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第一章 数列
§1 数列
1 | 数列及其相关概念和简单表示
1.
2.数列与集合的区别
数列 集合 示例
区 别 数列中的项是有序的,两组相同的数字,按照不同的顺序排列得到的是不同的数列 集合中的元素是无序的 如数列1,3,4与1,4,3是不同的数列,而集合{1,3,4}与{1,4,3}是相同的集合
数列中的项可以重复出现 集合中的元素满足互异性,即集合中的元素不能重复出现 如数列1,1,1,…,每项都是1,而集合则不可以
第一章 数列
3.数列与函数的区别和联系
数列 函数
区别 数列的定义域是正整数集 函数的定义域是数集
数列的图像是孤立的点 函数的图像可能是光滑的曲线
联系 对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…,n,…)有意义,那么我们可以得
到一个数列f(1), f(2), f(3),…, f(n),…
第一章 数列
1.按项的个数分类
2 | 数列的分类
类别 含义
有穷数列 项数④ 有限 的数列
无穷数列 项数⑤ 无限 的数列
2.按项的变化趋势分类
类别 含义
递增数列 从第2项起,每一项都⑥ 大于 它前面的一项的数列
递减数列 从第2项起,每一项都⑦ 小于 它前面的一项的数列
常数列 各项都⑧ 相等 的数列
摆动数列 从第2项起,有些项大于(或小于)它的前一项,有些项小于(或大于)它的前一项的数列
第一章 数列
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n),
那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.
3 | 数列的通项公式
第一章 数列
1.高一(1)班同学的身高(单位:cm)按从大到小的顺序排列组成一个数列. ( √ )
2.由所有的自然数构成的数列均为递增数列. ( )
3.庄子曾说过:“一尺之棰(意指木棒),日取其半,万世不竭.”这个问题中每日剩
下的木棒长度构成的数列为无穷数列. ( √ )
4.数列1,3,5,7,…,2n+1,…的通项公式是an=2n+1.( )
提示:通项公式为an=2n-1.
5.数列就是函数. ( √ )
6.数列-1,1,-1,1,-1,1,…是摆动数列. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第一章 数列
1.数列的概念中含有数列的两个特性:排列的对象是数,且每一个数都有确定的位
置.
2.数列与数集是两个不同的概念.它们的主要区别是:数集中的元素具有无序性和
互异性,数列中的项是有序的且可以相同.
3.数列的项与数列的项数是两个不同的概念.数列的项是指在这个数列中某一个
确定的数,而项数是指数列中项的总数.
4.an与{an}是两个不同的概念,an表示数列{an}的第n项,而{an}表示一个数列.
1 | 对数列概念的理解
第一章 数列
下列叙述正确的是 ( D )
A.数列2,4,6,8,…可以表示为an=2n(n≥0)
B.数列1,2,3,4,…,n,…可以表示为{an|an=n(n∈N+)}
C.数列1, , , ,…与数列 , , ,…是相同的数列
D.若在数列{an}中,an=2n-1,则a5=31
解析 数列{an}中表示项数的n∈N+,而A中n≥0,故A错;{an|an=n(n∈N+)}表示的是
集合而不是数列,故B错;C中两数列的项不同,不是相同的数列,故C错;当n=5时,由
a5=25-1=31,知D正确.
第一章 数列
数列的通项公式实际上就是一个以正整数集N+或它的有限子集{1,2,3,…,n}
为定义域的函数的解析式,即an=f(n)(n∈N+或n∈{1,2,3,…,n}),它确切反映了数列
的项an与项数n之间的数量关系.数列中的任何一项都必须满足通项公式,但并不
是所有数列都有通项公式.由数列的通项公式可以求出数列的任意一项,同时可
以判断一个数是不是已知数列的项.
2 | 对数列通项公式的理解
第一章 数列
已知数列{an}的通项公式为an=2n2-n.
(1)求出这个数列的第3项和第10项;
(2)判断45是不是数列{an}中的项.
解析 (1)当n=3时,a3=2×32-3=15.
当n=10时,a10=2×102-10=190.
(2)假设45是该数列的项,设an=45,
则2n2-n=45,即2n2-n-45=0,
解得n=5或n=- (舍去).
所以45是该数列的项且为该数列的第5项.
第一章 数列
求数列{an}的最大、最小项的常用方法:
(1)当 (n≥2,n∈N+)时,an是数列中的最大项;当 (n≥2,n∈N+)时,an
是数列中的最小项.
(2)利用函数的单调性求最大、最小项.
3 | 如何求数列中的最大(小)项问题
第一章 数列
数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列中的最大项是 ( B )
A.107 B.108
C.108 D.109
解析 由已知,得an=-2n2+29n+3=-2 +108 ,由于n∈N+,因此当n取距离
最近的正整数7时,an取得最大值108.所以数列{an}的最大项为a7=108.
第一章 数列
易错警示
利用函数的有关知识解决数列问题时,要注意定义域为正整数集或其有限子集这
一约束条件,本题中二次函数的最大值在图像的对称轴处取得,而数列的最大项
在n取距离图像的对称轴最近的正整数时取得.
第一章 数列
跟踪训练( )已知an= (n∈N+),则数列{an}中有没有最大项 如果有,求
出最大项;如果没有,请说明理由.
思路点拨
思路1:先判断an的单调性 求最大项.
思路2:令an≥an-1,an≥an+1(n≥2,且n∈N+) 求n的取值范围 求最大项.
第一章 数列
解析 解法一:数列{an}有最大项.令f(n)=an,则f(n+1)-f(n)=an+1-an= -
= .
当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8时单调递增;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an,得
a8=a9;当n>8时,an+1-an<0,即an+1
8时单调递减.
所以数列{an}的最大项是第8项和第9项,
即a8=a9= .
解法二:数列{an}有最大项.设an最大,
则 (n≥2),
即
第一章 数列
解得8≤n≤9.
又因为n∈N+,所以n=8或n=9,
故{an}的最大项为a8=a9= .
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第一章 数列
§2 等差数列
2.1 等差数列
1 | 等差数列的定义
等差 数列 文字语言 从第2项起,每一项与前一项的① 差 是同一个常数,我们称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的② 公差 ,通常用字母③ d 表示
数学符号 在数列{an}中,若an+1-an=d(n∈N+)(或an-an-1=d,n≥2,n∈N+)成立,则称数列{an}为等差数列,常数d称为等差数列的公差
递推关系 an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+)
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中
项.如果A是a与b的等差中项,那么A=④ .
2 | 等差中项
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是⑤ an=a1+(n-1)d .
3 | 等差数列的通项公式
第一章 数列
4 | 等差数列的常用性质
性质1 通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N+);d=
性质2 若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则⑥ ak+al=am+an
性质3 若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为⑦ 2d
性质4 若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以⑧ pd1+qd2 为公差的等差数列
性质5 若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为⑨ md 的等差数列
性质6 当d⑩ > 0时,数列{an}为单调递增数列;当d < 0时,数列{an}为单调递减数列;当d=0时,数列{an}为常数列
第一章 数列
1.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n∈N+),可得an=dn+(a1-d).
当d≠0时,等差数列的通项公式中等号右边是关于自变量n的一次整式,一次项系
数就是等差数列的公差.因此从图像上看,表示数列{an}的各点均匀分布在一条直
线上.
当d=0时,an=a1,等差数列{an}为常数列,此时表示数列{an}的各点是垂直于y轴的直
线上的均匀分布的一群孤立的点.
总之,等差数列{an}对应函数的图像是直线y=dx+(a1-d)上的均匀分布的一群孤立
的点.
5 | 等差数列与一次函数的关系
第一章 数列
等差数列 一次函数
不同点 定义域为N+,图像是一系列孤立
的点 定义域为R,图像是一条直线
相同点 通项公式与一次函数解析式中,等号右边都是关于自变量的一次
整式
2.关系列表
第一章 数列
在解决等差数列问题的过程中,常常需要设出未知量.为了尽量减少未知量
的个数,可以采用以下技巧:
1.若有三个数成等差数列,则一般设为a-d,a,a+d;
2.若有四个数成等差数列,则一般设为a-3d,a-d,a+d,a+3d;
3.若有五个数成等差数列,则一般设为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d.
6 | 等差数列中的设项方法与技巧
第一章 数列
1.站成一排的10个人中,从左边数的第2个人起,每个人的身高依次比他左边的人
高1 cm,则从左到右这10人的身高(单位:cm)构成一个等差数列. ( √ )
2.若5位同学的年龄(单位:岁)相等,则他们的年龄不构成等差数列. ( )
3.甲、乙的月收入(单位:万元)分别为1、2,则甲、乙月收入(单位:万元)的等差中
项为1.5. ( √ )
4.若数列{an}为等差数列,则其通项公式为n的一次函数. ( )
5.在等差数列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k,…仍为等差数列,公差为kd. ( √ )
6.等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. ( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第一章 数列
当等差数列{an}的项数n为奇数时,可设中间的一项为a,再以d为公差向两边
分别设项,即设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;当等差数列的项数n为偶数时,可设中
间两项分别为a-d,a+d,再以2d为公差向两边分别设项,即设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3
d,….
1 | 等差数列的设项方法与技巧
第一章 数列
(2020安徽马鞍山含山中学、和县一中高一下期末联考)《九章算术》是我国古
代的数学名著,书中有关等差数列的均属章中有如下问题:“今有五人分五钱,令
上二人所得与下三人等.问各得几何 ”可理解为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五
人分5钱,甲、乙两人所得钱数之和与丙、丁、戊三人所得钱数之和相等,且甲、
乙、丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列.问五人各得多少钱 ”(“钱”是古代
的一种质量单位)这个问题中,戊所得为 ( B )
A. 钱 B. 钱
C. 钱 D. 钱
第一章 数列
信息提取
①甲、乙、丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列;
②甲、乙两人所得钱数之和与丙、丁、戊三人所得钱数之和相等.
数学建模
以五人分五钱为背景,建立等差数列模型,这五人所得钱数可视为等差数列的5项,
故可设第3项为a,再以d为公差向两边分别设项进行求解.
第一章 数列
解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a-2d、a-d、a、a+d、a+
2d,
由甲、乙两人所得钱数之和与丙、丁、戊三人所得钱数之和相等,得a-2d+a-d=a
+a+d+a+2d,得a=-6d,
又五人分五钱,所以a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,
解得a=1,则a+2d=a+2× = = .
故选B.
第一章 数列
解题模板
解答等差数列实际问题的基本步骤:(1)审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;
(2)建模,即将已知条件翻译成数学语言,将实际问题转化为数学中的问题;(3)判型,
即分清该数列是不是等差数列;(4)求解,即求出该问题的数学解;(5)还原,即将所
得结果还原到实际问题中.
第一章 数列
判断一个数列是不是等差数列的常用方法:
(1)定义法:an+1-an=d(d为常数,n∈N+) {an}为等差数列.
(2)通项法:an是关于n的一次函数 {an}是公差不为0的等差数列.
(3)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+) {an}为等差数列.特别地,对于三个
数a、b、c,2b=a+c a,b,c(或c,b,a)成等差数列.
其中(1)(3)两种方法是证明一个数列为等差数列的方法和直接依据.
2 | 等差数列的判定(证明)方法
第一章 数列
已知数列{an}满足an=3an-1+3n-1(n∈N+,n≥2)且a3=95.
(1)求a1,a2的值;
(2)若bn= (an+t)(n∈N+),则是否存在一个实数t使{bn}为等差数列 若存在,求出t的
值;若不存在,请说明理由.
第一章 数列
解析 (1)当n=3时,a3=3a2+26=95,
∴a2=23;
当n=2时,a2=3a1+8=23,
∴a1=5.
(2)存在.由题易得an-3an-1=3n-1,
所以当n≥2时,bn-bn-1= (an+t)- (an-1+t)= (an+t-3an-1-3t)= (3n-1-2t)=1- .
要使{bn}为等差数列,则必须使1+2t=0,即t=- .
所以存在t=- ,使{bn}为等差数列.
第一章 数列
跟踪训练( )已知等差数列{an}的公差大于零,且满足a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn= ,是否存在非零实数c,使数列{bn}为等差数列 若存
在,求出实数c的值;若不存在,请说明理由.
思路点拨
(1)由已知求出a1,d 求出an.
(2)假设存在c 列出等式2b2=b1+b3 求出c.
第一章 数列
解析 (1)因为数列{an}为等差数列,
所以a3+a4=a2+a5=22.
又a3·a4=117,
所以
解得 或
又公差d>0,所以a3所以 解得
所以数列{an}的通项公式为an=4n-3.
(2)存在.若{bn}为等差数列,则必有2b2=b1+b3,
第一章 数列
又b1= ,b2= ,b3= ,其中c≠0,所以 ×2= + ,
整理得2c2+c=0,
所以c=- 或c=0(舍去).
将c=- 代入bn= ,整理得bn=2n,此时{bn}为等差数列,即存在非零实数c=- ,使
数列{bn}为等差数列.
第一章 数列(共18张PPT)
第一章 数列
2.2 等差数列的前n项和
第1课时 中等差数列的前n项和公式
1 | 数列的前n项和
在数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫作数列的前n项和.
2 | 等差数列前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn=① Sn=② na1+ d
Sn= n2+ n.
令A= ,B=a1- ,得Sn=An2+Bn.
当A≠0(即d≠0)时,Sn是关于n的二次函数,那么点(n,Sn)在二次函数y=Ax2+Bx的图
像上;
当A=0(即d=0)时,Sn是关于n的一次函数(B≠0,此时a1≠0)或常数函数(B=0,此时a1=
0),点(n,Sn)是直线y=Bx上一系列孤立的点.
3 | 等差数列的前n项和公式与函数的关系
4 | 质数列{an}的前n项和Sn与an的关系
an=
第一章 数列
1.已知{an}是等差数列,公差为d,则bn=
= × .
2.an=
= - .
3.an=
= - .
4.an=loga
=loga(n+1)-logan.
5 | 数列中常见的裂项方法
第一章 数列
1.等差数列{an}的前n项和Sn= (n≥3,n∈N+).( √ )
提示:因为等差数列的前n项和公式Sn= ,又由等差数列的性质,得a1+an=a3+
an-2,所以Sn= .
2.一个数列的前n项和是关于n的二次函数,则这个数列是等差数列. ( )
提示:令Sn=pn2+qn+r,则只有当r=0时,该数列才是等差数列.
3.若数列{an}的前n项和为Sn,则其通项公式为an=Sn-Sn-1. ( )
4.首项为a1,公差为d的等差数列,其前n项和Sn=na1+ d. ( )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第一章 数列
等差数列的前n项和公式Sn= ①,可化为Sn=na1+ n(n-1)d②或Sn= n2+
n③.
这三种形式在解题中要根据不同的条件灵活选择.当已知a1,an和n时选①式;当已
知a1,n和d时选②式;③式主要体现了Sn与n之间的函数关系,在求Sn的最值时宜用.
1 | 质等差数列前n项和公式的变形
第一章 数列
已知{an}为等差数列,Sn=m,Sm=n,其中m≠n,m,n∈N+,求Sm+n.
思路点拨
思路1:由已知列方程组 求出a1,d 求出Sm+n.
思路2:整体代换 由Sn,Sm求Sm+n.
思路3:设Sx=Ax2+Bx(x∈N+) 分别表示出Sm,Sn 求出Sm+n.
思路4:利用性质,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 推导出Sm+n.
第一章 数列
解析 解法一(常规解法,方程思想):
设数列{an}的首项为a1,公差为d,
由题意得,
解得
故Sm+n=(m+n)a1+ d=-m-n.
解法二(常规方法,整体代换,不求a1,d):
设数列{an}的首项为a1,公差为d,
第一章 数列
由题意得,
以上两式相减,得 [2a1(n-m)+(n2-n-m2+m)d]=m-n.
∵m≠n,∴m-n≠0,
∴上式可化为-2a1+(1-m-n)d=2,
即2a1+(m+n-1)d=-2,
∴Sm+n=(m+n)a1+
= [2a1+(m+n-1)d]= ×(-2)
=-m-n.
第一章 数列
解法三:设Sx=Ax2+Bx(x∈N+),
则
①-②,得A(m2-n2)+B(m-n)=n-m.
∵m≠n,∴m-n≠0,∴A(m+n)+B=-1.
∴A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n),即Sm+n=-m-n.
解法四(利用性质,简化运算):
等差数列中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,不妨设m>n,Sm-Sn=an+1+an+2+…+am-1+am=n-m
= (an+1+am),
∴a1+am+n=an+1+am= =-2.
∴Sm+n= (a1+am+n)=-m-n.
第一章 数列
由数列前n项和的定义易知:
当n=1时,a1=S1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=f(n).
若a1=f(1),则数列的通项公式可用an=Sn-Sn-1(n∈N+)表示;
若a1≠f(1),则数列的通项公式采用分段形式表示,即an=
这种关系既可用于求an,也可用于求Sn.
常见题型有两种:
(1)已知Sn与n的关系式,求an.
(2)已知Sn与an的关系式,求an或Sn.这种题型可先将an换成Sn-Sn-1来求Sn,也可先递推
出关于Sn-1与an-1的关系式,再求an.
2 | 数列的前n项和Sn与an的关系的应用
第一章 数列
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,nSn+1-(n+1)Sn= ,n∈N+.
(1)求a2的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
思路点拨
(1)将n=1代入nSn+1-(n+1)Sn= 求出S2 求出a2.
(2)思路1:证明 是等差数列 求出 的通项公式 求出Sn 利用an=
Sn-Sn-1,求出an.
思路2:由已知关系计算出nan+1-Sn= ① 将n-1代入①式,得出②式 ①-
②得出an+1-an=1 求出an.
第一章 数列
解析 (1)∵a1=1,nSn+1-(n+1)Sn= ,
∴S2-2S1= =1,
∴S2=1+2S1=1+2a1=3,
∴a2=S2-a1=2.
(2)解法一:由nSn+1-(n+1)Sn= ,得 - = ,又 =1,
∴数列 是首项为1,公差为 的等差数列,
∴ =1+ (n-1)= (n+1),
即Sn= .
当n≥2时,an=Sn-Sn-1= - =n.经检验,a1=1满足上式,
∴an=n.
第一章 数列
解法二:由nSn+1-(n+1)Sn= ,
得n(Sn+1-Sn)-Sn= ,
∴nan+1-Sn= ①.
∴当n≥2时,(n-1)an-Sn-1= ②,
①-②得,nan+1-(n-1)an-(Sn-Sn-1)= - ,整理得nan+1-nan=n,
∵n≠0,
∴an+1-an=1.
∴数列{an}从第2项开始,是以a2=2为首项,1为公差的等差数列,
∴an=2+(n-2)=n(n≥2).
经检验,a1=1满足上式,∴an=n.
第一章 数列
跟踪训练( )Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0, +2an=4Sn+3,求{an}的通项公
式.
思路点拨
由已知消去Sn 推出an+1-an=2 求出an.
解析 由 +2an=4Sn+3①,
可知 +2an+1=4Sn+1+3②,
由②-①可得, - +2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)= - =(an+1+an)(an+1-an),
因为an>0,所以an+1-an=2,
又 +2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3,所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,
通项公式为an=2n+1.
第一章 数列
“裂项相消法”求和的关键就是将数列的每一项拆成两项(或多项)差的形
式,使数列中的项出现有规律的抵消,从而达到求和的目的.利用“裂项相消法”
求和时要注意抵消后的剩余项有多少,剩余项之间是相加还是相减.
3 | “裂项相消法”求和的应用
第一章 数列
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S5=25.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列 的前n项和为Tn,是否存在k∈N+,使得2-2Tk= 成立 若存在,求出
k的值;若不存在,说明理由.
思路点拨
(1)由已知求出a1,d 求出an.
(2)由(1)求出 裂项相消法求出Tn 分别求出2-2Tk与 的取值范围,判
断k的值是否存在.
第一章 数列
解析 (1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,
由题意,得 解得
所以an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)不存在.理由如下:
由(1)得 =
= ,
所以数列 的前n项和Tn= 1- + - + - +…+ - =
= .
因为2-2Tk=2- =1+ ,而 为递减数列,所以1<2-2Tk=1+ ≤ .
第一章 数列
又 ∈ ,
所以不存在k∈N+,
使得2-2Tk= 成立.
第一章 数列(共14张PPT)
第一章 数列
2.2 等差数列的前n项和
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
1 | 等差数列前n项和的性质
1.若{an}是等差数列,则 也是等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}公
差的 .
2.设Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m
成等差数列,且公差为{an}公差的① m2 倍.
3.关于等差数列{an}奇数项与偶数项的性质:
若项数为2n,则S偶-S奇=nd, = ;
若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=② nan ,S奇-S偶=③ an , = .
4.两个等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn之间的关系为 = (bn≠0,T2n-1≠0).
第一章 数列
在等差数列{an}中,
1.当a1>0,d<0时,Sn有④ 最大 值,使Sn取到
最值的n可由不等式组⑤ 确定.
2.当a1<0,d>0时,Sn有⑥ 最小 值,使Sn取到最值的n可由不等式组⑦
确定.
2 | 质等差数列前n项和的最值
第一章 数列
1.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}是公差为2的等差数列. ( )
2.已知{an}是等差数列,其公差d=2,前n项和为Sn,则数列 也是等差数列,且公
差为1. ( √ )
3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4,S6成等差数列. ( )
提示:Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4-S2,S6-S4成等差数列.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第一章 数列
求等差数列(公差d≠0)的前n项和Sn的最大值或最小值的常用方法如下:(1)用
配方法转化为求解二次函数的最值问题,注意n∈N+.(2)邻项异号法:求使an≥0且
an+1≤0(或an≤0且an+1≥0)成立的n的值即可.一般地,在等差数列{an}中,当a1>0,且Sp
=Sq(p≠q)时,①若p+q为偶数,则当n= 时,Sn最大;②若p+q为奇数,则当n=
时,Sn最大.
1 | 等差数列前n项和的最值的求法
第一章 数列
在等差数列{an}中,设其前n项和为Sn,且a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
思路点拨
思路1:Sn为n的二次函数 配方法求最值.
思路2:Sn为n的二次函数 图像法求最值.
思路3:求通项公式an 求使an≥0,an+1≤0的正整数n 求Sn的最大值.
第一章 数列
解析 解法一(二次函数法):设等差数列{an}的公差为d.∵S17=S9,∴17a1+ d=
9a1+ d,
又a1=25,∴d=-2,
∴Sn=25n+ ×(-2)=-(n-13)2+169,
∴由二次函数的性质知,当n=13时,Sn取得最大值,最大值为169.
解法二(图像法):设等差数列{an}的公差为d.
易知Sn= n2+ n(d<0).
由y= x2+ x(x>0)的图像是开口向下的抛物线,最高点的横坐标为 =1
3,可得S13最大,最大值求法同解法一.
第一章 数列
解法三(邻项变号法):由解法一知d=-2,
∴an=25+(-2)×(n-1)=-2n+27.
由 解得
∴当n=13时,Sn有最大值,最大值为169.
导师点睛 在解题时可根据题设情况灵活选用求解方法,但在利用二次函数的知
识求解等差数列前n项和的最值问题时要注意项数n的取值为正整数.
第一章 数列
跟踪训练( )已知{an}是等差数列,其公差为非零常数d,前n项和为Sn,设数列
的前n项和为Tn,当且仅当n=6时,Tn有最大值,则 的取值范围是 ( C )
A.
B.(-3,+∞)
C.
D.(-∞,-3)∪
思路点拨
求出 由T6最大得 >0, <0,d<0 求出 的取值范围.
第一章 数列
解析 ∵{an}是等差数列,其公差为非零常数d,前n项和为Sn,
∴ = n+ .
∵数列 的前n项和为Tn,当且仅当n=6时,Tn有最大值,
∴
解得-3< <- .故选C.
第一章 数列
若数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,求{|an|}的前n项和Tn的关键是去掉各
项的绝对值符号.若当n≤m时,an≥0,当n≥m+1时,an<0,则Tn=a1+a2+…+an=Sn(n≤m)
或Tn=a1+a2+…+am-am+1-am+2-…-an=Sm-(am+1+am+2+…+an)=Sm-(Sn-Sm)=2Sm-Sn(n≥m+1).若
当n≤m时,an≤0,当n≥m+1时,an>0,则Tn=-a1-a2-…-an=-Sn(n≤m)或Tn=-a1-a2-…-am+am
+1+am+2+…+an=(a1+a2+…+an)-2(a1+a2+…+am)=Sn-2Sm(n≥m+1).
2 | 数列{|an|}的前n项和的求法
第一章 数列
已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2,求数列{|an|}的前n项和S'n.
思路点拨
由Sn求出an 求出an的正负项分界点 去绝对值求和.
第一章 数列
解析 ∵an=Sn-Sn-1=33-2n(n≥2),且a1=S1=31,代入上式符合,
∴an=33-2n(n∈N+).
由an>0得n≤16,
∴此数列的前16项均为正数,从第17项起以后各项均为负数,
∴对于数列{|an|},有
当1≤n≤16时,S'n=Sn=32n-n2;
当n≥17时,S'n=|a1|+…+|a16|+|a17|+…+|an|=(a1+a2+…+a16)-(a17+a18+…+an)
=S16-(Sn-S16)=2S16-Sn=n2-32n+512.
∴S'n=
第一章 数列
导师点睛 由于含绝对值的问题首先考虑去绝对值,因此要由不等式组
或 找出满足条件的临界值n.
第一章 数列(共21张PPT)
第一章 数列
§3 等比数列
3.1 等比数列
1 | 等比数列的定义
等比 数列 文字 语言 一般地,如果一个数列从第① 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于② 同一个 常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母
③ q 表示,且④ q≠0
数学 符号 在数列{an}中,如果 =q(n∈N+)或 =q(n≥2,n∈N+)成立,那么称该数列为等比数列,常数q为等比数列的公比
递推 关系 =q(n∈N+)或 =q(n≥2,n∈N+)
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则通项公式an=⑤ a1qn-1 (a1≠0,q≠0).
2 | 等比数列的通项公式
3 | 等比数列的增减性
a1的正负 a1>0 a1<0
q的 范围 01 01
{an}的 单调性 ⑥ 递减 不具有 单调性 ⑦ 递增 ⑧ 递增 不具有 单调性 ⑨ 递减
第一章 数列
如果在a与b中间插入一个数G(a,b,G≠0),使a,G,b成⑩ 等比 数列,我们称
G为a,b的等比中项.根据等比数列的定义,有 = ,即G= ± .
4 | 等比中项
5 | 等比数列的简单性质
性质1 通项公式的推广:an=am·qn-m(m、n∈N+)
性质2 若{an}是等比数列,且m+n=p+q=2k,m、n、p、q、k∈N+,则 aman=apaq=
性质3 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm
性质4 若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0), ,{ },{anbn}, 仍是等比数列
性质5 若数列{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}(a>0且a≠1)是公差为logaq的等差数列
第一章 数列
1.若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都是常数,则这个数列是等比
数列. ( )
2.若一批球形零件的直径均为10 cm,则这批零件的直径(单位:cm)构成等差数列,
但不构成等比数列. ( )
3.a,a2,a3,…,an,…成等比数列. ( )
提示:当a≠0时,a,a2,a3,…,an,…成等比数列;当a=0时,a,a2,a3,…,an,…不构成等比数
列.
4.若等比数列{an}的首项为正,则该数列的所有奇数项都为正.( √ )
提示:奇数项为a2n-1=a1·q2(n-1)=a1·(q2)n-1,所以当a1>0时,a2n-1>0.
5.若等比数列{an}的公比q>1,则该数列为递增数列. ( )
提示:当a1>0,且q>1时,数列{an}为递增数列;当a1<0,且q>1时,数列{an}为递减数列.
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第一章 数列
1.等比数列的通项公式an=a1·qn-1中含有四个量:首项a1,公比q(q≠0),项数n及
第n项an,如果知道其中的任意三个量,那么就可以由通项公式求出第四个量,称之
为“知三求一”,作适当的变形更便于灵活应用.
2.等比数列通项公式的变形:
(1)an= ·qn
这一表述可以体现等比数列与指数函数的关系.当q>0且a1≠0时,y=qx是一个指数
函数,而y= ·qx是指数型函数,因此等比数列{an}各项所对应的点在指数型函数y=
·qx的图像上,即等比数列{an}的图像是函数y= ·qx的图像上的一群孤立的点.
(2)①an=am·qn-m,表明已知等比数列{an}中的一项am及公比q,可以求出等比数列中的
任意一项an;
1 | 等比数列通项公式的变形及应用
②qn-m= (m,n∈N+),表明已知等比数列{an}中的任意两项an和am,可以求出公比q.
第一章 数列
已知数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列.求数列{an}的通
项公式.
思路点拨
思路1:设出公比为q 由a7=1表示出首项a1 依次表示出a4,a5,a6 由a4,a5+1,
a6成等差数列,求出q 求出an.
思路2:由an=a7·qn-7表示出a4,a5+1,a6 由a4,a5+1,a6成等差数列,求出q 求出an.
思路3:由a4,a5+a7,a6成等差数列得出a4+a6=2·(a5+a7) 由等比数列的性质求出q=
由an=a7·qn-7求出an.
第一章 数列
解析 解法一:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a
1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.
因为a4,a5+1,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+1),即q-3+q-1=2(q-2+1),即q-1(q-2+1)=2(q-2+
1),所以q= ,故an=a1qn-1=q-6·qn-1= .
解法二:设等比数列{an}的公比为q,由已知a7=1,得an=a7qn-7=qn-7.
取n=4,5,6,得a4=q-3,a5=q-2,a6=q-1.
又a4,a5+1,a6成等差数列,所以q-3+q-1=2(q-2+1),即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),从而q= ,故an=qn-
7= .
解法三:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列知a4,a5
+a7,a6成等差数列,有a4+a6=2·(a5+a7),即a4+a6=2q(a4+a6),因为a4,a6同号,所以a4+a6≠0,
所以q= ,故an=a1qn-1=a7qn-7=qn-7= .
第一章 数列
在解决等比数列问题的过程中,需要设未知量,为了尽量减少未知数的个数,
常采用以下技巧:
(1)当三个数成等比数列时,可设这三个数分别为 ,a,aq;
(2)当四个数成等比数列时,可设这四个数分别为 ,a,aq,aq2.
2 | 等比数列问题的设项方法与技巧
第一章 数列
已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两个数之积为1
6,第一个数与第四个数之积为-128,请求出这四个数.
思路点拨
设未知量 列方程组 求解.
第一章 数列
解析 依题意设后三个数分别为 ,a,aq,且a≠0,q≠0,
又∵前三个数成等差数列,∴第一个数为 -a.
由已知得
由①得a2=16q,③
由②得a2(2-q)=-128,④
将③代入④并整理,得q2-2q-8=0,
解得q=4或q=-2.
又a2=16q,∴q>0,∴q=4,∴a=±8.
当a=8时,所求的四个数分别为-4,2,8,32;
当a=-8时,所求的四个数分别为4,-2,-8,-32.
第一章 数列
判定或证明一个数列为等比数列时,常用的方法有以下几种:
(1)定义法: =q(q为常数且不为零,n∈N+) {an}为等比数列.
(2)等比中项法: =anan+2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列.
(3)通项公式法:an=a1qn-1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列.
证明一个数列是等比数列只能从两个方面入手:一是利用定义;二是利用等比中
项.而判定一个数列是等比数列,还可以利用数列的通项公式.
对于等比数列的定义需要理解:从第2项起,每一项与它前一项的比是同一个常数,
这个常数(不包括0)具备任意性,且是“同一个”.
3 | 等比数列的判定与证明
第一章 数列
已知数列{an}中,a1=1,an=3an-1+2(n≥2).
(1)证明:数列{an+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
思路点拨
(1)思路1:由an=3an-1+2,求出 的值 {an+1}为等比数列.
思路2:设bn=an+1 求出bn=3bn-1 {bn}为等比数列 {an+1}为等比数列.
(2)由(1)求出an+1 求出an.
第一章 数列
解析 (1)证明:证法一:由an=3an-1+2(n≥2),得an+1=3an-1+2+1=3(an-1+1)(n≥2),
又∵a1=1,
∴a1+1=2≠0,
∴ =3(n≥2),
∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.
证法二:设bn=an+1,
则an=bn-1,an-1=bn-1-1(n≥2),
代入an=3an-1+2(n≥2)得,
bn-1=3(bn-1-1)+2=3bn-1-1(n≥2),
∴bn=3bn-1(n≥2),
∴ =3(n≥2),
第一章 数列
又∵b1=a1+1=2≠0,
∴数列{bn}是首项为2,公比为3的等比数列,即数列{an+1}是首项为2,公比为3的等
比数列.
(2)由(1)得an+1=2·3n-1,
所以an=2·3n-1-1.
第一章 数列
跟踪训练1( )已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=1+kan(k≠0且k≠1).
(1)证明:数列{an}为等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
思路点拨
(1)由Sn=1+kan写出Sn-1=1+kan-1 由Sn-Sn-1得 = {an}为等比数列.
(2)由等比数列的通项公式,写出{an}的通项公式.
第一章 数列
解析 (1)证明:因为Sn=1+kan,①
所以Sn-1=1+kan-1,n≥2,n∈N+,②
①-②得,Sn-Sn-1=kan-kan-1(n≥2,n∈N+),即(k-1)·an=kan-1,所以 = (n≥2,n∈N+),为
常数,所以{an}是公比为 的等比数列.
(2)因为a1=S1=1+ka1,且k≠1,所以a1= ,所以an= · =- .
第一章 数列
在等比数列的有关问题中,常常涉及次数较高的指数运算,若按常规的解题
方法,往往要建立关于a1,q的方程组求解,这种方法运算量比较大,如果结合等比数
列的有关性质来解,会起到化繁为简的效果.
4 | 等比数列性质的应用
第一章 数列
(2020湖北武汉五校高一下期末联考)已知等比数列{an}中,a1,a101是方程x2-10x+16
=0的两根,则a21·a51·a81的值为 ( A )
A.64 B.±64
C.256 D.±256
思路点拨
利用根与系数的关系得a1·a101=16,a1+a101=10 结合等比数列的性质得a1·a101=
=16 由等比数列性质得a21·a51·a81= .
第一章 数列
解析 设等比数列{an}的公比为q.
因为a1,a101是方程x2-10x+16=0的两根,
所以由根与系数的关系可得,a1·a101=16,a1+a101=10,即a1(1+q100)=10,所以a1>0,
由等比数列的性质知,a1·a101=a21·a81= =16,
因为a51=a1·q50>0,所以a51=4,
所以a21·a51·a81=64.故选A.
易错警示
由a1·a101= =16求a51的值时,要注意结合一元二次方程中根与系数的关系排除其
中的负值.
第一章 数列
跟踪训练2( )设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,b1+b2+b3=3,b1b2b3=
-3,求{an}的通项公式.
思路点拨
设{an}的首项为a1,公比为q 由已知得log2a1+log2a2+log2a3=3,log2a1·log2a2·log2a3=
-3 a1= ,q=4或a1=8,q= 求出{an}的通项公式.
第一章 数列
解析 设数列{an}的首项为a1,公比为q.∵b1+b2+b3=3,∴log2a1+log2a2+log2a3=3,
∴log2(a1a2a3)=3,∴a1a2a3=8,∴a2=2.又∵b1b2b3=-3,
∴log2a1·log2a2·log2a3=-3,
∴log2a1·log2a3=-3,∴log2 ·log2(a2q)=-3,即(log2a2-log2q)·(log2a2+log2q)=-3,即(1-log
2q)·(1+log2q)=-3,解得log2q=±2.当log2q=2时,q=4,a1= = ,∴an= ×4n-1=22n-3;当log2q
=-2时,q= ,a1= =8,∴an=8× =25-2n.
第一章 数列(共20张PPT)
第一章 数列
3.2 等比数列的前n项和
1 | 质等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比
选用公式 Sn= Sn=
1.当等比数列{an}的公比q≠1时,其前n项和公式可以写成Sn=A-Aqn
的形式.
2.当等比数列{an}的公比q=1时,其前n项和Sn=na1是正比例函数.
2 | 公式的函数特性
1.数列{an}为等比数列,Sn为其前n项和(q≠-1或q=-1且n为奇数),则Sn,⑤ S2n-Sn ,
S3n-S2n,…仍构成等比数列,且有(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n).
2.若某数列前n项和公式为Sn=A·an-A(a≠0且a≠1,A≠0),则{an}为等比数列.
3.若数列{an}是公比为q的等比数列,则Sm+n=Sm+qm·Sn.
4.若等比数列的项数为2n,公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则 =q;若
项数为2n+1,则 =q.
3 | 等比数列前n项和的常用性质
第一章 数列
1.设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=3·2n-3,则该数列是等比数列. ( √ )
提示:等比数列前n项和公式可以写成Sn=A-Aqn的形式,所以该数列是等比数列.
2.数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和Sn= . ( )
3.数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…仍构成等比数列. ( )
提示:当公比q=-1,且项数k为偶数时,不成立.
4.等比数列{an}的公比为 ,则该数列前100项中,偶数项的和与奇数项的和的比值
为25. ( )
提示:当等比数列的项数为2n时, =q,所以 = .
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第一章 数列
1.等比数列的前n项和公式要分公比q=1和q≠1两种情况,因此当公比未知时,
要先对公比进行分类讨论,再求和.
(1)若已知数列{an}的通项公式为an=an,则{an}的前n项和Sn应当为
Sn=
(2)公式变形及应用:当q≠1时,Sn= = .
若已知a1,q和n,则用Sn= 求Sn较简便;
若已知a1,q和an,则用Sn= 求Sn较简便.
1 | 质等比数列前n项和公式的变形及应用
第一章 数列
(3)当等比数列{an}的公比q≠1时,其前n项和公式可以写成Sn=A-Aqn
的形式.
2.在等比数列{an}中,对于a1,an,n,q,Sn这五个基本量,已知其中三个量就可利用通项
公式和前n项和公式求出另外两个量.
第一章 数列
设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S4=1,S8=17,求Sn.
思路点拨
思路1:设Sn=Aqn-A 由S4=1,S8=17,求出A,q 求出Sn.
思路2:将S4=1,S8=17代入Sn= 中,求出a1,q 求出Sn.
第一章 数列
解析 解法一:设数列{an}的公比为q.由S4=1,S8=17,知q≠±1,故设Sn=Aqn-A(A≠0,q
≠±1),
∴ 两式相除,化简得q4=16,∴q=±2.
当q=2时,A= ,Sn= (2n-1);
当q=-2时,A= ,Sn= [(-2)n-1].
解法二:设数列{an}的首项为a1,公比为q,
由S4=1,S8=17,知q≠±1,
∴
两式相除并化简,得q4+1=17,即q4=16,
第一章 数列
∴q=±2.
当q=2时,a1= ,Sn= = (2n-1);
当q=-2时,a1=- ,Sn=
= [(-2)n-1].
第一章 数列
跟踪训练( )已知等比数列{an}中,a1=27,a9= ,且公比q<0,求其前8项和S8=
.
思路点拨
思路1:由a1,a9的值,求出q 由S8= 求出S8.
思路2:由a1,a9的值,求出q 由S8= 求出S8.
第一章 数列
解析 解法一:因为q8= = ,且q<0,所以q=- ,所以S8= = .
解法二:由解法一得q=- ,则S8= = = .
第一章 数列
根据等比数列的定义和前n项和公式,可推导出等比数列前n项和的若干性
质,在等比数列前n项和的有关问题中,恰当运用性质能简化运算,快速解题.
2 | 等比数列前n项和性质的应用
第一章 数列
各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于 ( B )
A.80 B.30 C.26 D.16
思路点拨
思路1:由Sn,S3n的值,求出a1,q 求出S4n.
思路2:令n=1,由S1=2,S3=14,求出q 求出S4n.
思路3:由Sn= ,推出Sn,S3n与S4n的关系 求出S4n.
思路4:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列 求出S4n.
第一章 数列
解析 解法一:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
∵S3n=14≠3×2=3Sn,∴q≠1.
由已知,得Sn= =2,①
S3n= =14,②
,得q2n+qn-6=0,即(qn+3)(qn-2)=0,
∵数列{an}的各项均为正数,
∴qn+3>0,∴qn-2=0,即q= .
∴a1= =2( -1),
∴S4n= = =2×15=30.
解法二:∵四个选项都是具体的数值,
第一章 数列
∴S4n是一个与n无关的定值,则取n=1,
由已知,得a1=S1=2,S3= =14,即q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.
∵an>0,∴q=2,∴S4= =2×15=30.
解法三:S4n= =
= +qn =Sn+qnS3n.
这个式子表示了S4n,Sn,S3n之间的关系,要求S4n,只需求qn即可.
∵S3n=(a1+a2+…+an)+(an+1+an+2+…+a2n)+(a2n+1+a2n+2+…+a3n)=Sn+qnSn+q2nSn=Sn(1+qn+q
2n),
∴ =1+qn+q2n=7,∴q2n+qn-6=0,
解得qn=2或qn=-3.
第一章 数列
∵an>0,∴qn=2,
∴S4n=Sn+qnS3n=2+2×14=30.
解法四:由Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,且Sn=2,S3n=14,得(S2n-2)2=2×(14-S2n),即
-2S2n-24=0,解得S2n=6或S2n=-4,∵an>0,∴S2n=6.
又∵ = =2,
∴S4n-S3n=Sn·23=16,
∴S4n=S3n+16=30.
解后反思 通过对比四种解题方法,可以发现:解法一思路简便,但运算量过大;解
法二采用特殊值法,使问题简单化;解法三思路略显复杂;解法四应用等比数列前n
项和的性质,简化运算,且思路清晰.
第一章 数列
已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,由这两个数列中项数相同的
项的乘积组成的新数列为{anbn},当求该数列的前n项和时,常常采用将{anbn}的各
项乘{bn}的公比q,并向后错位一项,与{anbn}中q的同次项对应相减,即可转化为特
殊数列的求和,这种求数列前n项和的方法称为错位相减法.若公比不确定,则需对
其进行分类讨论.
求和过程如下:设数列{anbn}的前n项和是Sn,等差数列{an}的首项是a1,公差是d,等
比数列{bn}的首项是b1,公比是q,则
当q=1时,Sn=b1(a1+a2+…+an)=b1· ;
当q≠1时,Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1b1+a2b1q+a3b1q2+…+anb1qn-1,
qSn=a1b1q+a2b1q2+a3b1q3+…+an-1b1qn-1+anb1qn,
∴Sn-qSn=a1b1+(a2-a1)b1q+(a3-a2)b1q2+…+(an-an-1)b1qn-1-anb1qn.
3 | “错位相减法”在数列求和中的运用
第一章 数列
由等差数列的定义知a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=d,
∴(1-q)Sn=a1b1+db1q+db1q2+…+db1qn-1-anb1qn=a1b1+db1(q+q2+…+qn-1)-anb1qn,
∵q≠1,∴Sn= +db1· .
第一章 数列
(2019山东济宁一中月考)已知数列{an}满足an=2an-1+2n-1(n∈N+,且n≥2),a4=81.
(1)求数列的前三项a1,a2,a3;
(2)数列 为等差数列,求实数p的值;
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
思路点拨
(1)由an=2an-1+2n-1及a4=81,递推出a3,a2,a1的值.
(2)利用等差数列的定义,求出p的值.
(3)求出an 错位相减法求Sn.
第一章 数列
解析 (1)由an=2an-1+2n-1(n∈N+,且n≥2)得a4=2a3+24-1=81,得a3=33,
同理,得a2=13,a1=5.
(2)由题知n∈N+,且n≥2,
∵ - = = =1- ,
又数列 为等差数列,
∴1- 是与n无关的常数,∴1+p=0,即p=-1.
(3)由(2)知,等差数列 的公差为1,
∴ = +(n-1)=n+1,
∴an=(n+1)·2n+1,
∴Sn=a1+a2+…+an
第一章 数列
=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n+n.
记Tn=2×2+3×22+4×23+…+(n+1)×2n①,
则有2Tn=2×22+3×23+4×24+…+n×2n+(n+1)×2n+1②,
①-②,得-Tn=2×2+(22+23+…+2n)-(n+1)×2n+1=4+ -(n+1)×2n+1,
∴-Tn=-n×2n+1,∴Tn=n×2n+1.
∴Sn=n×2n+1+n=n(2n+1+1).
第一章 数列(共12张PPT)
第一章 数列
§4 数列在日常经济生活中的应用
1 | 银行的两种计息方式
若P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表利息与本金的和(以下简称本利
和),则
单利 利息=本金×利率×存期.S=① P(1+nr)
复利 复利的计算公式是② S=P(1+r)n
2 | 几种存款模型
零存整 取模型 每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,则到期整取时本利和S=nx+ rx=③ x· 元
定期自 动转存 模型 储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,那么银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.若储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连存n年后,那么储户所得本利和an=④ P(1+r)n 元
第一章 数列
1.分期付款模型
(1)分期付款中,一般规定每次付款额⑤ 相同 ;每期付款的时间间隔相同.
(2)分期付款中,每月利息按⑥ 复利 计算(即上月(年)的利息要计入下月(年)的
本金中);
(3)分期付款中,贷款(或商品价值)与每期付款额在贷款付清之前,会随时间推移而
不断增值,即分期付款的总额⑦ 高于 一次性付款的总额.
2.两种分期付款的月还款数额
3 | 分期付款
等额本息 每月还款金额=[贷款本金×月利率×(1+月利率)×还款月数]÷[(1+月利率)×还款月数-1]
等额本金 每月还款金额=(贷款本金/还款月数)+(本金-已归还本金累计额)×每月利率
第一章 数列
1.同一笔钱用单利计算和复利计算的收益是一样的. ( )
2.“定期自动转存”储蓄业务的数学模型是等比数列. ( √ )
3.“零存整取”储蓄业务的数学模型是等差数列. ( √ )
4.某工厂生产总值的月平均增长率为p,则年平均增长率为(1+p)12-1. ( √ )
5.据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为b,2014年产生的垃圾量为a吨,
由此预测,该区2015年的垃圾量为a(1+b)吨,2019年的垃圾量为a(1+b)4吨.( )
6.通过测量知道,温度每降低6 ℃,某电子元件的电子数就减少一半.已知在零下34
℃时,该电子元件的电子数为3,则在室温27 ℃时,该电子元件的电子数接近3 072.
( √ )
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” .
第一章 数列
数列的实际问题是高中数学学习与研究的一个重要内容,现实生活中涉及银
行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、曲线长度、
堆积物品总数等实际问题,都需要利用数列的知识加以解决.解答数列应用问题
的核心是建立模型,其基本步骤如图所示:
| 如何用数列的知识解决实际问题
第一章 数列
随着农村经济的发展,农民进城购房已成为时尚,某房地产公司为了鼓励农
民购买自己的商品房,采取了较为灵活的付款方式,对购买10万元一套的住房在
一年内将款全部付清的前提下,可以选择以下两种分期付款方式购房.
方案一:分3次付清,购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3
次付款;
方案二:分12次付清,购买后1个月第1次付款,再过1个月第2次付款,再过1个月第3
次付款,……,购买后12个月第12次付款.
规定分期付款中,每期付款额相同,月利率为0.8%,每月利息按复利计算,即上月利
息记入下月本金.
试比较以上两种方案中哪一种方案付款总额较少.
注:计算结果保留四位有效数字.
第一章 数列
信息提取
①方案一:分3次付清,购买后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第
3次付款;②方案二:分12次付清,购买后1个月第1次付款,再过1个月第2次付款,再
过1个月第3次付款,……,购买后12个月第12次付款;③两种方案均为分期付款,通
过比较得出付款总额较少的方案.
数学建模
以两种不同的分期付款为背景,构建等比数列模型,分别求出两种方案的付款总
额,作比较即可.求解的关键:利用等量关系——付清后买卖双方的本息款额相等.
第一章 数列
解析 对于方案一,设每次付款额为x1万元,
则x1+1.0084x1+1.0088x1=10×1.00812,
解得x1= ≈3.552,
所以付款总额为3.552×3≈10.66(万元).
对于方案二,设每次付款额为x2万元,
则x2+1.008x2+1.0082x2+…+1.00811x2=10×1.00812,
则x2· =10×1.00812,
解得x2= ≈ =0.88.
所以付款总额为12×0.88=10.56(万元)<10.66(万元),
所以第二种方案付款总额较少.
第一章 数列
导师点睛 分期付款问题的关键是将现实问题转化为数列问题,化为等比数列求
和问题.在建立数学模型时,应抓住数量关系,联想数学方法适当引入参变量,将文
字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表示.
第一章 数列
跟踪训练( )中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征,测算显示
中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一,若再不实施“放开二胎”新政
策,整个社会将会出现一系列的问题.若某地区2015年人口总数为45万,实施“放
开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化:从2016年开始到2025年每
年人口比上一年增加0.5万人,从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.
(1)求新政策实施后第n(1≤n≤20,n∈N+)年的人口总数an的表达式(注:2016年为
第一年);
(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万,则需调整政策,否则
继续实施,问:到2035年后是否需要调整政策 (说明:0.9910≈0.9)
第一章 数列
思路点拨
(1)由已知确定当1≤n≤10时人口总数成等差数列 当11≤n≤20时人口总数
成等比数列 求出通项公式.
(2)求出人口总和Sn 由 求出人口平均值 确定结果.
第一章 数列
解析 (1)当1≤n≤10时,数列{an}是首项为45.5,公差为0.5的等差数列,
所以an=45.5+0.5×(n-1)=45+0.5n;
当11≤n≤20时,数列{an}是公比为0.99的等比数列,又a10=50,
所以an=50×0.99n-10.
因此,新政策实施后第n年的人口总数an(单位:万)的表达式为
an=
(2)设Sn为数列{an}的前n项和,则从2016年到2035年共20年,由等差数列及等比数
列的求和公式得S20=S10+(a11+a12+…+a20)=477.5+4 950×(1-0.9910)≈972.5,
所以新政策实施到2035年人口均值为 ≈48.63<49,故到2035年后不需要调整
政策.
第一章 数列