2022版高中数学第三章不等式课件(5份打包）北师大版必修5

(共16张PPT)
第三章　不等式
§1　不等关系
1 | 不等关系
　　现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系,不等关系
常用不等式表示.
2 | 比较实数a,b大小的依据
依据 a-b①　> 0 a>b;
a-b②　= 0 a=b;
a-b③　< 0 a结论 确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们的④　差 与⑤　0 的大小关系即可
第三章　不等式
3 | 不等式的性质
性质 名称 性质内容 注意
1 对称性 a>b ⑥ b2 传递性 a>b,b>c ⑦ a>c 不可逆
3 可加性 a>b a+c⑧　> b+c 可逆
4 可 乘 性 ac⑨　> bc c的符号
ac⑩　< bc
5 同向 可加性 a+c 　> b+d 同向
第三章　不等式
续表
性质 名称 性质内容 注意
6 同向同正 可乘性 ac 　> bd 同向
7 可乘方性 a>b>0 an>bn (n∈N+) 同正
8 可开方性 a>b>0 > (n∈N+)
第三章　不等式
4 | 常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于、高 于、超过 小于、低 于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、
至多、不超过
符号语言 > < ≥ ≤
第三章　不等式
1.a>b与a≠b都是不等式. (　√　)
2.a,b,c为实数,若ac2>bc2,则a3.a,b为实数,若aab>b2. (　√　)
4.a,b,c为实数,若c>a>b>0,则 > . (　√　)
5.若 >1,则a>b. ( 　)
提示:若 >1,则当b>0时,a>b;当b<0时,a6.若a3>b3,则a>b. (　√　)
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第三章　不等式
　　不等式的性质及推论有以下几点在应用时容易被忽略,从而导致出错,应注意:
1.在使用不等式的性质时,一定要弄清它们成立的前提条件.
(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等
号是传递不过去的,如a≤b,b(2)在乘法法则中,要特别注意乘数c的符号,例如,当c≠0时,有a>b ac2>bc2;若无
“c≠0”这个条件,则a>b ac2>bc2就是错误结论(当c=0时,ac2=bc2);
(3)“a>b>0 an>bn>0(n∈N+)”成立的条件是“n∈N+,a>b>0”.假如去掉“n∈N
+”这个条件,取n=-1,a=3,b=2,那么就出现“3-1>2-1,即 > ”的错误结论;假如去掉
“b>0”这个条件,取a=3,b=-5,n=2,那么就会出现“32>(-5)2,即9>25”的错误结论.
2.注意不等式性质的可逆性.只有a>b bb a+c>b+c,a>b ac>bc(c>0)是可
1 | 如何正确运用不等式的性质及推论
逆的,其余几条性质是不可逆的.
第三章　不等式
　　判断下列命题是否成立,若不成立,适当增加条件使之成立.
(1)若a>b,则ac≤bc;
(2)若ac2>bc2,则a2>b2;
(3)若a>b,则lg(a+1)>lg(b+1);
(4)若a>b,c>d,则 > .
思路点拨
根据不等式的性质进行推导,寻求应增加的条件.
第三章　不等式
解析 (1)不成立.命题“若a>b且c≤0,则ac≤bc”成立,即增加条件“c≤0”.
(2)不成立.由ac2>bc2可得a>b,但只有b≥0时,才有a2>b2,即增加条件“b≥0”.
(3)不成立.由a>b可得a+1>b+1,但作为真数,应有b+1>0,故应增加条件“b>-1”.
(4)不成立. > 成立的条件有多种(如a>b>0,c>d>0),因此,可增加条件“b>0,d>
0”.
第三章　不等式
　　利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围时,要注意“同向
不等式的两边可以相加”,但这种转化是不可逆的.在一道题的解题过程中多次
使用这种转化时,就有可能“扩大”取值范围.解决此类题可用待定系数法先建
立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,再通过一次不等关系的运算求
得待求式的取值范围,这是避免犯错误的一条重要途径,切不可随意拆分.
2 | 利用不等式的性质求代数式的范围问题中,如何避免范围扩大
第三章　不等式

已知α,β满足 试求α+3β的取值范围.
思路点拨
用α+β和α+2β表示α+3β 由已知求α+3β的取值范围.
第三章　不等式
解析 设α+3β=λ(α+β)+v(α+2β)=(λ+v)α+(λ+2v)β(λ,v∈R).比较等号两边α,β的系
数,得
解得
所以α+3β=-(α+β)+2(α+2β).
又-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,
所以1≤α+3β≤7.
故α+3β的取值范围是[1,7].
第三章　不等式
1.利用不等式表示问题中的不等关系,关键是用代数式表示相应的量,然后用不等
式表示其关系;而对于涉及条件较多的问题,往往需列不等式组解决.
2.建立实际问题中的不等关系的关键是找出制约目标的自变量,把题中涉及的量
用代数式表示,从而根据条件列出不等式(组).
3 | 不等关系的实际应用
第三章　不等式
　　糖水是日常生活中再简单不过的东西.下列关于糖水浓度的问题,试提炼出
不等式.
(1)向一杯糖水里加点糖,“糖水加糖变甜了”;
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起,得到的糖水一定比淡的
浓、比浓的淡.
信息提取
①糖水加糖变甜了;②混合两种糖水得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡.
数学建模
本题由糖水这一生活问题,挖掘出不等式模型.求解的关键是寻找问
题中的不等关系,再将其转化为不等式.
第三章　不等式
解析 (1)设原来的糖水b克,含糖a克,则此糖水浓度为 .加入m克糖后的浓度为
,
则提炼出不等式:若b>a>0,m>0,则 < .
(2)设淡糖水b1克,含糖a1克,则浓度为 ;
浓糖水b2克,含糖a2克,则浓度为 .
则混合后的浓度为 ,则提炼出不等式:
若b1>a1>0,b2>a2>0,且 < ,则 < < .
第三章　不等式
易错警示
本题在由不等关系提炼出不等式时,要特别注意各分式的分子、分母分别增加哪
些量.此外,本题挖掘出的两个不等式实质是分数的性质:(1)真分数分子与分母加
上同一个正数,分数的值变大;(2)两个真分数的分子与分子,分母与分母分别相加,
所得的分数比其中较小的分数大,比较大的分数小.
第三章　不等式(共26张PPT)
第三章　不等式
§2　一元二次不等式
1 | 一元二次不等式的概念
概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式
一般形式 ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0),其中a≠0
一元二次不 等式的解 使某个一元二次不等式成立的① x的值 叫这个一元二次不等式的解
一元二次不 等式的解集 一元二次不等式的②　所有解 组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集
2 | 一元二次不等式与相应函数、方程的关系
设f(x)=ax2+bx+c(a>0),判别式Δ=b2-4ac
判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
方程f(x)=0的解 x1,x2(x1函数y=f(x)的示意图
不等 式的 解集 f(x)>0 ③　{x|xx2} ④ ⑤ R
f(x)<0 ⑥　{x|x1第三章　不等式
　 f(x),g(x)为整式,且g(x)≠0.
3 | 分式不等式的解法
分式不等式 同解不等式
>0 或
f(x)g(x)>0
<0 或
f(x)g(x)<0
>a(a≠0) >0
g(x)[f(x)-ag(x)]>0
第三章　不等式
　　简单的一元高次不等式f(x)>0用穿针引线法(或称数轴穿根法,根轴法,区间
法)求解,其步骤如下:
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数;
(2)将f(x)分解为若干个一次因式(或二次不可分解因式)的积;
(3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次穿过每一点画曲线(注意重
根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过);
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律,写出不等式的解集.
4 | 简单的一元高次不等式的解法
第三章　不等式
　　已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则
(1)f(x)>0在x∈R上恒成立
(2)f(x)<0在x∈R上恒成立
(3)f(x)>0的解集为空集 f(x)≤0在x∈R上恒成立;
(4)f(x)<0的解集为空集 f(x)≥0在x∈R上恒成立;
(5)a>0时,f(x)<0在区间[α,β]上恒成立
(6)a<0时,f(x)>0在区间[α,β]上恒成立
(7)f(x)>0在区间[α,β]上恒成立 [α,β] A,其中A是f(x)>0的解集.
5 | 质一元二次不等式恒成立问题
第三章　不等式
1.方程x2-2x+1>0的解集为R. ( 　)
2.不等式ax2+bx+c>0恒成立 (　√　)
3.方程ax2+bx+c=0(a>0)有两个不等的实根x1,x2,且x10的解集为{x|x
x2}.(　√　)
4.若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　√　)
5.若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1
和x2.(　√　)
6.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. ( 　)
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第三章　不等式
　　给出一元二次不等式的解集,便可知a的符号和ax2+bx+c=0的两实根,由根与
系数的关系可知a,b,c之间的关系.
(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|d0的两根,d+e=- ,d·e= ;若解集为{x|xe},则说明a>0,x1=d,x2=e为方程ax2+bx
+c=0的两根,d+e=- ,d·e= .
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|d0,x1=d,x2=e为方程ax2+bx+c=
0的两根,d+e=- ,d·e= ;若解集为{x|xe},则说明a<0,x1=d,x2=e为方程ax2+bx
+c=0的两根,d+e=- ,d·e= .
1 | 如何理解“三个二次”之间的关系
第三章　不等式
　　已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx2+bx+a<
0的解集.
思路点拨
思路1:由根与系数的关系,求出a、b、c与α、β的关系 求出cx2+bx+a=0的根
写解集.
思路2:由根与系数的关系,求出a、b、c与α、β的关系 将cx2+bx+a<0的系数用
α、β表示 求根 写解集.
第三章　不等式
解析 解法一:由题意可得a<0,且α,β为方程ax2+bx+c=0的两根,
∴由根与系数的关系得
∵a<0,0<α<β,∴c<0,
∴cx2+bx+a<0可化为x2+ x+ >0.
①÷②,得 = =- <0.
由②得 = = · >0.
∴ , 为方程x2+ x+ =0的两根.
又∵0<α<β,∴0< < ,
第三章　不等式
∴不等式x2+ x+ >0的解集为 ,
即所求不等式的解集为 x x< 或x> .
解法二:由题意得a<0,
∴由cx2+bx+a<0,得 x2+ x+1>0.
将解法一中的①②代入,得αβx2-(α+β)x+1>0,即(αx-1)(βx-1)>0.
∵0<α<β,∴0< < ,
∴所求不等式的解集为 x x< 或x> .
第三章　不等式
　　解含参数的一元二次不等式时,一般需对参数进行分类讨论,何时进行讨论,
如何分类是解这类题的难点.根据运算的分以下几种情况:
(1)二次项系数含参数时,根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为
正,此时要对参数进行讨论.
(2)解“Δ”的过程中,若“Δ”的表达式中含有参数且参数的取值影响“Δ”的符
号,则要对参数进行讨论.
(3)如果方程两根的表达式中有参数,且需要对参数进行讨论后才能确定根的大
小,那么要对参数进行讨论.
总之,可能需对参数进行分类讨论的点有三个:①二次项系数的符号;②判别式
“Δ”的符号;③两根的大小关系.解此类问题时,未必对以上三点都进行讨论,是
否讨论要根据运算需要而定.
2 | 解含参数的一元二次不等式时如何进行分类讨论
第三章　不等式
　　解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.
思路点拨
对a的取值进行讨论 求根 讨论根的大小 写解集.
第三章　不等式
解析 若a=0,则原不等式可化为-x+1<0 x>1;
若a<0,则原不等式可化为 (x-1)>0 x< 或x>1;
若a>0,则原不等式可化为 (x-1)<0,(*)
其解的情况应由 与1的大小关系决定:
(1)当a=1时,由(*) x∈ ;
(2)当a>1时,由(*) (3)当0综上所述,当a<0时,解集为 x x< 或x>1 ;
当a=0时,解集为{x|x>1};
第三章　不等式
当0当a=1时,解集为 ;
当a>1时,解集为 .
第三章　不等式
跟踪训练( )解关于x的不等式:x2+ax+4>0.
思路点拨
讨论判别式符号 求根 写解集.
第三章　不等式
解析　方程x2+ax+4=0的判别式Δ=a2-16,
①当a2-16>0,即a>4或a<-4时,
方程x2+ax+4=0的根为x1= ,
x2= ,
∴x> 或x< .
②当a2-16=0,
即a=±4时,
若a=4,则x2+4x+4>0,
∴x≠-2;
若a=-4,则x2-4x+4>0,
第三章　不等式
∴x≠2.
③当a2-16<0,即-4综上,当a>4或a<-4时,原不等式的解集为 x x> 或x< ;
当a=4时,原不等式的解集为{x|x≠-2};
当a=-4时,原不等式的解集为{x|x≠2};
当-4第三章　不等式
　　1.各种分式不等式经过同解变形,都可化为标准形式 >0(≥0)或 <0
(≤0)(其中f(x),g(x)为整式且g(x)不为0).
2.分式不等式的解法
解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解.
化分式不等式为标准形式的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形式(其
中f(x),g(x)为整式且g(x)不为0).
3 | 如何解分式不等式
第三章　不等式
　　解下列不等式.
(1) ≤2;(2) 思路点拨
(1)移项、通分,化简为 ≥0的形式,化为整式不等式或不等式组求解.
(2)先转化为高次不等式,再用数轴标根法求解.
第三章　不等式
解析 (1)解法一:移项得 -2≤0,
左边通分并化简得 ≥0,
此不等式等价于(x-5)(x-2)≥0,且x-2≠0,
解得x<2或x≥5.
故原不等式的解集是{x|x<2或x≥5}.
解法二:由已知得 ≥0,
∴ ①或 ②
由①得x≥5,由②得x<2.
∴原不等式的解集是{x|x<2或x≥5}.
(2)移项、通分并化简得 >0.
第三章　不等式
由x2+x+1>0恒成立,知原不等式等价于 >0,即(x+1)(x-2)(x-3)>0,把方程(x
+1)(x-2)(x-3)=0的三个根x1=-1,x2=2,x3=3标在数轴上,然后从右上方开始画线顺次
经过三个根,其解集为如图的阴影部分.

所以原不等式的解集为{x|-13}.
导师点睛 (1)解分式不等式时,要注意分母不能为0.
(2)对原不等式化简时,要化成右边为零,左边为一次二项式乘积或商的形式,并且
将一次项系数全化为1.
第三章　不等式
　　解决不等式恒成立问题的常见方法:
1.构建相应的二次函数,利用二次函数的图像与性质建立变量的不等关系求解.
2.分离变量法:将所求变量与其他变量分离,通过研究式中另外一个变量的已知范
围来确定所求变量的范围.
当f(x)存在最值时,kf(x)恒成立 k>f(x)max.简记:“大于最
大的,小于最小的.”
当函数f(x)不存在最值时,一般转化为寻找函数f(x)的相应上界或下界值,即若f(x)
的值域为(A,B)(即下界值为A,上界值为B),则kf(x)恒成立
k≥B.
4 | 不等式的恒成立问题
第三章　不等式

　　设函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;
(2)对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围;
(3)对于任意m∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数x的取值范围.
思路点拨
(1)分m是不是0讨论:若m=0,则-1<0,满足题意,若m≠0,则m<0,Δ<0,进而求得m的取
值范围.
(2)分离参数得m< ,则m< ,求解即可.
(3)构造函数g(m)=m(x2-x+1)-6, f(x)<-m+5恒成立,即g(m)<0在[1,3]上恒成立,求解即
可.
第三章　不等式
解析 (1)若m=0,则-1<0,满足题意;
若m≠0,则
即-4综上,-4即m的取值范围为(-4,0].
(2)当x∈[1,3]时,f(x)<-m+5恒成立,
即当x∈[1,3]时,m(x2-x+1)-6<0恒成立.
∵x2-x+1= + >0,
且m(x2-x+1)-6<0,x∈[1,3],
∴m< ,x∈[1,3].
第三章　不等式
∵函数y= = 在[1,3]上的最小值为 ,∴m< .
综上所述,m的取值范围是 .
(3)f(x)<-m+5,即mx2-mx-1<-m+5,
即m(x2-x+1)-6<0.
设g(m)=m(x2-x+1)-6,m∈[1,3],
则g(m)是关于m的一次函数且斜率x2-x+1= + >0,
∴g(m)在[1,3]上为增函数,要使g(m)<0在[1,3]上恒成立,只需g(m)max=g(3)<0,
即3(x2-x+1)-6<0,即x2-x-1<0,
又方程x2-x-1=0的两根为x1= ,x2= ,
第三章　不等式
∴x2-x-1<0的解集为 ,
即x的取值范围为 .
易错警示
解不等式的恒成立问题时要注意:
(1)区别所给不等式是在R上恒成立还是在闭区间上恒成立.
(2)当二次项系数含变量时,应对二次项系数是不是零进行讨论.
第三章　不等式(共19张PPT)
第三章　不等式
§3　基本不等式
1 | 两个不等式
不等式 内容 等号成立的条件 注意
重要 不等式 a2+b2≥①　2ab 当且仅当a=b时,等号成
立 a,b可以是任意实数
基本 不等式 ② ≥ 当且仅当a=b时,等号成
立 a,b只能是正实数
　 称为a,b的③　算术平均数 , 称为a,b的④　几何平均数 .
基本不等式又被称为均值不等式.
1.已知x、y>0,如果积xy是定值p,那么当x=y时,和x+y有最小值,最小值为⑤　2 .
2.已知x、y>0,如果和x+y是定值s,那么当x=y时,积xy有最大值,最大值为⑥ .
上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.
　　运用以上结论求最值要注意下列三个条件:
一正:要求各数均为⑦　正数 ;
二定:要求和或积为⑧　定值 ;
三相等:要保证具备⑨　等号 成立的条件.
2 | 基本不等式与最值
第三章　不等式
　　设a>0,b>0,则有 ≤ ≤ ≤ 或ab≤ ≤ ,当且
仅当a=b时取等号.
3 | 均值不等式链
第三章　不等式
1.不等式a2+b2≥2ab与 ≥ 有相同的成立条件.( 　)
提示:a,b∈R,有a2+b2≥2ab,
当且仅当a=b时,等号成立;a>0,b>0,有 ≥ ,
当且仅当a=b时,等号成立.
2.y=x+ (x>1)的最小值为2. ( 　)
提示:由题意得,y=x+ ≥2 =2,当且仅当x= 时取等号,由x= 可得,x=1,不在x>
1的范围内,
故y=x+ ≥2取等号时不成立,
所以y=x+ 不能取2.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第三章　不等式
3.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(　√　)
提示:设两个正数分别为x,y,则它们的等差中项为 ,等比中项为± ,
由x>0,y>0可得, >- , ≥ (当且仅当x=y时,等号成立).
4.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为18. (　√　)
5.当a,b同号时, + ≥2. (　√　)
第三章　不等式
　　利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以,即“一正,二定,三相等”.
具体理解如下:
①“一正”:各项必须都是正值.
例如:代数式x+ ,当x<0时,绝不能认为x+ ≥2,x+ 的最小值为2.事实上,当x<0时,
x+ =- ≤-2,当x=-1时,x+ 取得最大值-2.
②“二定”:各项之和或各项之积为定值.
例如:已知0值,且2x>0,5-2x>0,当2x=5-2x,即x= 时,[(5-2x)x]max= .
③“三相等”:必须验证取等号时条件是否成立.
1 | 如何理解基本不等式中等号成立的三个条件
第三章　不等式
例如:函数y=sin2x+ (x≠kπ,k∈Z),满足“正”和“定值”的条件,但要取等号
必须有sin2x= 成立,即sin2x= >1,这是不可能的.
在利用基本不等式求最值时以上三个条件必须同时成立,如果其中有一个不成
立,那么就可能得出错误的结果.
第三章　不等式

　　已知a,b均为正数,2b+ab+a=30,求函数y= 的最小值.
思路点拨
思路1:减少变量,代换掉a或b 构造基本不等式 检验三个条件是否同时满
足 求最小值.
思路2:由已知得a+2b=30-ab 由a+2b≥2· 形成关于 的不等式 求出
ab的最大值.
第三章　不等式
解析 解法一:∵2b+ab+a=30,∴a= ,
∴ab= ·b= .
∵a>0,b>0,
∴0令t=b+1,则1∴ab= =-2 +34.
∵t+ ≥2 =8,∴ab≤18,
∴y≥ ,
当且仅当t=4,即a=6,b=3时,等号成立.
∴当a=6,b=3时,函数y= 取得最小值,最小值为 .
第三章　不等式
解法二:由已知条件,得30-ab=a+2b,
∵a+2b≥2 ,∴30-ab≥2 .
令u= (u>0),则u2+2 u-30≤0,∴0 ,当且仅当 即 时,等号成立.
∴y= 的最小值为 .
第三章　不等式
　　应用基本不等式求最值的关键是凑出“定和”或“定积”以及保证能取到
等号,因此往往采取以下方法技巧:
1.常用构造定值条件的技巧变换:
(1)加项变换;
(2)拆项变换;
(3)统一变元;
(4)平方后利用基本不等式.
2.拆项、添项、配凑等方法常用在求分式型函数的最值中.
3.常值代换:这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求 + 的最小值”
和“已知 + =1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两种类型.
2 | 如何构造条件用基本不等式求最值
第三章　不等式
(1)求函数y= (x>0)的值域;
(2)求函数y=x (0(3)已知x>0,y>0, + =1,求x+y的最小值.
思路点拨
(1)变形 构造出积为定值 利用基本不等式求出值域.
(2)将x 变形为 构造出和为定值 利用基本不等式求出最
大值.
(3)构造出积为定值 利用基本不等式求出x+y的最小值.
第三章　不等式
解析 (1)∵x>0,∴y= = = ≤ = ,当且仅当x= ,即x= 时
取等号,此时ymax= .
又x>0,∴函数y= (x>0)的值域为 .
(2)∵0∴2-x2>0,
∴y= ≤ =1.
当且仅当x2=2-x2,即x=1时,y有最大值1.
(3)解法一(“1”的整体代入):
∵ + =1,
第三章　不等式
∴x+y=(x+y)· =10+ + .
∵x>0,y>0,
∴ + ≥2 =6 当且仅当 = ,即y=3x时取等号 .
又 + =1,∴x=4,y=12,
∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.
解法二(降元化归部分分式):
由 + =1,得x= ,
∴x+y= +y=y+ =y+ +1=(y-9)+ +10.
∵x>0,y>0,
∴y>9.
第三章　不等式
∴(y-9)+ ≥2 =6,
当且仅当y-9= ,即y=12时取等号,此时x=4.
∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.
解法三(配凑定值):
由 + =1,得9x+y=xy,
∴(x-1)(y-9)=9.
∵x>0,y>0,
∴x-1>0,y-9>0,
∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2· =16,
当且仅当x-1=y-9时取等号.
第三章　不等式
又 + =1,∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.
易错警示
利用基本不等式求最值时,要特别注意“一正、二定、三相等”这三个条件缺一
不可.在具体题目中,“正数”条件往往易从题设中得到解决,“相等”条件也易
验证确定,而要获得“定值”条件却常常为一个难点,它具有一定的灵活性.
第三章　不等式
　　在求y=x+ (a≠0)型函数的最值时,若存在x使得x= 成立,且a>0,可考虑使用
基本不等式,否则可利用函数y=x+ 的单调性来求最值.函数y=x+ (a≠0)的图像
和性质如表:
3 | 如何求y=x+ (a≠0)型函数的最值
a>0 a<0
图像
定义域 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 (-∞,-2 ]∪[2 ,+∞) (-∞,+∞)
奇偶性 奇函数 奇函数
单调性 在(-∞,- ]和[ ,+∞)上单调递增; 在[- ,0)和(0, ]上单调递减 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增
第三章　不等式
　　求y= + (0思路点拨
思路1:构造基本不等式 求出最小值.
思路2:利用单调性求出最小值.
第三章　不等式
解析 解法一:由题得y= + = + .
∵0∴y= + ≥ + ≥2 + =1+ = ,
当且仅当 = ,即sin x=1时,等号成立,又0解法二:∵0设t= ,t∈ ,则sin x=2t,
∴y=t+ .
由函数的单调性知,当t∈ 时,函数y=t+ 为减函数,
∴当t= ,即 = ,即x= 时,y取最小值,最小值为 +2= ,∴ymin= .
第三章　不等式(共15张PPT)
第三章　不等式
§4　简单线性规划
4.1　二元一次不等式(组)与平面区域
1 | 直线与坐标平面
一般地,直线l:ax+by+c=0把直角坐标平面分成了三个部分:
1.直线l上的点(x,y)的坐标满足ax+by+c=0;
2.直线l一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足ax+by+c>0;
3.直线l另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足① ax+by+c<0 .
　　一般地,把直线l:ax+by+c=0画成②　实线 ,表示平面区域包括这一边界直
线;若把直线画成③　虚线 ,则表示平面区域不包括这一边界直线.
2 | 二元一次不等式所表示的平面区域
二元一次不等式组所表示的平面区域是作出不等式组中的每一个不等式所表示
的平面区域,然后取各个不等式所表示的平面区域的交集,即各个不等式所表示
的平面区域的④　公共部分 ,即为不等式组所表示的平面区域.
3 | 二元一次不等式组所表示的平面区域
第三章　不等式
　　对于直线ax+by+c=0同一侧的所有点,把它们的坐标(x,y)代入ax+by+c,所得的
符号都⑤　相同 ,因此只需在直线ax+by+c=0的同一侧取某个特殊点(x0,y0)作为
测试点,由ax0+by0+c值的正负就可以断定ax+by+c>0(<0)表示的是直线ax+by+c=0
哪一侧的平面区域.
4 | 点所在平面区域的判断
第三章　不等式
1.(-1,3)不是x+y-1≤0表示的平面区域内的点. (　√　)
2.第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示.(　√　)
3.点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y+5=0的同侧. ( 　)
4.不等式2x-y-6>0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的右下方. (　√　)
5.不等式x+y-2<0表示的平面区域在直线x+y-2=0的右上方. ( 　)
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第三章　不等式
(1)画线:画出不等式组中各个不等式所对应的方程表示的直线(注意实、虚线的
选定);
(2)定侧:将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异
侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧;
(3)求“交”:在确定了各个不等式所表示的平面区域后,再求这些平面区域的公
共部分,这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域.
对于积商形式或含绝对值形式的不等式,要先化为不等式组再画平面区域.
1 | 如何画出二元一次不等式组所表示的平面区域
第三章　不等式
　　画出不等式组 所表示的平面区域.
思路点拨
画出各不等式所表示的平面区域 找出公共部分.
第三章　不等式
解析 不等式x+y≤5表示直线x+y-5=0及其左下方的区域;
不等式x-2y>3表示直线x-2y-3=0右下方的区域;
不等式x+2y≥0表示直线x+2y=0及其右上方的区域.
所以不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.

第三章　不等式
画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)<0所表示的平面区域.
思路点拨
将原不等式转化为不等式组 画各不等式组表示的区域.
第三章　不等式
解析 原不等式等价于 或 在同一平面直角坐标系内作
出两个不等式组所表示的平面区域,如图.

所得阴影部分区域即为所求.
第三章　不等式
跟踪训练( )画出x≤|y|≤2x所表示的平面区域.
思路点拨
去绝对值 将不等式转化为二元一次不等式组 画出不等式组所表示的平
面区域.
第三章　不等式
解析　由x≤2x得x≥0.
当y>0时,x≤|y|≤2x等价于
当y≤0时,x≤|y|≤2x等价于
在同一平面直角坐标系内作出两个不等式组所表示的平面区域,如图.

所得阴影部分区域即为所求.
第三章　不等式
　　解决二元一次不等式组所表示的平面区域的面积问题时,首先要正确作出不
等式组所表示的平面区域,然后根据平面区域对应图形的形状求面积.若平面区
域对应的图形为规则图形,则直接利用面积公式求解;若平面区域对应的图形为
不规则图形,则可采用“割补法”等适当方法进行求解.
2 | 二元一次不等式组所表示的平面区域的面积问题
第三章　不等式
　　若不等式组 所表示的平面区域被直线y
=kx+ 分为面积相等的两部分,则k=　　　 .
思路点拨
画出平面区域 找出平分面积的直线位置 求k.
第三章　不等式
解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.

由于直线y=kx+ 过定点C ,因此只有当直线y=kx+ 过线段AB的中点时,直线
y=kx+ 才能平分不等式组所表示的平面区域.
由 解得 即A(1,1),
第三章　不等式
由 解得 即B(0,4),
所以线段AB的中点的坐标为 .
当直线y=kx+ 过点 时, + = ,解得k= .
第三章　不等式(共31张PPT)
第三章　不等式
4.2　简单线性规划
4.3　简单线性规划的应用
1 | 线性规划的有关概念
名称 概念
约束条件 由变量x,y组成的①　不等式组
线性约束条件 由变量x,y的②　一次 不等式组成的不等式(组)
目标函数 关于x,y的函数解析式,如z=x+2y
线性目标函数 关于x,y的③　一次 解析式
可行解 满足约束条件的解④　(x,y)
可行域 所有⑤　可行解 组成的集合
最优解 使目标函数取得⑥　最小值和最大值 的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值的问题
1.z=ax+by(b≠0)时,z可以看成是直线y=- x+ z在y轴上截距的b倍;
2.z=(x-a)2+(y-b)2时,z可以看成是点(x,y)与点(a,b)之间⑦　距离的平方 ;
3.z= (x≠a)时,z可以看成是点(x,y)与点(a,b)之间连线的⑧　斜率 ;
4.z= 时,z可以看成是点(x,y)到直线ax+by+c=0的距离.
2 | 常见目标函数z的几何意义
第三章　不等式
1.目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距. ( 　)
2.目标函数z=ax+by(b≠0)中,当b>0时,直线ax+by-z=0在y轴上的截距越大,z值越
小. ( 　)
提示:z=ax+by(b≠0)时,z可以看成是直线y=- x+ z在y轴上截距的b倍,
当b>0时,直线在y轴上的截距越大,z值越大.
3.目标函数z= 中,点(x,y)与原点所连直线的倾斜角越大,z值越大. ( 　)
提示:当倾斜角在 时,z= >0,倾斜角越大,z值越大;当倾斜角在 时,z= <
0,倾斜角越大,z值越大.
4.在线性规划问题中,目标函数的最优解一定是唯一的.( 　)
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第三章　不等式
　　对于非线性目标函数的最值问题,弄清它的几何意义是解题的关键.常见的
目标函数有三类:
(1)形如z=(x-a)2+(y-b)2型的目标函数,该类型的目标函数的最值问题均可化为可行
域内的点(x,y)与点(a,b)间的距离的平方的最值问题.特别地, 表示点(x,y)
与原点(0,0)间的距离.
(2)形如z= (ac≠0)型的目标函数,该类型的目标函数可先变形为z= ·
的形式,将问题转化为求可行域内的点(x,y)与点 连线的斜率的
最值问题.特别地, 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; 表示点(x,y)与点(a,b)
连线的斜率.
1 | 如何解决非线性目标函数的最值问题
第三章　不等式
(3)形如z=|Ax+By+C|(A2+B2≠0)型的目标函数,该类型的目标函数可先变形为z=
· 的形式,将问题转化为求可行域内的点(x,y)到直线Ax+By+C
=0的距离的 倍的最值问题.
第三章　不等式
　　设x,y满足条件
(1)求u=x2+y2的最大值与最小值;
(2)求v= 的最大值与最小值;
(3)求z=|2x+y+4|的最大值与最小值.
思路点拨
(1)把目标函数化成可行域内的点与原点的距离的平方 对照可行域找最值点.
(2)把目标函数化成斜率公式 对照可行域找最值点.
(3)把目标函数化成点到直线的距离公式 对照可行域找最值点.
第三章　不等式
解析 画出满足条件的可行域,如图中阴影部分所示.

(1)x2+y2=u表示可行域内任一点(x,y)与原点(0,0)间距离的平方,
由图可知,当为点C时,u最大,为原点(0,0)时,u最小.
又C(3,8),所以umax=73,umin=0.
(2)v= 表示可行域内的点(x,y)与定点D(5,0)连线的斜率,
第三章　不等式
由图可知,kBD最大,kCD最小.
又C(3,8),B(3,-3),
所以vmax= = ,vmin= =-4.
(3)z=|2x+y+4|= · 表示可行域内的点(x,y)到直线2x+y+4=0的距离的
倍,由图知点A到直线2x+y+4=0的距离最小,点C到直线2x+y+4=0的距离最大.
∵A ,C(3,8),
∴zmin= × = ,
zmax= × =18.
第三章　不等式
　　线性规划中的含参问题主要有两类:(1)参数只含在目标函数中,由于可行域
已经确定,因此问题的解决往往需要先找满足题意的临界条件,然后通过对目标
函数所对应的直线进行调整找出满足题意的参数的范围;(2)参数只含在约束条
件中,此类问题中目标函数及其取得的最大值或最小值往往是已知的,所考查的
就是参数如何取值才能使目标函数恰好取得所给的最值,因此求解此类问题的基
本策略是变动参数,即将参数的取值逐步调整,直至符合题意;(3)线性约束条件与
目标函数中都含有参数,求解时要根据参数所在的位置,确定它代表的几何意义,
通过数形结合求解.
2 | 如何解决含有参数的线性规划问题
第三章　不等式
　　已知实数x,y满足 若目标函数z=x-y的最小值为-2,则实数m的值为
(　D　)
A.0　 B.2　 C.4　 D.8
思路点拨
作出不等式组所对应的平面区域 作出直线y=x+2 求交点A 直线x+y=
m过点A 求出m.
第三章　不等式
解析 作出不等式组所对应的平面区域,如图所示,由目标函数z=x-y得y=x-z,z随
着直线y=x-z的纵截距的增大而减小,所以欲使z最小,只需使直线y=x-z的纵截距最
大即可.
当z=-2时,函数为y=x+2,不等式组对应的平面区域在直线y=x+2的下方,由y=2x-1和
y=x+2联立,可得A(3,5),同时A(3,5)也在直线x+y=m上,即m=3+5=8,故选D.

第三章　不等式
　　设变量x,y满足约束条件 且目标函数z=mx+y仅在点(3,1)处取得最大
值,则实数m的取值范围是　 (1,+∞) .
思路点拨
作出可行域 找出点(3,1) 平移直线mx+y=0,使其过点(3,1) 确定m的取
值范围.
第三章　不等式
解析　作出不等式组 所表示的平面区域,得到如图中阴影部分所示的四
边形OABC及其内部,

其中A(2,0),B(3,1),C(0,4),O(0,0).
将直线l:mx+y=0平移,由题意知当且仅当直线经过点B(3,1)时,目标函数z=mx+y取
第三章　不等式
得最大值,
所以直线l的斜率-m<0,且-m1,
即m的取值范围是(1,+∞).
第三章　不等式
跟踪训练1( )设m>1,在约束条件 下,目标函数z=x+my的最大值小于
2,则实数m的取值范围为　(1,1+ ) .
思路点拨
作出可行域 确定取得最大值时点的坐标 求出最大值且使之小于2 解
出m的取值范围.
第三章　不等式
解析　目标函数z=x+my可变形为y=- x+ ,
因为m>1,
所以-1<- <0.
作出满足约束条件的大致平面区域,如图中阴影部分所示,

结合图易知,当直线z=x+my经过点P 时,z取得最大值,
第三章　不等式
所以 + <2,解得1- 1,
所以1即实数m的取值范围为(1,1+ ).
第三章　不等式
1.建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤:
(1)明确问题中所有待确定的未知量,并用数学符号表示;
(2)明确问题中所有的限制条件(约束条件),并用线性方程或线性不等式表示;
(3)明确问题的目标,并用线性函数(目标函数)表示,按问题的不同,求其最大值或
最小值.
2.简单线性规划应用题的求解步骤:
(1)设:设出变量x,y,写出约束条件及目标函数.
(2)作:作出可行域.
(3)移:平移目标函数的等值线l,找最优解.
(4)解:联立方程组求最优解,并代入目标函数,求出最值.
(5)答:写出答案.
3 | 如何解决实际问题中的线性规划问题
总之,求解线性规划问题的基本步骤是作可行域,画平行线,解方程组,求最值,写出
答案.
第三章　不等式
　　某车间小组共12人,需配置两种型号的机器,一台A型机器需要2人操作,每天
耗电30千瓦时,能生产出价值4万元的产品;一台B型机器需要3人操作,每天耗电2
0千瓦时,能生产出价值3万元的产品.现每天供应车间的电量不多于130千瓦时,
问:该车间小组应如何配置两种型号的机器,才能使每天的产值最大 最大产值是
多少
思路点拨
设出变量,列出约束条件和目标函数 作出可行域 求出最优解.
第三章　不等式
解析 设需分配给车间小组A型,B型两种机器分别为x台,y台,每天产值为z万元,
则z=4x+3y,

即
作出可行域,如图中阴影部分所示(为整点),
第三章　不等式

由
解得 即A(3,2),
由图可知,当目标函数z=4x+3y表示的直线过点A时,z取得最大值,最大值为4×3+3
×2=18.
因此,当分配给车间小组A型机器3台,B型机器2台时,才能使每天的产值最大,最大
产值是18万元.
第三章　不等式
　　利用线性规划解决实际问题时,有时要求的最优解是整数解,需要在平面区
域内找出整数点,为了解决这类问题,可以采用以下方法:
1.平移找解法:
最优解一般在可行域的顶点处取得,若要求最优整数解,则x,y必须均为整数,可先
描整点,然后平移目标函数直线l,最先经过或最后经过的整点,便是最优整数解.这
种方法应充分利用非整点最优解的信息,结合精确作图才行,当可行域是有限区
域且整点个数又较少时,可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求出最优
解.
2.局部微调法:
所谓局部微调法是指在求线性目标函数z=ax+by+c的最优整数解时,根据基本方
法求出目标函数的最值,但若此时最优解不是整数(即此时直线经过的点A(x0,y0)
4 | 如何求线性规划问题中的最优整数解
第三章　不等式
不是整点),可先根据A(x0,y0)求出此时的z0=ax0+by0+c,再根据条件把z0的值微调为
大于(或小于)z0且与z0最接近的整数z1,然后求出直线z1=ax+by+c与可行域各直线
的交点坐标,最后在这些交点之间寻找整点.
3.小范围搜索法:
小范围搜索法的步骤:
(1)在非整点最优解附近的小范围内搜索一个可行域内的整点P.
(2)过点P的目标函数与可行域边界相交得到一个小范围的区域.
(3)在这个小范围内继续搜索全部最优整数解.
第三章　不等式
　　某商店计划同时销售某品牌电热水器和太阳能热水器,由于市场需求旺盛,
这两种产品供不应求,因此该商店根据具体情况(如成本、员工工资)确定产品的
月采购量,具体数据如下:
单位产品所需资金/百元 月资金供应量/百元
电热水器 太阳能热水器
成本 10 30 300
员工工资 10 5 110
单位产品利润/百元 8 6
　　问这两种产品每月各采购多少台,才能使总利润最大 最大利润是多少
思路点拨
设出变量,列出约束条件和目标函数 作出可行域 求出最优解 找最优
整数解.
第三章　不等式
解析 设月采购电热水器x台,太阳能热水器y台,月总利润为z元,则

即
由题意知目标函数为z=800x+600y,
作出可行域如图中阴影部分所示(为整点),

第三章　不等式
由
解得
即M .
平移直线800x+600y=0,知过点M , 时,zmax=10 320,但x= ,y= 不是整数,
所以 不是最优整数解.
下面求最优整数解:
解法一(平移找解法):
首先在可行域内打网格(图略),其次描出点M 附近的所有整点,接着平移
第三章　不等式
直线800x+600y=0,会发现当该直线经过点(8,6)时,直线在y轴上的截距最大,
即zmax=10 000.
解法二(局部微调法):
由图可知目标函数取得最大值的整点应分布在可行域右上侧靠近边界的区域,依
次取得满足条件的整点:(0,10),(1,9),(2,9),(3,9),(4,8),(5,8),(6,8),(7,7),(8,6),(9,4),(10,
2),(11,0).
将这些点的坐标分别代入z=800x+600y,求出对应的值,经验证,可知在整点(8,6)处,
z取最大值,且zmax=10 000.
解法三(小范围搜索法):
由非最优整数解 ,
得zmax=10 320,
第三章　不等式
所以z≤10 320且能被200整除.
令800x+600y=10 200,
即y=17- ,
代入约束条件整理得无整数解,
即z<10 200,
再令800x+600y=10 000,
即y= - ,
代入约束条件整理,得 ≤x≤8,
所以x=7或x=8.
当x=7时,y= (舍去);
当x=8时,y=6,故最优整数解为(8,6).
故每月采购电热水器8台,太阳能热水器6台时,总利润最大,最大利润是10 000元.
第三章　不等式
跟踪训练2( )某人有一幢楼房,室内面积共180 m2,拟分隔成两类房间作为旅
游客房.大房间每间面积为18 m2,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房
间每间面积为15 m2,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元.装修每间大房间
需1 000元,装修每间小房间需600元.如果他只能筹款8 000元用于装修,且游客能
住满客房,那么他隔出大房间和小房间各多少间,才能获得最大收益
思路点拨
设出变量,写出目标函数及约束条件 作出可行域 求出最优解 找最优
整数解.
第三章　不等式
解析　设他应隔出大房间x间,小房间y间,获得的收益为z元.
由题意可得

即
目标函数为z=200x+150y,即y=- x+ ,画出可行域如图中阴影部分所示(为整点).
由
解得
第三章　不等式
即B .
在图中作出直线y=- x,平移到经过点B时,z取得最大值,但B 并非整点,
故要进一步搜索.
利用B 附近的网格,可在B附近找到A(2,9)、C(2,8)、D(3,8)这几个整点.
因为斜率为- ,
故在直线y=- x+ 平移过程中,必先过点D,因此A、C两点被排除,
当直线y=- x+ 经过点D时,可得点(0,12)也在直线上,利用网格知(0,12),(3,8)为
最优整数解.
所以他应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间,才能获得最大收益.
第三章　不等式