2022版高中数学综合测评北师大版必修5（Word含答案解析）

综合测评
(满分:150分;时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.不等式>0的解集为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　　　B.
C.　　　　D.
2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,a=1,b=,则c= (　　)
A.1或2　　　　B.2
C.　　　　D.1
3.设全集U=R,A={x|2(x-1)2<2},B={x|lo(x2+x+1)>-log2(x2+2)},则图中阴影部分表示的集合为 (　　)
A.{x|1≤x<2}　　　　B.{x|x≥1}
C.{x|04.不等式≥1的解集是 (　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.{x|x<2}
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S6=-5S3≠0,则=(　　)
A.18　　　　B.13　　　　C.-13　　　　D.-18
6.在△ABC中,已知A,a,b,给出下列说法:
①若A≥90°,则此三角形最多有一解;
②若A<90°,且a=bsinA,则此三角形为直角三角形,且B=90°;
③若A<90°,且bsinA其中正确说法的个数为 (　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则k的值为 (　　)
A.8　　　　B.7　　　　C.6　　　　D.5
8.若变量x,y满足约束条件且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a-b的值是 (　　)
A.48　　　　B.30　　　　C.24　　　　D.16
9.设{an}是等比数列,公比q=2,Sn为{an}的前n项和,记Tn=(n∈N+),设为数列{Tn}的最大项,则n0= (　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
10.在等比数列{an}中,已知a2=1,则其前三项和S3的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1]　　　　B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.[3,+∞)　　　　D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
11.在△ABC中,若asinA+bsinB-csinC=0,则圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0的位置关系是 (　　)
A.相切　　　　B.相交
C.相离　　　　D.不确定
12.在数列{an}中,a1=1,an+1=an+n+1,设数列的前n项和为Sn,若SnA.(3,+∞)　　　　B.[3,+∞)
C.(2,+∞)　　　　D.[2,+∞)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知数列{an}为等比数列,前n项和为Sn,且a5=4S4+3,a6=4S5+3,则此数列的公比q=　　　　.
14.如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为　　　　.
15.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为　　　　.
16.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·3n-1-,则函数y=(x>0)的最小值为　　　.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2a2=(2b-c)b+(2c-b)c.
(1)求角A的大小;
(2)若b=2ccosA,试判断△ABC的形状.
18.(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差为d,且关于x的不等式a1x2-dx-3<0的解集为(-1,3).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cosB=,b=3.求:
(1)a和c的值;
(2)cos(B-C)的值.
20.(本小题满分12分)设数列{an}的各项都是正数,且对于任意n∈N+,都有+++…+=,其中Sn为数列{an}的前n项和.
(1)求a2;
(2)求数列{an}的通项公式.
21.(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)(万元)表示前n年的纯利润总和(n∈N+,f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
(1)该厂从第几年起开始盈利
(2)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:方案①年平均纯利润达到最大时,以48万元出售该厂;方案②纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂.问哪种方案更划算
22.(本小题满分12分)已知点(x,y)是平面区域(n∈N+)内的点,目标函数z=x+y,z的最大值记作zn.若数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且点(Sn,an)在直线zn=x+y上.
(1)证明:数列{an-2}为等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
答案全解全析
全书综合测评
一、选择题
1.A　∵>0,
∴<0,解得即不等式>0的解集为,故选A.
2.B　∵B=2A,a=1,b=,∴由正弦定理得===,∴cosA=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即1=3+c2-3c,解得c=2或c=1(不符合题意,舍去),∴c=2,故选B.
3.A　由2(x-1)2<2,得(x-1)2<1,
解得0∴A={x|0由lo(x2+x+1)>-log2(x2+2),
得log2(x2+x+1)则解得x<1,
∴B={x|x<1}.
∴ UB={x|x≥1}.
∴阴影部分表示的集合为
( UB)∩A={x|1≤x<2}.
4.B　由≥1可得-1≥0,所以≥0,
即≥0,所以≤0,
所以
解得≤x<2.故选B.
5.D　设S3=a(a≠0),则S6=-5a,
∵{an}为等差数列,
∴S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,
即a,-6a,S9-S6成等差数列,
∴S9-S6=-13a,即S9=-18a,
∴=-18.
6.C　由A≥90°,知B为锐角,则此三角形最多有一解,故①说法正确;若A<90°,且a=bsinA,则sinB=1,即B=90°,此三角形为直角三角形,故②说法正确;当A<90°,且a=b时,A=B,此三角形为等腰三角形,只有一解,故③说法错误.故正确说法的个数为2.
7.A　设等差数列{an}的公差为d,
∵a1=1,a3=5,
∴d==2,
∴an=1+2(n-1)=2n-1,
∵Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36,∴k=8,故选A.
8.C　画出可行域,如图所示.由图可知,当直线y=+过点A时z取得最大值;过点B时z取得最小值.联立得方程组 故A(4,4),对x+y=8,令y=0,则x=8,故B(8,0),所以a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8,则a-b=16-(-8)=24,故选C.
9.A　易得Sn==a1(2n-1),S2n==a1(22n-1),an+1=a1·2n,
∴Tn===17-≤17-2=17-8=9,
当且仅当2n=,即n=2时取等号,∴数列{Tn}的最大项为T2,则n0=2,故选A.
10.D　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则a2=a1q=1,∴q=,
∴S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1+1+,当a1>0时,S3≥1+2=3,当且仅当a1=1时取等号;当a1<0时,S3≤1-2=1-2=-1,当且仅当a1=-1时取等号.
故S3的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
11.A　因为asinA+bsinB-csinC=0,所以a2+b2-c2=0,又因为圆心O(0,0)到直线l:ax+by+c=0的距离为=1,所以圆O:x2+y2=1与直线l:ax+by+c=0相切,故选A.
12.D　由题可得an+1-an=n+1,
则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n-1+1)+(n-2+1)+…+(1+1)+1=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=,
当n=1时,也满足上式,
∴an=,
∴==2,
∴Sn=2
=2.
∵Sn二、填空题
13.答案　5
解析　由题可得a5-a6=4S4-4S5=-4a5,
∴a6=5a5,∴q=5.
14.答案　3akm
解析　由题意知,∠ACB=120°,
∴由余弦定理得AB2=3a2+3a2-2a×a×cos120°=9a2,
∴AB=3akm.
15.答案　
解析　因为a=2,所以(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC可化为(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理的推论可得cosA===,又016.答案　16
解析　由题意知,公比q≠1.因为Sn==-qn,而题中Sn=t·3n-1-=·3n-,易知-=-,故t=1,所以y===x+1++10.
因为x>0,所以x+1>1,
所以y≥2+10=16,当且仅当x+1=,即x=2(负值舍去)时,等号成立,
所以函数y=(x>0)的最小值为16.
三、解答题
17.解析　(1)∵2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,
∴bc=b2+c2-a2, (2分)
∴cosA==, (3分)
∴A=60°. (5分)
(2)由正弦定理及已知,
得sinB=2sinCcosA,(6分)
又B=π-(A+C),
∴sin(A+C)=2sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC,即sinAcosC-cosAsinC=0,
∴sin(A-C)=0,
∴A=C, (8分)
∴A=B=C=60°,
∴△ABC为等边三角形. (10分)
18.解析　(1)由题意,得
解得 (4分)
故数列{an}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1. (6分)
(2)由(1)知an=2n-1,所以bn==·=·, (8分)
所以Sn=++…+==. (12分)
19.解析　(1)由·=2得c·a·cosB=2,又cosB=,所以ac=6. (2分)
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB,
又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13. (3分)
联立
解得或 (5分)
因为a>c,所以a=3,c=2. (6分)
(2)在△ABC中,sinB===. (7分)
由正弦定理,得sinC=sinB=×=. (8分)
因为a=b>c,所以C为锐角,
因此cosC===, (10分)
所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=. (12分)
20.解析　(1)在已知式中,当n=1时,=,
∵a1>0,
∴a1=1;
当n≥2时,+++…+=,①
+++…+=,② (3分)
①-②得=an(2a1+2a2+…+2an-1+an),
∵an>0,
∴=2a1+2a2+…+2an-1+an,即=2Sn-an,当n=1时,也满足此式.
∴=2(1+a2)-a2,解得a2=-1或a2=2,
∵an>0,
∴a2=2. (6分)
(2)由(1)知=2Sn-an(n∈N+),③
当n≥2时,=2Sn-1-an-1,④
③-④得-=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1. (8分)
∵an+an-1>0,
∴an-an-1=1,
∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,可得an=n.(12分)
21.解析　(1)由题意知f(n)=50n--72=-2n2+40n-72, (2分)
由f(n)>0,得-2n2+40n-72>0,解得2(2)方案①:年平均纯利润为=40-2≤40-2·2=40-2×2=16,当且仅当n=,即n=6时,等号成立.
故方案①共获利6×16+48=144(万元),此时n=6. (7分)
方案②:由(1)得f(n)=-2(n-10)2+128,所以当n=10时,f(n)max=128.故方案②共获利128+16=144(万元),此时n=10. (10分)
比较两种方案,获利都是144万元,但由于第①种方案只需6年,而第②种方案需10年,因此选择第①种方案更划算. (12分)
22.解析　(1)证明:由已知得,当直线y=-x+z过点(2n,0)时,目标函数取得最大值,故zn=2n,
∴方程为x+y=2n. (2分)
∵(Sn,an)在直线zn=x+y上,
∴Sn+an=2n,①
∴Sn-1+an-1=2(n-1),n≥2,②
由①-②得,2an-an-1=2,n≥2,
∴an-1=2an-2,n≥2. (4分)
又∵===,n≥2,a1-2=-1,
∴数列{an-2}是以-1为首项,为公比的等比数列. (6分)
(2)由(1)得an-2=-,
∴an=2-. (8分)
∵Sn+an=2n,
∴Sn=2n-an=2n-2+, (10分)
∴Tn=++…+
=[0+2+…+(2n-2)]+++…+
=+
=n2-n+2-. (12分)
10