1)当a=0时,y=-x+2,只有一个零点2,符合题意. (2分)
当a≠0时,Δ=[-(2a+1)]2-8a=0,解得a=.
故函数有且只有一个零点时,a=0或a=.(4分)
(2)当a=0时,不等式化为-x+2<0,解得x>2. (5分)
当a≠0时,不等式ax2-(2a+1)x+2<0化为a(x-2)<0.
当a<0时,不等式化为(x-2)>0,解得x>2或x<. (7分)
当a>0时,不等式化为(x-2)<0,
当=2,即a=时,不等式化为(x-2)2<0,解得x∈ ; (9分)
当>2,即0当<2,即a>时,解得综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x>2};
当a=时,不等式的解集为 ;
当0当a>时,不等式的解集为;
当a<0时,不等式的解集为. (12分)
20.解析　∵函数f(x)是二次函数,∴a≠0,
∵Δ=[-(a+2)]2-4a=a2+4>0,且关于x的一元二次方程ax2-(a+2)x+1=0在(-2,-1)上只有一个实数根,
∴f(-2)·f(-1)<0, (4分)
而f(-2)=6a+5,f(-1)=2a+3,
∴(6a+5)·(2a+3)<0, (6分)
∴-又a∈Z,∴a=-1,
∴不等式f(x)>1可化为-x2-x+1>1,
解得-1∴原不等式的解集为{x|-121.信息提取
①C(x)=②每件药品售价为0.05万元,且能全部售完;③此药品所获年利润的1%用来捐赠;④求当年产量为多少千件时,此药品的年利润最大及此时可捐赠多少万元的防疫物资款.
数学建模　本题以社会热点问题——疫情防控为背景,构建函数模型,利用函数知识及基本不等式求解.(1)根据题意得x千件药品销售额为0.05×1000x万元,进而得L(x)=
(2)当0解析　(1)因为每件药品售价为0.05万元,所以x千件药品销售额为0.05×1000x万元.
当0当x≥80时,L(x)=(0.05×1000x)--250=1200-. (4分)
所以L(x)=
(5分)
(2)当0当x≥80时,L(x)=1200-≤1200-2=1200-200=1000,
当且仅当x=,即x=100时,等号成立,此时L(x)取得最大值1000. (10分)
因为950<1000,所以当年产量为100千件时,此药品的年利润最大,此时可捐赠1000×1%=10万元防疫物资款. (12分)
22.解析　(1)证明:由题意得f(2)=4a+2b+c≥2恒成立,
f(2)=4a+2b+c≤×(2+2)2=2恒成立,
故f(2)=2. (3分)
(2)因为
所以4b=2,解得b=,所以4a+c=1, (5分)
由f(x)≥x恒成立,得ax2-x+1-4a≥0在R上恒成立,
故
故≤0,
所以a=,则b=c=,
所以f(x)=x2+x+. (7分)
(3)由存在x∈[0,+∞),使得f(x)-x<成立可得,>x2+x+在x∈[0,+∞)上有解. (8分)
①x=0时,不满足题意; (9分)
②x>0时,原式化为m>x++1在x∈(0,+∞)上有解,
即m>, (10分)
因为x++1≥2+1=1+,当且仅当x=(负值舍去)时取等号,
故此时m>1+.
综上,可知实数m的取值范围为. (12分)
11