2022版高中数学第一章数列本章复习提升含解析北师大版必修5（Word含答案解析）

本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽略数列与一般函数的区别
1.(2021河南重点高中高二联考,)已知数列{an}满足an=且对任意的n∈N+都有an+1>an,则实数p的取值范围是 (　易错　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　　　B.
C.(1,2)　　　　D.
2.(2020上海七宝中学高一下期末,)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=-n2+2n+λ,若{an}为递减数列,则实数λ的取值范围是　　　　.深度解析
易错点2　误用数列的有关性质
3.()已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=30,S2m=90,求S3m.
易错
易错点3　由Sn求an时,忽略n=1的情况
4.()已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,求{an}的通项公式.
5.()已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
易错
易错点4　应用等比数列的求和公式时忽略q=1的情况
6.()已知在等比数列{an}中,a1=2,S3=6,则a3=　　　　.
7.()在等差数列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为q的等比数列,求数列{bn}的前n项和Sn.
8.()已知数列{an}中,a1=1,a2=2,数列{anan+1}是公比为q(q>0)的等比数列.
(1)求使anan+1+an+1an+2>an+2an+3成立的q的取值范围;
(2)求数列{an}的前2n项和S2n.
易错
思想方法练
一、函数思想在数列中的应用
1.()等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1>0,S9=S16,则当n=　　　　时,Sn最大.深度解析
2.()已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N+),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=Sn-(n∈N+),求数列{Tn}中最大项的值与最小项的值.
二、方程思想在数列中的应用
3.()在等差数列{an}中,前n项和为Sn,S10=90,a5=8,则a4= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.16　　　　B.12　　　　C.8　　　　D.6
4.()在等差数列{an}中,已知an>0,a1+a2+a3=15,且a1+2,a2+5,a3+13构成等比数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
深度解析
三、分类讨论思想在数列中的应用
5.()设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是前n项和,求证:6.()设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…).
(1)求q的取值范围;
(2)设bn=an+2-an+1,记{bn}的前n项和为Tn,试比较Sn与Tn的大小.
深度解析
答案全解全析
本章复习提升
易混易错练
1.D　因为对任意的n∈N+都有an+1>an,所以数列{an}单调递增,所以
即解得易错警示
本题的一个易错点是在列出不等式组时,只考虑分段函数的单调性,而忽略了数列中的n为正整数这一特点,从而未考虑a62.答案　(-2,+∞)
解析　因为数列{an}的前n项和为Sn,Sn=-n2+2n+λ,
所以an=Sn-Sn-1=(-n2+2n+λ)-[-(n-1)2+2(n-1)+λ]=-2n+3(n≥2,n∈N+),
又a1=S1=-1+2+λ=λ+1,
所以an=
因为n≥2时,数列{an}显然是递减数列,
所以为使n∈N+时,{an}为递减数列,只需a1>a2,即λ+1>-1,所以λ>-2.
方法总结
利用函数思想解决数列问题,特别是研究数列的单调性时,应注意数列的特征,必要时可数形结合来确定数列的性质.
3.解析　设等比数列{an}的公比为q,
则Sm=a1+a2+a3+…+am,
S2m=a1+a2+a3+…+am+am+1+…+a2m,
S3m=a1+a2+a3+…+a2m+a2m+1+…+a3m.
所以S2m-Sm=am+1+am+2+…+a2m,S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m,
所以Sm,S2m-Sm,S3m-S2m是公比为qm的等比数列,
所以(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m),
即(90-30)2=30(S3m-90),
所以S3m=210.
易错警示
使用等比数列前n项和性质时要关注各性质的特征及成立的前提条件.改变性质的形式结构,忽略性质成立的关系都将致错.
4.解析　当n=1时,a1=S1=++1=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-·(n-1)2-(n-1)-1=n.
当n=1时,不符合上式,
所以an=
5.解析　(1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,
所以-=2,
又==2,所以是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)由(1)可得=2n,所以Sn=.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-;
当n=1时,a1=,不符合an=-.
故an=
易错警示
利用和项转化式an=求an时,要注意分n=1及n≥2两种情况讨论,当两种情况不能合并时,需将通项写成分段的形式.
6.答案　2或8
解析　设等比数列{an}的公比为q.当q=1时,S3=3a1=6,符合题意,此时a3=a1=2;
当q≠1时,由S3===6,解得q=-2或q=1(舍去),
此时a3=a1·q2=8.
综上可知,a3=2或a3=8.
7.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,
则由题意可得
解得
所以an=-1+(n-1)×(-3)=-3n+2.
(2)由题意,得an+bn=qn-1,
所以bn=3n-2+qn-1.
当q=1时,bn=3n-1,
则Sn==;
当q≠1时,
Sn=b1+b2+…+bn
=1+4+…+(3n-2)+(1+q+…+qn-1)
=+
=+.
综上,Sn=
8.解析　(1)∵数列{anan+1}是公比为q的等比数列,
∴an+1an+2=anan+1q,an+2an+3=anan+1q2.
由anan+1+an+1an+2>an+2an+3,
得anan+1+anan+1q>anan+1q2,
∴1+q>q2,即q2-q-1<0,又q>0,
∴0∴q的取值范围为.
(2)由数列{anan+1}是公比为q的等比数列,得=q,
即=q,
这表明数列{an}的所有奇数项成等比数列,所有偶数项成等比数列,且公比都是q.
又a1=1,a2=2,
∴当q≠1时,
S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n
=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
=+=;
当q=1时,S2n=(1+1+…+1)+(2+2+…+2)=3n.
∴S2n=
易错警示
无论是求等比数列的前n项和,还是已知等比数列前n项和求其他量,只要使用等比数列的前n项和公式,就要注意公比是不是1.
思想方法练
1.答案　12或13
解析　设等差数列{an}的公差为d,由等差数列前n项和公式,得S9=9a1+d=9a1+36d,S16=16a1+d=16a1+120d.
因为S9=S16,
所以9a1+36d=16a1+120d,
即d=-a1,
又已知a1>0,
所以d<0.
由此可知,数列{an}是单调递减数列,点(n,Sn)在开口向下的抛物线上.
将Sn看作关于n的二次函数,利用其图像求解.
又知S9=S16,即点(9,S9)与点(16,S16)关于直线x=对称,
所以当n=12或n=13时,Sn最大.
方法总结
利用函数思想,将Sn看作关于n的二次函数,从而将Sn的最值转化为求二次函数的最值.
2.解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,
因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,
所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,
即4a5=a3,于是q2==.
又{an}不是递减数列,且a1=>0,
所以q=-,
故等比数列{an}的通项公式为
an=×=(-1)n-1·.
(2)由(1)得Sn=1-=
当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,
所以1故0当n为偶数时,Sn随n的增大而增大,
所以=S2≤Sn<1,
故0>Sn-≥S2-=-=-.
利用函数的单调性确定最值,体现了函数思想.
综上,-≤Sn-≤,且Sn-≠0(n∈N+),所以数列{Tn}中最大项的值为,最小项的值为-.
3.D　设等差数列{an}的公差为d,
则解得
∴a4=a1+3d=0+3×2=6.
故选D.
4.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d(d>0),等比数列{bn}的公比为q,则由已知得a1+a2+a3=3a2=15,即a2=5,
所以(5-d+2)(5+d+13)=(5+5)2=100,
构造关于d的方程,利用了方程思想.
解得d=2或d=-13(舍去),
所以a1=a2-d=3,
所以an=a1+(n-1)×d=2n+1.
又b1=a1+2=5,b2=a2+5=10,所以q=2,
由b2=b1q,得到关于q的方程从而求得q.
所以bn=5·2n-1.
(2)由(1)知anbn=5(2n+1)·2n-1,所以Tn=5[3+5×2+7×22+…+(2n-1)×2n-1+(2n+1)×2n-1]①,
2Tn=5[3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n]②,
①-②得-Tn=5[3+2×2+2×22+…+2×2n-1-(2n+1)×2n]=5[(1-2n)2n-1],
则Tn=5[(2n-1)2n+1].
思想方法
本题先设出数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,再通过找等量关系列方程求得d与q,即利用方程思想求解.构造关于基本量(首项与公比)的方程或方程组,是求等比数列中相关量的最常用的方法.
5.证明　设{an}的首项为a1,公比为q,由题设知a1>0,q>0.
①当q=1时,Sn=na1,SnSn+2-=na1(n+2)a1-[(n+1)a1]2=-<0;
②当q≠1时,Sn=,SnSn+2-=-=-qn<0.
对q=1和q≠1两种情况进行讨论,利用了分类讨论思想.
综合①和②得06.解析　(1)∵{an}是等比数列,Sn>0,
∴a1=S1>0,q≠0.
当q=1时,Sn=na1>0;
当q≠1时,Sn=>0,∴>0,
∴①或②,
解①得q>1,解②得-1综上可知,q>-1且q≠0.
(2)由bn=an+2-an+1,
得bn=an,∴Tn=Sn,
∴Tn-Sn=Sn=Sn(q-2).
∴当-12时,Tn>Sn;
当-当q=-或q=2时,Tn=Sn.
思想方法
在涉及等比数列前n项和问题时,常常需要分公比q=1 与q≠1两种情况进行讨论,而在利用作差法研究含参的数列的项或和的大小时,也常常需对参数分类讨论.
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