江苏省某重点中学九年级数学上册《一元二次方程》章后复习

【知识回顾】
1.一元二次方程的概念：形如：
2.一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：
3.一元二次方程的根的判别式：
（1）当 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 时，方程有两个相等的实数根；
（3）当 时，方程没有实数根。
4.用方程解决实际问题：略
【基础训练】
一、选择题（每题3分，共30分）
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.x+2y=1 B.2x(x-1)=2x2+3 C. 3x+=5 D.x2-2=0
2. 把方程x2-8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m、n的值是（ ）
A.4，13 B.-4，19 C.-4，13 D.4，19
3. 方程x(x+3)=x+3的解是 ( )
A. x=1 B. x1=0，x2=-3 C. x1=1，x2=3 D. x1=1， x2=-3
4. 已知3是关于x的方程x2-2ax+6=0的一个解，则2a的值是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
5. 已知两圆的半径R、r分别为方程x2-5x+6=0的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是( )
A．外离 B．内切 C．相交 D．外切
6.已知直角三角形的两条边长分别是方程x2-14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A.6或8 B.10或2 C.10或8 D.2
7. 若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为（ ）
A.± B.±1 C.± D.±
8.使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长，设墙的对边长为x m，可得方程( )
A. x (13－x) =20 B.x·=20
C. x (13－ x ) =20 D. x·=20
9.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a、b、c满足a+b+c=0和a-b+c=0，则方程的根是（ ）
A.1，0 B.-1，0 C.1，-1 D.无法确定
10. 某市为了改善城市容貌，绿化环境，计划过两年时间，绿地面积增加44％，这两年平均每年绿地面积的增长率是 ( )
A.19％ B.20％ C.21％ D.22％
备选题
1. 用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为 ( B )
A. B.
C. D.
2.已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0的一个根为0，则m的值为（ B ）
A．1 B．-3 C．1或-3 D．不等于1的任意实数
3. 已知2y2+y-2的值为3，则4y2+2y+1的值为（ B ）
A．10 B．11 C．10或11 D．3或11
二、填空题 (每题3分，共30分)
11. 写出一个一根为2的一元二次方程_________ _____.
12.关于x的一元二次方程3x(x-2)=4的一般形式是 .
13．方程2x2=-4x的解是 .
14. 当x＝_ _ 时，代数式3－x 和－x2+3x 的值互为相反数
15. 当y= 时，y2-2y的值为3.
16. 关于的一元二次方程mx2+x+m2+m=0有一个根为零，那m的值等于 .
17. 若一个等腰三角形三边长均满足方程x2-11x+18=0，则此三角形的周长为_____．
18. 把一根长度为14cm的铁丝折成一个矩形，这个矩形的面积为12cm2，则这个矩形的对角线长是_______cm.
19. 在正数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2，根据这个规则，方程(x-2)*5=0的解为 .
20. 若a为方程x2+x-1=0的解，则a2+a+2009= .
备选题
1. 方程2x2-1=x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
2，- ，-1
2. x2+6x+ =(x+ )2. 9，3
3. 两个连续自然数的平方和比它们的和的平方小112，那么这两个自然数是__________.
7和8
4. 如果（a+b-1）（a+b-2）=2，那么a+b的值为 ．
0或3
三、解答题（60分）：
21. 按要求解下列方程（每题4分，共16分）
（1）（x-1）2=4(直接开平方法) （2）x2 —4x+1=0（配方法）
（3）3x2+5(2x+1)=0（公式法） （4）3(x-5)2=2(5-x) （因式分解法）
22. （6分）解方程x2=4x+2时，有一位同学解答如下：
解：∵a=1，b=4，c=2，b2-4ac=42-4×1×2=8，
∴
即x1=-2+ ，x1=-2-.
请你分析以上解答有无错误，如有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程。
23.（8分）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。
（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；
（2）从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？
24.（6分）对于二次三项式x2－10x+36，小聪同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值都不可能等于11．你是否同意他的说法？说明你的理由．
25. （8分）合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？
26. （8分） 阅读材料，解答问题：
为解方程 (x2-1)2-5(x2-1)+4=0，我们可以将x2-l看作一个整体，然后设x2-l=y，那么原方程可化为y2-5y＋4=0①，解得y1 =1，y2=4．当y1=l时， x2-l=1．所以x2 =2．所以x=±；当y=4时，x2-1=4．所以x2 =5．所以x=±，故原方程的解为x1=，x2=-，x3=，x4=；上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．请利用以上知识解方程：x4-x2-6＝0．
四、创新题（10分）
根据多项式乘法法则可知
(x+1)(x+2)=x2+3x+2；（x-3）(x+4)=x2+x-12；（3）（x+p）(x+q)=x2+(p+q)x+pq.
（1）根据上述计算，你能直接说出下列方程的解吗？
①x2+3x+2=0，
②x2+x-12=0，
③x2+(p+q)x+pq=0，
(2)若已知（x-m）(x-n)=x2+bx+c，则方程x2+bx+c=0的解是 .
(3)仿照上面的方法，你能求出下列方程的解吗？
①x2-x-6=0；②x2+11x+30=0
备选题
1. 某旅游景点为了吸引游客，推出的团体票收费标准如下：如果团体人数不超过25人，每张票价150元，如果超过25人，每增加1人，每张票价降低2元，但每张票价不得低于100元，阳光旅行社共支付团体票价4800元，则阳光旅行社共购买多少张团体票？
∵150×25＝3750<4800
答案：∴购买的团体票超过25张.
设共购买了x张团体票.
由题意列方程得
x2－100x＋2400＝0
解得x1＝60x2＝40
当x1＝60时，不符题意，舍去
x2＝40符合题意∴x＝40
答：共购买了40张团体票.
2. 如图7， 东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园， 矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆. 设矩形的宽为，面积为.
(1) 求与的函数关系式，并求自变量的取值范围;
(2) 生物园的面积能否达到210平方米?说明理由.
答案：依题意，得矩形的长为40-2x.
∴.
又，∴.
（2）若能达到，则令y＝210.得.
即.
.
∴该方程无实数根.
所以生物园的面积不能达到210平方米.
参考答案：
一、1.D 2.A 3.D 4.A 5.B 6.B 7.C 8.B 9.C 10.B
二、11.答案不唯一，如2x2=8等 12. 3x2-6x-4=0 13. -2或0 14.-1或3 15.3或-1 16. -1 17.6，20，27 18.5 19.7 20.2010
三、21.（1）开平方，得x-1=±2，
即x-1=2或x-1=-2，
所以x1=3，x2=-1.
（2）移项，得x2-4x=-1
配方，得x2-4x+4=4，即（(x-2)2=3
开平方，得x-2=±
∴x1=2+，x2=2+.
（3）方程化为一般形式，得3x2+10x+5=0，
其中a=3，b=10，c=5
b2-4ac=102-4×3×5×=40
∴，
∴，
（4）移项，得3(x-5)2+2(x-5)=0，
分解因式，得（(x-5)[(3(x-5)+2)]=0，即（x-5）(3x-13)=0
∴x-5=0或3x=13=0
∴x1=5，x2=
22.这个解法是不正确的，运用公式时应先化为一般形式，在用公式.
将方程化为一般形式x2-4x-2=0
因为a=1,b=-4,c=-2，b2-4ac=(-4)2-4×1×(-2)=24＞0.
∴.
∴，.
23. （1）设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x,根据题意得一元二次方程
11（1+x）2=18.59，解这个方程，得 x1=0.3=30%,x2=-2.3（不合题意，舍去）
答：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为30%.
（2）11+11×（1+0.3）+18.59=43.89（万元）
答：从2009年到2011年，该中学为三年新增电脑共投资43.89万元。
24.我不同意他的说法，理由是：
当x2－10x+36=11时，x2－10x+25=0，即（x－5）2=0，解得x1=x2=5
25. 设每件童装应降价x元，则
，解得x1=20，x2=10.
因为要尽快减少库存，所以x=20.
答：每件童装应降价20元.
26.设x2=y，则原方程可化为y2-y-6=0，解得y1=3，y2=-2
所以x2=3，解得x=
四、创新题
(1)①x1=-1，x2=-2；②x1=3，x2=-4；③x1=-p，x2=-q；
(2)x1=m，x2=n；
(3) ①原方程可化为(x-3)(x+2)=0，解得x1=-1，x2=-2；
②原方程可化为(x+5)(x+6)=0，x1=-6，x2=-5.
26.
22.（5分）试证明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程；

23.（5分）阅读下面材料，再解方程：
解方程
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2 – x –2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合题意，舍去）
（2）当x＜0时，原方程化为x2 + x –2=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2∴原方程的根是x1=2, x2= - 2
（3）请参照例题解方程
四.耐心做一做(14分)
24.（7分）百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？
25.（7分）如图, 在△ABC中, ∠B = 90°, AB=6cm，BC=12cm，点P从点 A 开始沿AB边向点B以 1cm / s 的速度移动, Q 从点B开始沿 BC 边向C点以 2 cm / s 的速度移动, 如果点P.Q分别从A.B同时出发, 几秒钟后, △PBQ 的面积等于8 cm2 ?
参考答案
一.精心选一选：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
B
D
C
A
A
B
二.细心填一填：
11.3x2-6x-4=0 ； 12.- ； 13.x1=0，x2=-1，x3=2； 14.3或-1； 15.k=4,另一根为-3 ； 16.(x-4)(x+5)=0； 17.-3或1； 18.2(1+x)+2(1+x)2=8 19.； 20.8；
三.用心解一解：
21.（1）x1=0，x2=； （2）无实数根； （3）y1=-，y2=； （4）y=；
22.∵a2-8a+20=（a-4）2+4＞0
∴无论a取何值，方程都是一元二次方程；
23.当x≥1时，x2-x+1-1=0，得x1=1，x2=0（不合题意，舍去）；
当x＜1时，x2+x-1-1=0，得x1=-2，x2=1（不合题意，舍去）；
∴原方程的根为x1=1，x2=-2；
四.耐心做一做
24.设应降价x元，得：（40-x）（20+2x）=1200，解得x1=20，x2=10（不合题意，舍去）；
25.设运动的时间为x秒，得：2x（6-x）=8×2（0≤x≤6），解得：x1=2，x2=4；