赣州市2021~2022学年度第一学期期末考试
高三数学(理科)试卷20221月
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟
第I卷(选择题共60分)
选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的
1若复数2=1-1,则2-2=
2
A.1+3i
B.1+i
C.1-i
D.1-3i
2已知集合A={x1x-2x-3>0},集合B={x1y=x=1,则(24UB=
A.{x1-1≤x≤3}B.{x1x≥3C.{x1x≤-1}D.(x1x≥2-1
3.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号00102…
599600从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列
开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是
33211834297864560732524206443812234356773578905642
84421253313457860736253007328623457889072368960804
32567808436789535577348994837522535578324577892345
A.457
B.328
C.253
D.072
4曲线y=e22+x2在x=1处的切线与坐标轴围成的面积为
D.1
x+y-1≥0
5.已知实数x,y满足约束条件{x-y-1≤0,则z=3x-y的最大值为
y≤1
A.1
B.3
C.5
D.7
6函数f(x)=,的部分图像大致为
D
贛州市期末高三数学(理科)试卷第1页(共4页)
7.(2-2)1+a0)的展开式中,含x3y3项的系数为160,则a=
B.-2
C.2
D.4
8已知等差数列{an}满足a2+a=20.2a-an0=2,数列{b}满足b,=a,an2,2,记数
列{}的前n项和为S,则使S达到最大值的n值为
A.5
B.6
C.7
D.8
9已知圆柱的底面半径为1,高为2,点O,O2分别为该圆柱上、下底面的圆心,在该圆柱内随
机取一点P,则点P到O、O2的距离都大于1的概率为
A
4
B
5
2
D
9
0已知函数f(x)=imx+cos,则下列说法不正确的是
A.f(x)在区间(0,)上单调递增
B.f(x)的图像关于直线x=k(k∈Z)对称
C.f(x)的最大值为√2
D.f(x)在区间[-兀,7]上有3个零点
1已知数列{an}的各项均为正数,记{Sn}为数列{an}的前n项和,anan9n∈N),
2a
a1=1,则S4=
A.13
B.14
C.15
D.16
12.实数a1b,c满足2+a=2,lnb+b=e,3°+c=3,则
A. a
B. aD.c第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22~23
题为选考题,考生根据要求作答
填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
3.已知向量a=(,k),b=(k-2,1),若(a-2b)-b,则k=
4某校为了了解全校高中学生五一参加劳动实践活动的情况,随机抽
查了100名学生,统计他们假期参加劳动实践活动的时间,绘成的频
率分布直方图如图,估计这100多学生参加劳动实践活动的时间的中0
位数是
5抛物线E:y2=4x的焦点为F,点A,B,C在E上,O是坐标原
点,若点F为△ABC的重心,△OFA,△OFB,△OFC的面积分
别为S,S2,S3则S2+S2+S32=
024681012时间时
6在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四
棱锥称之为阳马,如图,若四棱锥P-ABCD为阳马,侧棱
PA⊥底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半
径为R,内切球半径为,则
B
骚州市期末高三数学(理科)试卷第2页(共4页)赣州市 2021～2022 学年度第一学期
高三理科数学参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D B C C B C A D C B
x
12. 提示：构造函数 f (x) t x t ， t≥ 2，显然 f (x)为增函数，且恒过点（1,1），
因为b 0 d，则可以令b=e
d
所以 lnb b e 0等价于 d e e 0
所以 a,c,d分别为函数 f (x) 2x x 2，
g(x) 3x x 3，h(x) e x x e 的零点
因为 f (2) 2 h(2) e2 2 e g(2) 8
所以0 a d c 1
因为 d lnb （0,1）
所以b （1,e）
所以0 a c 1 b e .
二．填空题
22 41
13． 2或3； 14． ； 15．3； 16． .
3 2
三．解答题
17.解：（1）由 A,B,C成等差，即 2B A C，结合内角和定理得： B …………1 分
3
2 2 2
由余弦定理知：b a c 2ac cosB a2 c2 ac ………………………3分
c2 b2把 a代入得： a2 a ac 0 c a 1…………………………………5分
13
（2）由 cosC ， sinC 2 39 …………………………………………………6分
13 13
从而 sin A sin B C sin B cosC cos B sinC 3 39 …………………………8分
26
a c
再由正弦定理： ，结合 c a 1，解得：a 3,c 4……………………10 分
sin A sinC
故 ABC 1的面积为 ac sin B 3 3 ……………………………………………12 分
2
18.解：（1）记“选派的 4 人中恰有 2人来自部门 C”为事件 A
2
P A C4 C
2
则 6
3
4 ………………………………………………………………………4分C10 7
（2）由题设 的所有可能取值为1,2,3,4……………………………………………………5 分
1
C 2 C1 C1 1 2 1 2P 1 4 3 3 C4 C3 C3 A2 126 21 4 ……………………………………6 分C10 210 35
C 2 C 2 2 2 2P 2 4 3 A2 C3 C3 45 3 4 ……………………………………………7 分C10 210 14
C3 C1 2 3P 3 4 3 A2 C3 A
2 1
2
C7 38 19
4 …………………………………………8 分C10 210 105
4
P 4 C 1 44 ………………………………………………………………………9 分C10 210
所以 的分布列为
1 2 3 4
…………………………10 分
21 3 19 1
P
35 14 105 210
则 126 45 38 1 167 ……………………………………12 分E 1 2 3 4
210 210 210 210 105
19.证：（1）作 AE CD交CD于点 E，
因为 ABCD为等腰梯形， AB / /CD，CD 2AB 4，故DE 1,CE 3，
在RT ADE 中， AD 10 ，故 AE 3，从而 AC 3 2
又 ABH 与 CDH 相似，且 AH :HC AB :CD 1: 2，
所以 AH BH 1 AC 2，
3
2 2 2
从而有 AH BH AB ，即 AC BD…………3 分
因为 PH 面 ABCD，故 PH AC…………4分
又BD PH H ，所以 AC 面 PBD…………5 分
又因为 AC 面 PAC ，面 PAC 面 PBD…………6分
（2）由题设HD,HC,HP两两垂直，故以点H为坐标原点，HD,HC,HP分别为 x轴，y
轴， z轴正方向建立空间直角坐标系，
从而有：A 0, 2,0 ,B 2,0,0 ,C 0,2 2,0 ,D 2 2,0,0 ,P 0,0,2 …………7 分
设平面PAD的法向量为m x1, y1, z1 ，结合 AD 2 2, 2,0 ,AP 0, 2,2
m AD 2 2x1 2y1 0
∴ 取 x1 1，则 y1 2, z1 2
m AP 2y1 2z 0
从而平面 PAD的一个法向量为m 1, 2, 2 ……………9 分
设平面PBC 的法向量为 n x2 , y2 , z2 ，
2
结合 BC 2,2 2,0 ,BP 2,0,2
m BC 2x 2 2y 0
∴
2 2
取 x2 2，则 y1 1, z1 2
m BP 2x2 2z2 0
从而平面 PBC 的一个法向量为 n 2, 1, 2 …………………………………………11 分
令平面 PAD与平面 PBC 夹角为 ，
则 cos cos n,m | n m | 2 2 ………………………………………12 分
| n | |m | 7 7 7
a2 b2 c2
c 3 a 2
20.解：（1）由 e 得 ……………………………………………………3 分
a 2 b 1
1 3 1
a2 4b2
x2 2
则椭圆C的方程为 y 1………………………………………………………………4分
4
（2）设存在点M 0,t ，由已知条件可知直线 l的斜率存在，
故可设直线 l的方程为 y kx t， A x1, y1 ， B x2 , y2 ………………………………5分
1
由 S OA OB sin 1 AOB tan AOB 得 OA OB cos AOB OA OB 1
2 2
即 x1x2 y1y2 1……………………………………………………………………………7分
y kx t
2
由 x2 得 4k 12 x2 8ktx 4t 2 4 0
y 1 4
8kt 4t 2 4
∴ 0， x1 x2 2 ， x1x2 2 ……………………………………………8 分4k 1 4k 1
∴ x1x2 y1y2 x1x2 kx 21 t kx2 t k 1 x1x2 kt x1 x2 t 2 1
2
k 2 1 4t 4 kt 8kt 2∴ 4k 2 t 1 1 4k 2 1
∴ k 2 1 4t 2 4 8k 2t 2 t 2 1 4k 2 1 0 ………………………………………10 分
5t 2 3∴ 3 t 2，∴ 满足 0……………………………………………………………11 分
5
t 15
15
∴ ，∴ 点M 0, ………………………………………………………12 分5 5
x
21.解：（1）当m 0时，有 f x e ex f x ex e …………………………1分
3
从而当 x ,1 时， f x 0；当 x 1, 时， f x 0；
故函数 f x 在 ,1 上单调递减，在 1, 上单调递增………………………………3 分
此时 f x f 1 0……………………………………………………………………4分min
（2）由 f x m 1 x3
3
x 2 2x 1 e
x ex ，得 f x m x 2 3x 2 e x e
3 2
记 g x f x ，则 g x m 2x 3 e x ……………………………………………5 分
①当m≤0时， g x 0在 ,1 上恒成立，故 g x 即 f x 在 ,1 上单调递增，
因为 f 1 0，所以 f x 0在 ,1 上恒成立，
从而函数 f x 在 ,1 上单调递减，不合题设…………………………………………7分
②当m 0时， g x 在R 上单调递增，又 g 1 m e
i)当0 m≤ e时，此时 g x g 1 ≥0在 1, 上恒成立，故 g x f x 在
1, 上单调递增，因为 f 1 0，所以 f x 0在 1, 上恒成立，
从而函数 f x 在 1, 上单调递增，不合题设…………………………………………9分
3 3
ii)当m e时，此时 g 1 m e < 0， g 2 e
2 > 0，
x 1, 3故存在唯一 0
，使 g x0 0……………………………………………………10 分
2
且当 x , x0 时， g x0 0，故 g x f x 在 , x0 上单调递减
因为 f 1 0，所以当 x ,1 时， f x 0；当 x 1, x0 时， f x 0，
从而函数 f x 在 ,1 上单调递增，在 1, x0 上单调递增，
即函数 f x 在 x 1处取得极大值，符合题设……………………………………………11 分
综上：实数m的取值范围为 e, ………………………………………………………12 分
x
1
m
22.解：（1 m 2 2）由 消去m得 x y 4…………………………………………2分
y m 1
m
∵ cos( 1 3 ) 2 ∴ ( cos sin ) 2
3 2 2
∴ (cos 3 sin ) 4 0 ∴ x 3y 4 0…………………………………5 分
（2）直线 l : x 3y 4 0过点M (4,0) l ，则直线 的倾斜角为 150 ，
4
x 4
3
t
则可设直线 l的参数方程为 2 ( t为参数)……………………………………7 分
1
y t 2
令P,Q两点对应的参数为 t1, t2
3
x 4 t
把 2 x2代入 y2 4
1
t 2得 4 3t 12 0
1 2
y t 2
∴ t1 t2 8 3 0， t1t2 24 0…………………………………………………………8分
∴ t1 0,t2 0
1 1 1 1 t1 t2 8 3 3∴ …………………………………………10 分
MP MQ t1 t2 t1t2 24 3
23.解：（1）当m 1时， f (x) = x 1 2x 1 ≤2
x 1①当 ≤ 时, f (x) 1 x 2x 1 3x≤2 2,∴ x≥ ,
2 3
2
∴ ≤ x 1≤ ……………………1分
3 2
1
②当 x≤1时, f (x) 1 x 2x 1 x 2≤2 ,∴ x≤ 0 ,
2
1
∴ x≤ 0……………………2分
2
③当 x 1时, f (x) x 1 2x 2 1 3x≤2 ,∴ x≤ ,∴ x无解………………………3 分
3
2 2
综上所述: ≤ x≤0，解集为[ ,0]…………………………………………………5分
3 3
（2）由题意可知当 x [1, 2]时不等式 f (x)≤ x 1 恒成立………………………………6 分
∴当 x [1, 2]时， f (x) x 1 2x m ≤x 1恒成立…………………………………7分
∴当 x [1, 2]时， 2x m ≤2恒成立
∴当 x [1, 2]时， 2≤ 2x m≤ 2恒成立
∴当 x [1, 2]时， 2x 2≤m≤ 2x 2恒成立 …………………………………………9 分
∴ 2≤m≤ 4，即
m [2,4]……………………………………………………………………………10 分
5