2021 ～ 2022 年度
湘鄂冀三省七校秋季期末联考
高二数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C C B B D B
二、选择题
题号 9 10 11 12
答案 CD BC ABD AC
三、填空题
13．3x y 0 14．2 3
15 3
5 1
． ,1 16． ,1 4 2
四、解答题
17．解(1)当截距都不为 0，则斜率 a 1 1时，即 a 0，
l : x y 3 0符合题意；……………………………………………………………………（2 分）
当截距都为 0，即纵截距 a 3 0时，即 a 3，
l : 4x y 0符合题意；………………………………………………………………………（4 分）
故 a 3或 a 0………………………………………………………………………………（5分）
（2）因为 a 1 x y 3 a 0 a R ，即 y a 1 x 3 a，
a 1 0
若 l不经过第三象限，则 ，……………………………………………………（7 分）
3 a 0
解得 1 a 3………………………………………………………………………………（9分）
故实数 a的取值范围为 1 a 3 .…………………………………………………………（10 分）
18．解（1）由 an2+2an＝4Sn+3，可知 an+12+2an+1＝4Sn+1+3
两式相减得 an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，
即 2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，………………………………………………………………（3 分）
答案第 1页，共 4页
∵a12+2a1＝4a1+3，
∴a1＝﹣1（舍）或 a1＝3，
则{an}是首项为 3，公差 d＝2的等差数列，
∴{an}的通项公式 an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：…………………………………………（6 分）
（注明：如果上述用的“n-1”要讨论 n=1 的情况否则要扣分）
(2)∵an＝2n+1，
1 1 1
∴bn
1 1
a a 2n 1 2n 3 2（ ），………………………………（8 分）n n 1 2n 1 2n 3
1 1 1 1 1 1 1
∴数列{bn}的前 n项和 Tn （ ）2 3 5 5 7 2n 1 2n 3
1 1 1 1 1
（ ） ．…………………………………………………………（12 分）
2 3 2n 3 6 4n 6
19．解(1)由已知可得， BF PF ， BF EF ，又 PF EF F ，所以 BF 平面 PEF .
又BF 平面 ABFD，所以平面 PEF 平面 ABFD；……………………………………（5分）
（2）作 PH EF，垂足为H .由（1）得， PH 平面 ABFD .
以H为坐标原点，HF的方向为 y轴正方向， BF 为单位长，建
立如图所示的空间直角坐标系H xyz .
由（1）可得，DE PE .又DP 2，DE 1，所以 PE 3 .又PF 1
EF 2，故 PE PF .
PH 3 3可得 ,EH .
2 2
则H 0,0,0 ,P 0,0, 3 3 ,D 1, , 0
3
,DP 1, ,
3 3
, HP 0,0, 为平面 ABFD的法
2 2 2 2 2
向量.
设DP与平面 ABFD所成角为 ，
3
则 sin HP DP 4 3 .
HP DP 3 4
所以DP与平面 ABFD 3所成角的正弦值为 ．…………………………………………（12 分）
4
20．解（1）设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2 b3 12，得
b1 q q2 12，而b1 2，所以 q2 q 6 0 .又因为 q 0，
答案第 2页，共 4页
解得 q 2 . n所以，bn 2 .…………………………………………………………………（3分）
由b3 a4 2a1，可得3d a1 8① .由 S11 11b4 ，可得 a1 5d 16②，联立①②，解得
a1 1,d 3，由此可得an 3n 2 .
所以，{a nn}的通项公式为 an 3n 2，{bn}的通项公式为bn 2 .………………………（6 分）
（2）设数列{a2nbn}的前 n项和为Tn，由 a2n 6n 2，有
Tn 4 2 10 2
2 16 23 6n 2 2n，
2T 4 22 10 23 16 24n 6n 8 2n 6n 2 2n 1，
上述两式相减，得 Tn 4 2 6 2
2 6 23 6 2n 6n 2 2n 1
12 1 2 n
4 6n 2 2 n 1 3n 4 2 n 2 16 .
1 2
n 2
得Tn 3n 4 2 16 .
所以，数列{a2nbn}的前 n项和为 3n 4 2n 2 16………………………………………（12 分）
PA
21．解（1）设 P x, y 1，则由 PB 2可得 PB
2 4 PA 2，
即 x 4 2 y2 4[ x 2)2 y2 2 ，整理得点 P的轨迹方程为： x 4 y2 16；……（5 分）
2 2
（2）假设存在 B a,b 满足条件，即有 PB 4 PA ，…………………………………（6 分）
设P(x y 2 20， 0 )，整理可得3x0 3y0 48 a x0 2by0 144 a2 b2 0①，
2 2
又因为点 P在圆C上，则 x0 y0 8x0②，
将②代入①可得 24 2a x 2 20 2by0 144 a b 0，…………………………………（9分）
24 2a 0
由题可得 2b 0 ，解得 a 12，b 0，……………………………………（11 分）
144 a2 b2 0
所以 B 12,0 ，
故存在点 B 12,0 满足条件.………………………………………………………………（12 分）
答案第 3页，共 4页
22．解(1)因为 MF1 MF2 2 F1F2 2 17，
所以，轨迹C是以点 F1、 F2为左、右焦点的双曲线的右支，
2 2
设轨迹C x y的方程为 2 2 1 a 0,b 0 ，则 2a 2，可得a 1，b 17 a2 4，a b
y2
所以，轨迹C的方程为 x2 1 x 1 ；………………………………………………（5 分）
16
1
（2）设点T ,t
，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，
2
y t k x 1 1不妨直线 AB的方程为 1 ，即 y k
2 1
x t k1，2
y k x t 1 k 1 21 2 1联立 ，消去 y并整理可得 k 21 16 x2 k 1 2t k1 x t k1 16 0，
16x2 y
2 16 2
1
设点 A x1, y1 、B x2 , y2 ，则 x1 且 x
1
2 .2 2
2
k 2 1
由韦达定理可得 x x 1
2k1t t k1 16
1 2 2 ， x x 2 ，……………………………（7 分）k1 16 1 2 k 21 16
1 1 x x 1 t2 12 1 k 2TA TB 1 k 2 所以， 1 x1 x2 1 k 2 1 x 1 2 12 2 1x2 2 ， 2 4 k1 16
t 2 12 1 k 22
设直线PQ的斜率为 k2，同理可得 TP TQ 2 ，…………………………（9分）k2 16
t 2 12 1 k 2TA TB TP TQ 1 t
2 12 1 k 2
因为 ，即 2
2 k 2 k 2
k 16 k 2
，整理可得 1 2 ，
1 2 16
即 k1 k2 k1 k2 0，显然 k1 k2 0，故 k1 k2 0 .
因此，直线 AB与直线 PQ的斜率之和为 0 .………………………………………………（12 分）
答案第 4页，共 4页秘密★启用前
2021 ～ 2022年度
湘鄂冀三省七校秋季学期期末联考
高二 数学 试卷
考试时间：2022 年 1 月 17 日下午 14:00 - 16:00
本试题卷共 4页，22 题，全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在规
定位置。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用签字笔或钢笔
将答案写在答题卡上，请勿在答题卡上使用涂改液或修正带，写在本试卷上的答案无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．若直线 l的斜率为 3，则 l的倾斜角为（ ▲ ）
2 5
A． 3 B． C．
6 D．
3 6
2
2．已知 f x x xf 0 1，则 f 2 的值为（ ▲ ）
A． 1 B．1 C． 3 D．3
3．抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点到直线 y x 1的距离为 2，则 p （ ▲ ）
A．4 B．2 2 C．2 D．1
4．已知{an}为等比数列,a4 a7 2,a5a6 8,则a1 a10 （ ▲ ）
A．5 B． 7 C． 7 D． 5
5．已知 P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点
PA 4
1
共面，且 PB xPC DB3 6 ，则实数 x的值为（ ▲ ）
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1 1 1 1
A． B． C． D．
3 3 2 2
6．两等差数列 an ， b
S n 1 a
n 的前 n项和分别为 S n 8n ,Tn，且 ，则 （ ▲ ）Tn 2n b5
8 6 4
A．2 B． 9 C． 7 D． 5
7．已知“整数对”按如下规律排列： 1,1 ， 1,2 ， 2,1 ， 1,3 ， 2,2 ， 3,1 ， 1,4 ， 2,3 ， 3,2 ，
4,1 ，…，则第68个“整数对”为（ ▲ ）
A． 1,12 B． 3,10 C． 3,9 D． 2,11
8．已知抛物线 y2 16x，过点M (2,0)的直线交抛物线于 A，B 两点，F 为抛物线
的焦点，若 | AF | 12，O为坐标原点，则四边形OAFB的面积是（ ▲ ）
5 2
A．10 2 B． 20 2 C．5 2 D．
2
二、选择题，本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 2分.
9．以下关于圆锥曲线的四个命题中，真命题为（ ▲ ）
A．设A， B为两个定点， 为非零常数，若 PA PB ，则点 P的轨迹是椭圆
B．过双曲线焦点的最短弦长为 2a
x2 y2 x2 y2
C．椭圆 1与双曲线 1有相同的焦点
34 9 16 9
2
D．方程2x 5x 2 0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
10．已知圆 x2 y2 2x 6y m 0上至多有一点到直线3x 4y 5 0的距离为 2，
则实数m可能的取值为（ ▲ ）
A．10 B．7 C．6 D．5
11．如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，
AA1 AC
2
AB 2， AB AC，点 D，E 分别是线段
3
EC DC
BC，B1C上的动点（不含端点），且 B C BC ．则下列1
说法正确的是（ ▲ ）
A． ED / /平面 ACC1
第 2 页 共 5 页
B．该三棱柱的外接球的表面积为17
3
C．异面直线 B1C与 AA1所成角的正切值为 2
4
D．二面角 A EC D的余弦值为
13
12．如图，已知点E是平行四边形 ABCD的边 AB 的中点，Fn n N 为边 BC上的
一列点，连接 AFn交 BD于G
n，点Gn n N 满足GnD an 1 GnA 2 2an 3 GnE，其
中数列 an 是首项为 1的正项数列， Sn是数列 an 的前 n
项和，则下列结论正确的是（ ▲ ）
A．a3 13 B． an 4n 3
n 1
C．数列 an 3 是等比数列 D． Sn 2 n 2
三、填空题，本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13．曲线 y 3(x2 x)ex在点 (0,0)处的切线方程为 ▲ .
14．两个非零向量 a，b，定义 | a b | | a || b | sin a,b ．若 a (1,0,1)，b (0,2,2)，
则 | a b | ▲ .
15．曲线 y 1 x2 与直线 y k x 1 2有两个交点，则实数 k的取值范围是
▲ .
x2 y2
16．已知椭圆 2 2 1 a b 0 的右焦点为F c,0 ，上顶点为 A 0,b ，椭圆右a b
准线上存在一点 P满足 FP FA AP 0，则椭圆的离心率的取值范围为 ▲ .
四、解答题（17 题 10 分，其它各题 12 分）
17．设直线 l的方程为 a 1 x y 3 a 0 a R .
（1）若 l在两坐标轴上的截距相等，求 a的值；
（2）若 l不经过第三象限，求 a的取值范围.
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18． S 2n为数列{ an }的前n项和.已知 an ＞0， an 2an = 4Sn 3.
（1）求{ an }的通项公式；
1
（2）设bn a a ,求数列{
bn }的前n项和.
n n 1
19．如图，四边形 ABCD为正方形， E,F分别为 AD,BC的中点，以DF为折痕把
△DFC折起，使点C到达点 P的位置，且 PF BF .
（1）证明：平面 PEF 平面 ABFD；
（2）求DP与平面 ABFD所成角的正弦值.
*
20．已知{an}为等差数列，前 n项和为 Sn (n N )，{bn}是首项为 2的等比数列，
且公比大于 0，b2 b3 12,b3 a4 2a1,S11 11b4 .
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{a *2nbn}的前 n项和 (n N ) .
第 4 页 共 5 页
21．公元前 3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯 Apollonius 在《平面轨迹》一书中，
研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点A，B距
离之比为 ( 0且 1)的点 P的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆．
PA
（1）已知两定点 A 2,0 ，B
1
4,0 ，若动点 P满足 ，求点 PPB 2 的轨迹方程；
2
（2）已知 A 6,0 ，P是圆C : x 4 y2 16上任意一点，在平面上是否存在点 B，
PA 1
使得 PB 2恒成立？若存在，求出点
B坐标；若不存在，说明理由.
22．在平面直角坐标系 xOy中，已知点 F1 17,0 、F2 17,0 ，MF1 MF2 2 ，点M
的轨迹为C .
（1）求C的方程；
1
（2）设点T在直线 x 上，过T的两条直线分别交C于
2 A、 B两点和 P，
Q两
点，且 TA TB TP TQ，求直线 AB的斜率与直线 PQ的斜率之和.
第 5 页 共 5 页
