人教 A 版 高中数学选择性必修第一册 3.3.1 抛物线及其标准方程 教学设计

教材：人教 A 版高中数学选择性必修第一册
单元教学整体设计：3.3 抛物线
一、单元内容及其解析
内容
本单元内容包括抛物线及其标准方程、抛物线的简单几何性质.抛物线的研究是类比椭圆、双曲线的研究方法进行的，本单元内容框图如下：
本单元建议教学用时为 3 课时，其中，抛物线及其标准方程，1 课时；探究抛物线的简单几何性质，1 课时；抛物线的标准方程及其简单几何性质的综合运用，1 课时.
内容解析
内容的本质：本单元的内容是在前面学习椭圆和双曲线的基础上，通过类比椭圆、双曲线的研究过程与方法，先抽象抛物线的几何特征，然后通过坐标法建立它的标准方程，再利
用方程研究它的几何性质，并利用这些性质解决简单的实际问题.本单元是坐标法的进一步运用，所要解决的仍然是解析几何的“两个基本问题”：建立曲线的方程，通过方程研究曲线的性质.
“抛物线的概念及标准方程”部分，首先通过回顾椭圆、双曲线中例题提出的轨迹定义： 动点 M 到定点 F 的距离与到定直线l （不过点 F ）的距离之比为 k ，当0 < k < 1 时，点 M 的轨迹是椭圆；当 k > 1时，点 M 的轨迹是双曲线，自然的提出问题“当 k = 1时，点 M 的轨迹会是什么形状？”在信息技术的帮助下，发现抛物线的几何特征，进而获得抛物线的概念.
然后根据抛物线的对称性建立焦点在 x 轴的坐标系，改变原点的位置，建立不同的坐标系，
再进行代数运算得到抛物线的方程，通过对比，让学生自己选择合适的方程，从而得焦点在
x 轴正半轴的抛物线的标准方程.再充分运用坐标法，对方程的形式进行转化，获得焦点分
别在 x 轴负半轴、 y 轴正半轴、 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程，针对标准方程加以简单
运用.“抛物线的简单几何性质”部分，在明确要研究的性质的基础上，通过抛物线的方程研究抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等，抛物线的这些性质也与椭圆、双曲线的性质类似. 最后再利用标准方程和几何性质解决简单的实际问题，尤其是过焦点的直线或弦的问题.
蕴含的思想方法：本单元最重要、最根本的数学思想方法是坐标法.借助信息技术探究
抛物线的几何特征，同时用坐标法得到抛物线的标准方程，并利用方程探究几何性质.在此过程中，数形结合、类比、特殊化与一般化、转化与化归等思想方法发挥着重要作用.
知识的上下位关系：前面两节学生刚刚学习过椭圆、双曲线的相关内容，有了初步研究
圆锥曲线的基础，即：首先是概念抽象的过程，其次是在探究、明确其几何特征的基础上， 再利用几何特征建立坐标系、求出标准方程，最后通过方程，运用代数方法进一步认识圆锥 曲线的性质以及它们的位置关系.抛物线的研究过程类比椭圆、双曲线的研究方法，这也进 一步巩固了圆锥曲线的学习和研究方法.
育人价值：本单元的学习有助于学生学会合乎逻辑地、有条理地、严谨精确地思考和解
决问题，有助于发展学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象等方面的素养.
教学的重点：基于以上分析，确定本单元的教学重点：抛物线的几何特征，抛物线的标
准方程，以及它的简单几何性质.
二、单元目标及其解析
单元目标
通过类比椭圆、双曲线的研究方法，经历从问题情境中抽象出抛物线的概念并通
过坐标法得到标准方程的过程，发展学生数学抽象、数学建模等核心素养.
经历从抛物线的标准方程探究其简单几何性质的过程，发展学生逻辑推理、数学运算等核心素养.
了解抛物线的简单应用.
目标解析
达成上述目标的标志是：
通过回顾椭圆、双曲线统一定义这一问题展开探究.在绘制抛物线的过程中，认识
抛物线的几何特征，给出抛物线的定义.能通过建立适当的坐标系，根据抛物线上的点满足的几何条件列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简所列出的方程，得到抛物线的标准方程.
能在直观认识抛物线的图形特点的基础上，用抛物线的标准方程推导出抛物线的
范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质.能用抛物线的定义、标准方程及简单几何性质解决相关的问题.
能通过将抛物线的实际问题转化为抛物线的数学问题，运用抛物线的定义、标准方程及简单几何性质解决有关抛物线的问题，发展数学建模的核心素养.能类比用直线方程和椭圆的标准方程研究直线与椭圆的位置关系的方法、用直线方程和双曲线的标准方程研究直线与双曲线的位置关系的方法，探究直线与抛物线的位置关系，进一步体会用方程研究曲
线的思想方法.
三、单元教学问题诊断分析
学生在前面两节中用坐标法研究了椭圆、双曲线的相关内容，对用坐标法研究圆锥曲线的基本思路与方法已有了解，但还不善于运用坐标法，在学习中可能会遇到如下难点：
学生对抛物线的认知基础是对二次函数图象的直观感知，但是并不知道抛物线的 几何特征.确定抛物线的几何要素与确定椭圆与双曲线的几何要素略有不同.相比而言，椭圆 与双曲线的几何特征在具体情境中较为明显，而抛物线的几何特征在具体情境中较为隐蔽，学生不容易发现.借助信息技术探究抛物线的图象，并研究它的几何特征，从而得到抛物线 的定义.
类比椭圆、双曲线标准方程的研究过程，如何建立适当的直角坐标系得到抛物线的标准方程.对此，教学中应明确“适当”的“标准”是使所得方程简单，能较好地反映曲线的性质；“适当”的“方法”是尽可能使曲线关于原点和坐标轴对称，在此基础上建立“适当的直角坐标系”.由于抛物线形状的特殊性，不完全与椭圆、双曲线相似，可根据原点在不同位置建系得到的方程，让学生从中选择最为合适的方程，再推广到焦点在其他不同位置时的标准方程.
抛物线性质中的范围、对称性、顶点、离心率都可以类比椭圆、双曲线的性质得到.抛物线性质应用中，过焦点的直线或弦是经常涉及的问题，如在光学、抛物拱中的应用，这些性质运用与椭圆、双曲线略有不同.
基于以上的分析，确立本节教学中抛物线几何特征的发现、抛物线标准方程的推导及其
性质的运用为本节的教学难点.
四、单元教学支持条件分析
在本单元的教学中，应充分发挥信息技术的作用，特别在探究抛物线的定义、抛物线的简单几何性质等问题中都起到重要的作用.
五、单元教学设计
本单元共 4 课时具体分配如下：
抛物线及其标准方程，1 课时; 抛物线的简单几何性质，2 课时
教材：人教 A 版高中数学选择性必修第一册课题：3.3.1 抛物线及其标准方程
授课教师：安徽省合肥市第一中学 陈黎妮
一、课时教学内容与内容解析
内容
抛物线的概念、标准方程及其简单应用.
内容解析
抛物线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹，其中的定点、定直线(不经过定点)是确定抛物线的几何要素，这一概念反映了抛物线的几何特征.根据抛物线的概念，类比椭圆、双曲线标准方程的获得过程，通过建立适当的平面直角坐标系，用坐标
法推导抛物线的标准方程.由于焦点的位置不同，抛物线标准方程的形式也不同.此时，要根据抛物线焦点的位置，充分运用坐标法，对方程的形式进行转化，获得焦点分别在 x 轴负半轴、 y 轴正半轴、 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程.通过抛物线的标准方程，结合抛物线
的概念，为下节课研究抛物线的几何性质及其简单应用，特别是过焦点的直线的有关性质做好铺垫.上述过程体现了研究圆锥曲线的一般过程.
本节内容包含的核心思想方法还是坐标法，这在结合抛物线的几何特征，推导抛物线标准方程的过程中得到了充分展示.另外还有多种研究方法，例如，类比椭圆、双曲线的研究过程与方法；在观察图形特征的基础上，形成抛物线的概念；在坐标系中研究焦点位置不同的抛物线得到的标准方程不同，用到了分类讨论的思想；求解教科书中的两个例题时使用了待定系数法；对二次函数的图象为什么是抛物线的研究用到了化归与转化思想；等等.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：抛物线的概念和标准方程的建立.
二、课时教学目标与目标解析
课时教学目标
经历从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义的过程，发展直观想象素养.
经历类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准
方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.
目标解析
达成上述目标的标志是：
能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几
何特征，形成抛物线的概念.
能认识建立抛物线标准方程的过程与建立椭圆、双曲线标准方程的过程是类似的. 能通过建立适当的坐标系，根据抛物线上的点满足的几何条件列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简列出的方程，得到抛物线的标准方程；并能用它解决简单的问题，进一步认识获得曲线的方程的方法.
三、课时教学问题诊断分析
数学教学是数学思维活动的教学，而思维又是从问题开始的，所以本节课在总体上采用“问题驱动”策略，通过精心设计一个个问题，激发学生的求知欲，并通过观察、分析、动手操作、自主探究、合作交流等活动，领悟定义的本质内涵，体会解决问题过程中思路的形成过程，感悟蕴涵其中的数学思想方法.同时借助多媒体辅助教学，增加教学的直观性，提高课堂教学效率.
学生对抛物线的认知基础是对二次函数图象的直观感知，但是并不知道抛物线的几何特征.确定抛物线的几何要素是一个定点和一条定直线，这与确定椭圆与双曲线的几何要素不同.相比而言，椭圆与双曲线的几何特征在具体情境中较为明显，而抛物线的几何特征在具体情境中较为隐蔽，学生不容易发现.
基于以上分析，确定本节课的教学难点是抛物线几何特征的发现.
四、教学支持条件分析
基于教学问题诊断分析，可使用信息技术工具获得抛物线，通过坐标以及距离的变化认识抛物线的几何特征，引导学生在操作中观察，在观察中分析曲线的几何特征.
五、教学方法与教学手段
问题引导教学法、启发式教学、小组合作学习.
六、教学过程设计
引导语：同学们好！前面两节我们学习了椭圆与双曲线的概念、标准方程以及它们的简
单几何性质，而抛物线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，本节课我们将要学习抛物线及其
标准方程：
椭圆
椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质
圆锥曲线
双曲线
5
双曲线及其标准方程双曲线简单几何性质
其实在我们的生活中存在大量抛物线的例子,比如：投篮运动中篮球运动的轨迹、公园中遇到的拱桥，它的外观就是抛物线、卫星天线的曲面和轴截面的交线也是一条抛物线.抛物线的严格定义是什么？今天我们一起探究.
设计意图：从生活的例子出发，让学生直观感知抛物线的形状，也提示学生生活中处处有数学，引发学生的共鸣.
（一）创设情境、提出对象
问题 1：通过前面的学习可以发现，如果动点 M 到定点 F 的距离与到定直线l （不过点
F ）的距离之比为 k ，当0 < k < 1 时，点 M 的轨迹是什么？当 k > 1时，点 M 的轨迹又是什么？
师生活动：教师出示问题 1，利用信息技术工具展示动图，通过椭圆、双曲线标准方程
的推导过程的变形得到：与定点和定直线之比为常数c.其中常数大于 0 小于 1 时为椭圆；常
a
数大于 1 时为双曲线.
追问：当 k = 1时，点 M 的轨迹会是什么形状？我们能否借助于信息工具来研究一下？
设计意图:从学生已经学习过的知识出发，激发学生探究问题的兴趣;利用已学的椭圆、双曲线标准方程推导过程的变形，带领学生由已知问题过渡到未知情形，引出本节课内容： 抛物线.
（二）探究新知、构建概念
探究：利用信息技术作图.如图,
F 是定点， l 是不经过点 F 的定直线， H 是直线l 上任
意一点，过点 H 作 MH ^ l ,线段 FH 的垂直平分线 m 交 MH 于点 M .拖动点 H ，观察点 M
的轨迹，在你熟悉的图形中有与此类似的吗 你能发现点 M 满足的几何条件吗
师生活动:教师出示问题,引导学生分析问题中的几何元素及其相互关系，并利用信息技术工具进行操作，拖动点 H ,观察点 M 的轨迹及相关数据的变化规律.
追问:（1）动点 M 是如何获得的？
线段 FM 和线段 MH 的几何意义分别是什么？
变化的量有哪些？变化顺序如何？变化中是否存在不变的关系？
师生活动:三个追问是让学生在利用信息技术工具操作的过程中从思维层面对问题 1 进行分析.
对于追问（1）,学生分析与点 M 相关的点与直线，发现点 M 是定直线l 的垂线 MH 与线段 FH 的垂直平分线 m 的交点，其中点 H 在直线l 上运动，随之产生了动点 M .
对于追问（2），学生分析出线段 FM 是点 M 与定点 F 间的距离，线段 MH 是点 M 到定直线l 的距离.教师一定要让学生说出定点 F 和定直线l ,而不仅仅是点 F 和直线l ，只有这
样，学生的思维活动才能聚焦到确定抛物线的几何特征上来.
对于追问（3），学生应在分析前两个追问的基础上梳理变化的量及其变化顺序，可以发
现 FM 和 MH 的大小随点 M 的变化而变化，但是始终有 FM
= MH .
当直线l 经过点 F 时，满足到定点和定直线距离相等的点的轨迹是什么？
师生活动:对于追问（4），学生发现此时轨迹是过定点 F 与定直线垂直的一条直线.也就明白了为什么抛物线的定义中要求定直线l 不经过定点 F .
在上述基础上，给出抛物线的概念.
抛物线定义：我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线l （ l 不经过点 F ）的距离相
等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.
设计意图：通过对问题 1 的探究及其四个追问，引导学生发现确定抛物线的几何要素， 认识抛物线的几何特征，抽象得出抛物线的概念，发展学生的数学抽象素养.
学生活动一：动动脑,通过抛物线的定义，能不能在右图所给的图形中描出一条抛物线呢？
设计意图:圆上的点到圆心的距离都相等，平行线上的点到定直线的距离都相等，所以可以借助此图形找到一些到定点和到定直线距离
都相等的点，进而描出一条抛物线. 通过这个练习，让学生进一步熟悉抛物线的定义，掌握定义的本质.
（三）探究新知、表示概念
问题 2：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为对于下图中的抛物线，我们如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式更简单？
F
师生活动：学生观察抛物线形状，教师引导学生直观发现抛物线的对称性，建立平面直角坐标系，自主推导抛物线的方程.一般来说，会有以下三种情况:
学生活动二：
方 案 一 方 案 二 方 案 三
展示学生所求的三种不同形式的抛物线方程：设点 F 到直线l 的距离为 p( p > 0) ，
方案一： y2 = 2 p(x -
p ) ，方案二： y2 = 2 px ，方案三： y2
2
= 2 p(x +
p ) .
2
追问:（1）类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，每个方程的推导过程是否满足抛物线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系？
三种不同形式的抛物线方程哪个更简单？为什么？
三种不同形式的抛物线方程是否有联系？
师生活动:当学生思考问题 2 时，一般会以过焦点与准线垂直的直线为x轴，坐标系的原点可以选在定点 F 、线段 FK 的中点、定直线 l 上三种情况.无论是哪一种情况，追问（1）
是必不可少的步骤，也容易被学生忽略.当学生分别得到自己推出的方程后，教师提出追问
，要求学生对它们进行比较，以确定哪个方程更适合作为抛物线的标准方程，之后， 教师再提出追问（3），从联系的角度让学生思考三种不同形式的抛物线方程怎样互相转换（平移变换）.
在学生充分思考与推导的基础上,对比分析三种不同形式的抛物线方程及其联系，由学
生确定将 y2 = 2 px( p > 0) 作为抛物线的标准方程，同时写出其焦点坐标
p
F ( , 0) 2
和准线方程
x = - p .
2
设计意图：通过问题 2 及其三个追问，注重学生思维的发生点，让学生类比椭圆与双曲线标准方程的推导方法，自主推导抛物线的标准方程，体验类比方法，提升数学运算素养.
追问 2：类比建立椭圆和双曲线标准方程时，选择不同的坐标系得到不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
学生活动三:在已获得抛物线的方程 y2 = 2 px( p > 0) 的基础上，让学生类比椭圆、双曲
线标准方程的不同形式，再分别获得开口向左、上、下的抛物线的标准方程，确定相应的焦点坐标和准线方程，并将结论填写在下面的表中.
图 形 标准方程 焦点坐标 准线方程
（四）探究新知、辨析概念
思考：（1）你能说明二次函数 y = ax2 (a
0) 的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点
坐标、准线方程.
（2）一般的二次函数y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)的图象是抛物线吗？
师生活动:对于追问（1），教师引导学生从抛物线的标准方程分析，选择将
y = ax2 (a
0) 变形为 x2 = 1 y ，求焦点坐标、准线方程.对于追问（2）学生自然想到平移a
的方式来获得一般二次函数的图象任然是抛物线.
设计意图:通过思考中两个追问，将初中学习的二次函数图象联系起来，让学生认识到二次函数的图象是抛物线的理论原因，体现知识的完整性，有助于形成良好的知识网络.
（五）理解概念、初步应用
例 1 （1）已知抛物线的标准方程是 y2 = 6x ，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点是 F (0, - 2) ，求它的标准方程.
师生活动：学生根据抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，根据焦点坐标、准线方程、焦点到准线距离求其标准方程.
设计意图：无论是由抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程，还是由抛物线焦点坐标或准线方程求其标准方程，正确认识抛物线的标准方程以及方程中 p 的意义都非常关键.
p 是抛物线的唯一特征量，决定抛物线的焦点坐标和准线方程.
（六）理解概念、应用升华
应用：一种卫星接收天线如下图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，
如图.已知接收天线的口径(直径)为 4.8m,深度为 1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
师生活动：教师引领学生读懂题意，启发学生从给出的实物图中抽象出数学图形，建立如图所示的坐标系，用待定系数法求解.
设计意图：让学生运用抛物线及其标准方程解决实际问题，经历实际问题转化为数学问题，解决数学问题，进而解决实际问题的过程.
（七）总结提高、形成结构
1、教学过程：回顾本节课教学流程，先从椭圆和双曲线的统一定义中引出抛物线的定
义，通过几何画板探究动点的轨迹，找到抛物线上的点满足的几何特征，得到定义.再建立合适的坐标系得到抛物线的标准方程，最后在数学问题和实际问题中对抛物线加以应用
2、知识方法：在整个学习过程中，我们认知了抛物线的定义，焦点和准线的概念.学习了四种抛物线的标准方程以及焦点坐标、标准方程.
3、思想感悟：学习过程中，运用了数形结合、转化化归、特殊一般等数学思想.
师生活动：引导学生回顾本节课所学知识和学习过程.
设计意图:让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法.
（八）布置作业、应用迁移
基础巩固 教科书习题 3.3 第 1、2、3、4 题
素养提升 抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱离水面 2m，水面宽 4m.试建立适
当坐标系，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.
拓广探索 类比椭圆、双曲线的简单几何性质，探究抛物线的简单几何性质.
（九）教学设计板书
抛物线及其标准方程
抛物线的定义 抛物线的标准方程 应用 多媒体投影区 例 1（1） （2） 例 2
七、目标检测设计
A 组 适用普通高中学生
写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1） x2 = 2 y
； （2） 2 y2 + 5x = 0
； （3） x2 + 8 y = 0 .
设计意图:巩固学生对抛物线标准方程、 p 、焦点坐标以及准线方程的认识.
如果抛物线 y2 = ax 的准线是直线 x = 1 ,那么它的焦点坐标为 .
设计意图:巩固学生对抛物线标准方程、 p 、焦点坐标以及准线方程的认识.
3.已知抛物线 y2 = 2 px 的准线与圆(x - 3)2 + y2 = 16 相切,则 p 的值为 .
设计意图:学生由抛物线的标准方程得到准线方程，再进一步研究直线与圆相切的情形，属于知识综合问题.
4.分别求符合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）经过点(- 3, - 1) ；
（2）焦点为直线3x - 4 y - 12 = 0 与坐标轴的交点.
设计意图:考查学生对抛物线标准方程几种形式的理解，运用待定系数法求解.
B 组 适用重点高中学生
抛物线 y2 = 12x 上与焦点的距离等于 8 的点的横坐标是 .
设计意图:考查学生对抛物线定义的理解.
一个动圆的圆心在抛物线 y2 = 8x 上,且动圆恒与直线 x + 2 = 0 相切,则动圆必过定点 .
设计意图:考查学生对抛物线的焦点和准线位置关系的理解.
已知抛物线C : y2
x2
= 2 px( p > 0) ,它的准线过双曲线 M : a2 -
y2
b2 = 1(a > 0, b > 0) 的左焦点,且
抛物线C 与双曲线 M 交于点 ,求抛物线C 和双曲线 M 的方程.
2
设计意图:考查学生对抛物线的标准方程和双曲线的标准方程的掌握情况.
平面内动点 M 到定点 F (1, 0) 的距离比到 y 轴的距离大 1,求动点 M 的轨迹方程.
设计意图:考查学生求轨迹方程的方法.