基本初等函数检测题

第二章综合素质检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题　共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．[2，＋∞)　　　　　　 B．(1,2]
C．(－∞，2] D.
[答案]　B
[解析]　log(x－1)≥0，∴02．(2010·浙江文，2)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．1　　　　D．3
[答案]　B
[解析]　由题意知，f(α)＝log2(α＋1)＝1，∴α＋1＝2，∴α＝1.
3．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝{y|y＝()x，x>1}，则A∩B＝(　　)
A．{y|0C．{y|[答案]　A
[解析]　A＝{y|y>0}，B＝{y|0∴A∩B＝{y|04．(2010·重庆理，5)函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
[答案]　D
[解析]　∵f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)
∴f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称．
5．(2010·辽宁文，10)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)
A. B．10
C．20 D．100
[答案]　A
[解析]　∵2a＝5b＝m
∴a＝log2m　b＝log5m
∴＋＝＋
＝logm2＋logm5＝logm10＝2
∴m＝
选A.
6．已知f(x)＝，则f(－8)等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案]　A
[解析]　f(－8)＝f(－6)＝f(－4)＝f(－2)＝f(0)＝f(2)＝log2＝－1，选A.
7．若定义域为区间(－2，－1)的函数f(x)＝log(2a－3)(x＋2)，满足f(x)<0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．(2，＋∞)
C. D.
[答案]　B
[解析]　∵－2又f(x)＝log(2a－3)(x＋2)<0，
∴2a－3>1，∴a>2.
8．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数．若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是(　　)
A．(，1) B．(0，)∪(1，＋∞)
C．(，10) D．(0,1)∪(10，＋∞)
[答案]　C
[解析]　∵f(x)为偶函数，
∴f(lgx)>f(1)化为f(|lgx|)>f(1)，
又f(x)在[0，＋∞)上为减函数，∴|lgx|<1，
∴－19．幂函数y＝xm2－3m－4(m∈Z)的图象如下图所示，则m的值为(　　)
A．－1C．1或3 D．0,1,2或3
[答案]　D
[解析]　∵y＝xm2－3m－4在第一象限为减函数
∴m2－3m－4<0即－1又m∈Z　∴m的可能值为0,1,2,3.
代入函数解析式知都满足，∴选D.
10．(09·北京理)为了得到函数y＝lg的图像，只需把函数y＝lgx的图像上所有的点(　　)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
[答案]　C
[解析]　y＝lg＝lg(x＋3)－1
需将y＝lgx图像先向左平移3个单位得y＝lg(x＋13)的图象，再向下平移1个单位得y＝lg(x＋3)－1的图象，故选C.
11．已知logbA．2b>2a>2c B．2a>2b>2c
C．2c>2b>2a D．2c>2a>2b
[答案]　A
[解析]　∵由logba>c，
又y＝2x为增函数，∴2b>2a>2c.故选A.
12．若0A．loga(1－a)>0 B．a1－a>1
C．loga(1－a)<0 D．(1－a)2>a2
[答案]　A
[解析]　当0∵0<1－a<1，∴loga(1－a)>loga1＝0.故选A.
[点评]　①y＝ax单调减，0<1－a<1，∴a1－ay＝x2在(0,1)上为增函数．
当1－a>a，即a<时，(1－a)2>a2；
当1－a＝a，即a＝时，(1－a)2＝a2；
当1－a②由于所给不等式在a∈(0,1)上成立，故取a＝时有loga(1－a)＝log＝1>0，a1－a＝＝<1，(1－a)2－a2＝2－2＝0，
∴(1－a)2＝a2，排除B、C、D，故选A.
第Ⅱ卷(非选择题　共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,3]上的最大值比最小值大，则a的值是________．
[答案]　或.
[解析]　当a>1时，y＝ax在[1,3]上递增，
故a3－a＝，∴a＝；
当0故a－a3＝，∴a＝，∴a＝或.
[点评]　指数函数的最值问题一般都是用单调性解决．
14．若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log2x)的定义域是________．
[答案]　[，4]
[解析]　∵y＝f(2x)的定义域是[－1,1]，
∴≤2x≤2，∴y＝f(x)的定义域是，
由≤log2x≤2得，≤x≤4.
15．函数y＝lg(4＋3x－x2)的单调增区间为________．
[答案]　(－1，]
[解析]　函数y＝lg(4＋3x－x2)的增区间即为函数y＝4＋3x－x2的增区间且4＋3x－x2>0，因此所求区间为(－1，]．
16．已知：a＝xm，b＝x，c＝x，0[答案]　c，a，b
[解析]　将a＝xm，b＝x，c＝x看作指数函数y＝xP(0在P1＝m，P2＝，P3＝时的三个值，∵0∴y＝xP关于变量P是减函数，∵0∴x>xm>x；∴c三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)在同一坐标系中，画出函数f(x)＝log2(－x)和g(x)＝x＋1的图象．当f(x)[解析]　f(x)与g(x)的图象如图所示；显然当x＝－1时，f(x)＝g(x)，由图可见，使f(x)18．(本题满分12分)把下列各数按从小到大顺序排列起来．
0，，3，－，3，
log，log3，log34，log35，log2.
[分析]　先区分正负，正的找出大于1的，小于1的，再比较．
[解析]　首先0＝1；、－∈(0,1)；log35、log34都大于1；log＝－1；3，3都小于－1，log2＝－，－1(1)－＝，∵y＝x为减函数，<，∴>＝－；
(2)∵y＝x3为增函数，－<－<－1，
∴3<3<－1；
(3)y＝logx为减函数，∴－＝log2>log3>log4＝－1；
(4)y＝log3x为增函数，∴log35>log34>log33＝1.
综上可知，3<319．(本题满分12分)已知f(x) 是偶函数，当x≥0时，f(x)＝ax(a>1)，若不等式f(x)≤4的解集为[－2,2]，求a的值．
[解析]　当x<0时，－x>0，f(－x)＝a－x，
∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝a－x，
∴f(x)＝，
∴a>1，∴f(x)≤4化为或，
∴0≤x≤loga4或－loga4≤x<0，
由条件知loga4＝2，∴a＝2.
20．(本题满分12分)在已给出的坐标系中，绘出同时符合下列条件的一个函数f(x)的图象．
(1)f(x)的定义域为[－2,2]；
(2)f(x)是奇函数；
(3)f(x)在(0,2]上递减；
(4)f(x)是既有最大值，也有最小值；
(5)f(1)＝0.
[解析]　∵f(x)是奇函数，
∴f(x)的图象关于原点对称，
∵f(x)的定义域为[－2，2]，∴f(0)＝0，由f(x)在(0,2]上递减知f(x)在[－2,0)上递减，
由f(1)＝0知f(－1)＝－f(1)＝0，符合一个条件的一个函数的图象如图．
[点评]　符合上述条件的函数不只一个，只要画出符合条件的一个即可，再结合学过的一次、二次、幂、指、对函数可知，最简单的为一次函数．下图都是符合要求的．
21．(本题满分12分)设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
[解析]　(1)依题意，对一切x∈R有f(－x)＝f(x)成立，即＋＝＋aex，∴＝0，对一切x∈R成立，由此得到a－＝0，∴a2＝1，又a>0，∴a＝1.
(2)设0∴f(x1)22．(本题满分14分)某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资单位：万元)
(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)
[解析]　(1)设各投资x万元时，A产品利润为f(x)万元，B产品利润为g(x)万元，
由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，由图知f(1)＝，
∴k1＝，又g(4)＝，∴k2＝，从而：f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)．
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10－x万元；设企业利润为y万元．y＝f(x)＋g(10－x)＝＋　(0≤x≤10)，
令＝t，则0≤t≤，∴y＝＋t＝－(t－)2＋(0≤t≤)，
当t＝时，ymax＝≈4，此时x＝10－＝3.75.
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约4万元．