赣州市 2021～2022 学年度第一学期期末考试
高二文科数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A A B C B D B C B C A
二、填空题
13． 23； 14． y x； 15．3； 16．6π．
三、解答题
17.解：（1）由表中数据得， x 2.5 ， y 3.5……………………………………………2 分
4
4 4 xi yi 4x y
x2i 30 ， xi yi 38.5 b i 1 38.5 4 2.5 3.5， 4 2 0.7 ………4 分
i 1 i 1 x2i 4x 2 30 4 2.5
i 1
a y bx 3.5 0.7 2.5 1.75．所以 y 0.7x 1.75………………………………6 分
（2）令0.7x 1.75 8，解得 x 8.93……………………………………………………8 分
预计第 9 周才能完成接种工作………………………………………………………………10 分
2 2
18. 解：（1）由条件知， x 2mx 2m 3 0恒成立，只需 x 2mx 2m 3 0的
4m2 4(2m 3) 0……………………………………………………………………2 分
解得 1 m 3………………………………………………………………………………4 分
（2）若 q为真命题，则 m 2 0，解得m 2……………………………………………6 分
若“p q”是假命题，“p q”是真命题，所以 p和 q一真一假
p 1 m 3若 真 q假，则 m 2 ，解得 2≤m 3……………………………………………8 分 ≥
若 p q m≤ 1或m≥ 3假 真，则 ，解得m≤ 1…………………………………………10 分
m 2
综上，实数m的取值范围是 ( , 1] [2,3)………………………………………………12 分
19.解：（1）根据频率分布直方图得到 0.005 0.01 a 0.04 0.02 10 1，
解得 a 0.025………………………………………………………………………………3 分
这组样本数据的平均数为50 0.05 60 0.1 70 0.25 80 0.4 90 0.2 76，
所以 x 76 ……………………………………………………………………………………6 分
（2）根据频率分布直方图得到，分数在 75,85 ， 85,95 内的频率分别为0.4 ，0.2 ，
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的6人，
赣州市 2021～2022 学年度第一学期高二文科数学参考答案 1
成绩在 75,85 内的有 4 人，分别记为 A1, A2 , A3 , A4 .
成绩在 85,95 内的有 2 人，分别记为 B1,B2 ………………………………………………8 分
记“2 人中至少有1人的分数高于 85 分”为事件M .则所有的基本事件有
A1A2 , A1A3 , A1A4 , A2A3 , A2A4 , A3A4 , A1B1, A1B2 , A2B1, A2B2 , A3B1, A3B2 , A4B1, A4B2 ,
B1B2 , 共 15 种…………………………………………………………………………………10 分
事件M 包含的基本事件有 A1B1, A1B2 , A2B1, A2B2 , A3B1, A3B2 , A4B1, A4B2 , B1B2 , 共 9 种
9 3
所以这 2 人中至少有1人的分数高于 85 分的概率 P（M）=
15 5 ………………………12 分
20.证明：（1）如图，取 A1B1 的中点N ，连接MN，C1N ，
因为M ，N 分别是 AB， A1B1 的中点．
所以MN∥AA1且MN =
AA1 BB1 3 ………………………1 分
2
又因为 AA1∥CC1，CC1=3，
所以MN∥CC1且MN=CC1 ，故四边形CMNC1为平行四边形，
所以CM∥C1N………………………………………………………………………………2 分
因为正三角形 A1B1C1，N 是 A1B1 的中点, 所以 C1N A1B1，
又因为 AA1 平面A1B1C1 ，所以 A1A1 C1N ，又 AA1 A1B1 A1 ，
所以C1N 平面AA1B1B ……………………………………………………………………5分
又CM∥C1N，所以CM 平面AA1B1B ……………………………6 分
（2）如图，过 B作截面BA2C2 ∥平面 A1B1C1，分别交 AA1，CC1于
A2 ,C2 ，连接 A2C2 ，作 BH A2C2 于H ，因为平面BA2C2 ∥平面 A1B1C1，
所以CC1 BH ，结合直三棱柱的性质，则 BH 平面 AA1C1C……7分
因为 AA1 4， BB1 2，CC1 3，
所以V
1 1 1
B AA C C S梯形AA C C BH 1 2 2 3 3………………………………8 分2 2 3 2 2 3 2
V 1A1B1C1 A2BC S2 A1B C BB1 1 1 2 3 2 2 3………………………………………………10 分2
所以所求几何体体积为V VB AA C C VA B C A BC 3 2 3 3 3 ………………………12 分2 2 1 1 1 2 2
21.解：（1）椭圆上顶点到焦点距离 d c2 b2 a 2 ………………………………2分
c 3
又椭圆的离心率为 e ，故 c 3，b a 2 c 2 1，
a 2
x2
因此，椭圆的方程为 y2 1……………………………………………………………4 分
4
（2）设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，由题意可知 x1, x2 2 ，设椭圆右顶点的坐标为： E(2,0) ，
赣州市 2021～2022 学年度第一学期高二文科数学参考答案 2
因为以 AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，所以有
AE BE AE BE AE BE 0 (x1 2)(x 2 2) y1y 2 0 ，
即4 2(x1 x2) x1x2 y1y2 0 ……①…………………………………………………6 分
直线 l : y kx m与椭圆C的方程联立，得：
y kx m
x2 (1 4k
2)x2 8kmx 4m2 4 0
y
2 1
4
64k 2 16m2 16 0，即m2 4k 2 1 ……②
8km 4m2x x ,x x 41 2 ……………………………………………………………8 分1 4k 2 1 2 1 4k 2
2
y y (kx m)(kx m) k 2x x km(x x ) m 2 m 4k
2
因此 1 2 1 2 1 2 1 2 ，1 4k 2
4 16km 4m
2 4 m2 4k 2
因此由①式可得 0 ，化简得
1 4k 2 1 4k 2 1 4k 2
6
12k 2 16km 5m2 0 ，即m 2k或m k ，均满足②式………………………10 分
5
当m 2k 时，直线 l： y kx 2k ，恒过定点 (2,0) ，舍去；
m 6 k y kx 6 k (6当 时，直线 l： ，恒过定点 ,0) ；
5 5 5
6
综上所述，直线 l过定点 ( ,0) ………………………………………………………………12 分
5
22.（1）函数的定义域为 (0, )，又 f (x) 1 ln x 1 ln x………………………2 分
当 x (0,1)时， f (x) 0，当 x (1, )时， f (x) 0…………………………………4 分
故 f (x) 的递增区间为 0,1 ，递减区间为 1,+ …………………………………………5 分
（2） f (x)≤a(e x)，即x(1 ln x)≤a(e x) , 令 (x) x x ln x a(e x) ，
有 (e) 0 , (x) ln x a, x [e, ) ……………………………………………………6 分
若a≤1， (x)≤0在[e, )上恒成立. 则 x 在[e, )上为减函数，
所以有 (x)≤ (e) 0………………………………………………………………………7 分
a
若a 1，由 (x) 0，可得 e≤ x ea，则 (x) 在[e, e )上增，
所以在[e, ea )上存在 x0 使得 (x0 ) (e) 0 ，与题意不符合…………………………10 分
综上所述，a≤1……………………………………………………………………………12 分
赣州市 2021～2022 学年度第一学期高二文科数学参考答案 3兴三三1世
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