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长≌赣州市 2021～2022 学年度第一学期期末考试
高二数学(理科)参考答案
一、选择题
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选 项 B C D A B B B C B A C D
二、填空题
x2 y2
13． 1； 14．13； 15．1； 16．①②④．
4 3
三、解答题
17．(1)解：若 p为真命题，则m 2 4 m 0…………………………………………1 分
解得3 m 4…………………………………………………………………………………2 分
若“ p” 为真命题，则 p为假命题，m≤3或m≥ 4…………………………………3 分
4 m 0,
(2)若 q为真命题，则
m 2 0,
解得 2 m 4…………………………………………………………………………………4 分
若“ p q”为假命题，则“ p q”为真命题，
则 p与 q一真一假……………………………………………………………………………5 分
3 m 4,
①若 p真q假，则 …………………………………………………………6分
m≤ 2或m≥4,
解得m ……………………………………………………………………………………7分
m≤3或m≥4,
②若 p真q假，则 …………………………………………………………8分
2 m 4,
解得 2 m≤3 ………………………………………………………………………………9 分
综上所述，m 2,3 2,3 ，即m的取值范围为 2,3 …………………………10 分
18．解：(1) 根据频率分布直方图得： 0.007 0.010 2a 0.043 10 1…………3 分
解得 t 0.020…………………………………………………………………………………4 分
(2) 由于 50,60 ， 60,70 和 80,90 的频率之比为：
0.010 : 0.020 : 0.020 1: 2 : 2 ………………………………………………………………6 分
故抽取的 5 人中 50,60 ， 60,70 和 80,90 分别为：1 人，2 人，2 人 ……………7 分
记 50,60 的 1 人为 a， 60,70 的 2人为b,c， 80,90 的 2 人为 A,B………………8 分
故随机抽取 2人共有 a,b ， a,c ， a, A ， a,B ， b,c ， b, A ， b,B ， c, A ，
c,B ， A,B 10种…………………………………………………………………………10分
其中至少有 1人每天阅读时间位于 80,90 的包含 a, A ， a,B ， b, A ， b,B ， c, A ，
赣州市 2021～2022 学年度第一学期期末考试高二理科参考答案 1
c,B ， A,B 共 7种………………………………………………………………………11分
7
故概率P …………………………………………………………………………………12分
10
19．(1)证明：设H 为 EC的中点， 连接GH ,HD
因为G,H 分别为 BE,CE 的中点．
所以GH∥BC 1且GH BC …………………………1分
2
又 AD∥BC ， F 为 AD的中点，
所以GH∥FD，且GH FD …………………………2分
所以四边形DFGH 是平行四边形
所以 FG∥DH ………………………………………………………………………………3分
又DH 平面DCE，所以 FG∥平面DCE………………………………………………4分
(2) 取BC的中点O，连接OE,OF，则OF BC，
∵平面 ABCD 平面 BCE ，平面 ABCDI平面 BCE BC ，∴OF 平面 BCE …5分
∵VBCE是等边三角形，O为BC中点，∴OE BC……………………………………6分
分别以OE,OC,OF 所在直线为 x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz，
则E 2 3,0,0 ， A 0, 2,2 ， B 0, 2,0 ，C 0,2,0 ，D 0,2,2 ，BA 0,0,2 ，
BE 2 3,2,0 ，CD (0,0, 2)，CE 2 3, 2,0 ．
设m x1, y1, z1 为平面 ABE的一个法向量，
m BA 0,
则有 ……………………………………7分
m BE 0,
2z1 0,
即
2 3x1 2y1 0,
取可取m 3, 3,0 ………………………………………………………………………8分
n CD 0,
设n x2 , y2 , z
2 为平面DCE的一个法向量，则有 ………………………9分
n CE 0,
2z2 0,
即 可取n 3,3,0 …………………………………………………10分
2 3x2 2y2 0,
cos m,n m n 1所以 ……………………………………………………………11分
|m || n | 2
ABE DCE 0, π cos cos m,n 1设平面 与平面 的夹角为 ，∵
，∴ ，
2 2
即平面 ABE 1与平面DCE夹角的余弦值为 ……………………………………………12分
2
赣州市 2021～2022 学年度第一学期期末考试高二理科参考答案 2
p 3 3
20．解：(1)依题意， 解得 p …………………………………………2 分
2 4 2
2
∴抛物线C的方程为 x 3y…………………………………………………………………4分
(2)当直线 l的斜率不存在时，直线 l与C仅有一个交点，不符……………………………5分
当直线 l的斜率存在时，设 l的方程为 y kx 1……………………………………………6分
x2 3y, 2
由 消去 y可得 x 3kx 3 0…………………………………………………7分
y kx 1,
∵直线 l交抛物线C 2于不同的两点，∴ 9k 12 0 …………………………………8分
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
由韦达定理得 x1x2 3………………………………………………………………………9 分
y
∴ k 1 y21k2 ………………………………………………………………………………10分x1 x2
x2 21 x2
3 3 ……………………………………………………………………………………11分
x1 x2
x x
1 2
1
……………………………………………………………………………12 分
9 3
21．(1)证明：∵ AD是直径，∴ AF FD ………………………………………………1 分
∵CD 平面 ADF ， AF 平面 ADF ……………………………………………………2 分
∴CD AF ……………………………………………………………………………………3分
∵CD 平面DCF，DF 平面DCF，CDIDF D ………………………………4分
∴ AF 平面DCE……………………………………………………………………………5分
(2) 如图，作圆柱的母线FG，
则FG∥ AB，且 FG AB
∴四边形 ABGF 是平行四边形 ……………………………………6分
∴ AF∥BG，且 AF BG① ……………………………………7分
又依题知 B,E,C,G为底面圆的四等分点，
∴ BG∥EC，且 BG EC② ……………………………………………………………8 分
由①②知四边形 AECF 为平行四边形 ……………………………………………………9 分
依题易求得 AD 4， AF FD 2 2 ，且 AFD 90o，
∴ S 1VADF AD DF 4，∵E到面 ADF的距离为 d AB 4……………………10分2
1 16
∴V D AEF V E ADF S d …………………………………………11 分三棱锥 三棱锥 3 VADF 3
32
所以几何体DAECF 的体积 2 V三棱锥D AEF ……………………………………12 分3
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22.解： (1)设M x, y ，由M 为线段 PQ上一点，且 PM 2 MQ ，
得 P 3x,0 ，Q 0,
3 y ……………………………………………………………………1 分
2
PQ 3 3x 2 3
2
又 ，则 y 3………………………………………………………2 分
2
y2 2
整理可得 x2 1 y 2，所以轨迹 E的方程为 x 1…………………………………3 分
4 4
(2)设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，线段 AB的中点为 N x0 , y0 ．
∵N 在直线 y 2x上，∴ y0 2x0 …………………………………………………………4分
y21
x
2
1 1,
∵ A,B E 4在轨迹 上，∴ ………………………………………………………5 分
y
2
2
x
2
2 1, 4
y2 y1 y2 y1
两式相减，可得 x2 x4 1 x2 x1 0，
y2 y∴ 1 4 x 2 x1 2x 4 0 2 ，即直线 l的斜率为 2………………………6 分
x2 x1 y2 y1 2y0
依题意，可设直线 l的方程为 y 2x m m 0 ，
y2
x2 1,
4 8x2 4mx m2由 可得 4 0 ……………………………………………7分
y 2x m,
m 0,
则
4m 2 4 8 m2 4 16 8 m2 0,
解得 2 2 m 2 2 且m 0……………………………………………………………8 分
x m m
2 4
由韦达定理，得 1 x2 ， x1x2 ，2 8
2 2 5 8 m2
∴ AB 1 k 2 AB
2 m m 4 x1 x2 4x1x 2 1 4 …9分 4 2 2
m
∵原点O 0,0 到直线 l的距离为d …………………………………………………10分
5
2
1 1 5 8 m m
∴ S△ABO AB d
1
8 m2 m2
2 2 2 4 5
1 8 m2 m2
≤ 1……………………………………………………………………11分
4 2
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m 0,
当且仅当 2 2 m 2 2, 即m 2时等号成立，
8 m2 2 m ,
即m 2时，三角形的面积最大，此时直线 l的方程为 y 2x 2…………………12 分
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