赣州市 2021~2022 学年度第一学期期末考试
高三数学（文科）参考答案
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A D A C D C D B C B A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 2或3 14. (1,0) 15. 3 16.4
三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）
17.解（1）由图可知，年龄在[60,70)的频率为
1 10 (0.005 0.010 0.015 0.030 0.015) 0.250
所以年龄在[60,70)的人数为100 0.250 25（人）， …………2 分
所以前三组的频率和为10 (0.005+0.010+0.015）=0.300，
前四组的频率和为10 (0.005+0.010+0.015+0.030）=0.600 …………3 分
所以中位数落在第四组，设为 x，
x 50 0.200
因此有 即 x 56.7
10 0.300
所以中位数是56.7 ……………6分
（2）依题意按照分层抽样，年龄在[20,30)的人数为 20 10 0.005=1（人）
年龄在[30,40)的人数为 20 10 0.010=2（人）
年龄在[40,50)的人数为 20 10 0.015=3（人） …………9分
所以前三组共有6人，从6人中任意抽取 2人的基本事件共15个，
其中至多有1人来自[40,50)的基本事件有12个， …………11 分
故至多有1人来自[40,50) P 12 4的概率为 ． …………12 分
15 5
18.解（1）当n≥ 2时，4S 2n 1 an 1 2an 1， ……………1 分
4an 4Sn 4Sn 1 a
2
n 2an (a
2
n 1 2an 1) ，
整理得 2(an an 1) a
2 2
n an 1 (an an 1)(an an 1)
因为 an 0
a *n an 1 2(n≥2,n N ) ……………4 分
n 1 4S a 2当 时， 1 1 2a1 ，解得： a1 0或 a1 2
因为 an 0， a1 2
所以{an}是以 a1 2为首项，以 d 2为公差的等差数列，
即 an=2+2(n 1) 2n(n N
*) ……………6 分
1 1
（2）由(1)得bn= 4n2
=
1 (2n 1)(2n 1)
1
( 1 1 )
2 2n 1 2n 1
1
所以Tn b1 b2 bn (1
1 1 1 1 1
)
2 3 3 5 2n 1 2n 1 ………10分
T 1 (1 1 n n )= . ……………12 分2 2n 1 2n 1
19.解（1）证明：在正方形 ABCD中有 AB BC , AD DC
AP PM , AP PN ……………3分
所以 AP 平面PMN
而 AP 平面 APN
所以平面 APN 面 PMN ……………5 分
（2）解：易知 AM AN 5,PM PN 1, S 1 PMN ……………7 分2
S 1 3 AMN S ……8分正方形 S ABN S ADM S CMN 4 1 1 2 2
V 1 1由 A PMN VP AMN 得 S3 PMN
PA S AMN h (其中 h为点 P3 到
底面 AMN 的距离)
1 3
即 2 h
2 2
h= 2 ……………11 分
3
1 2 4
因此该多面体的体积V 2 ． ……………12 分
3 3 9
20.解（1）由 F1F2 4 2c c 2 ……………1 分
1
由 S F1MF MF1 MF2 2 2
5 MF1 MF2 10
2 2
而 MF1 + MF2 16
(MF1 MF2 )
2 MF 21 + MF
2
2 2 MF1 MF2 36
MF1 MF2 6=2a a 3 ……………3分
b2 a2 c2 5
y2 x2
即椭圆的标准方程为 1 ……………5 分
9 5
（2）假设满意条件的直线 l存在，
当直线 l的斜率不存在时，不合题意， ……………6 分
不妨设直线 l：y kx 2， A(x1, y1),B(x2 , y2 )
y kx 2
2 2
联立 y2 x2 得 (5k 9)x 20kx 25 0 ， ……………7 分
1 9 5
x1 x
20k
2 5k 2
(1)
9
所以 ……………8分
x1x
25
2 2 (2) 5k 9
1 1 SS OAF
x
2 1 x1 5因为 OAF c x ,S c x 得 = 2 2 1 OBF1 2 2 S OBF x2 x2 71
即 x = 51 x2 (3) ……………10分7
由 (1)，(2)，(3) k 2 1 15得 k
15 15
15
所以直线 l的方程为 y x 2． ……………12 分
15
2
21.解（1）当 a 1时 f (x) (x x+1)e x
f (x) (2x 1) e x+(x 2所以 x+1) e x=(x 2+x) e x …………1 分
由 f (x) 0得 x 1或 x 0；由 f (x) 0得 1 x 0；
即 f (x)在 ( , 1)和 (0, )上单调递增，在 ( 1,0)上单调递减； …………3 分
3
所以 f (x)的极大值为 f ( 1) ，极小值为 f (0) 1． …………4 分
e
（2）由于 f (x) [x2 (2 a)x 1 a] e x
2
原不等式可化为 (x ax 1) e x [x2 (2 a)x 1 a] e x x e x a 1
整理得 (x a) e x+a 1 0在 x (0, )恒成立 …………5分
x
法一（整体构造）：设 g(x) (x a) e +a 1， x (0, )
则 g (x) [x (a 1)] e x …………6 分
①当 a 1≤0即 a≤1时， g (x) 0在 x (0, )恒成立
即 g(x)在 x (0, )上为增函数；
g(x) g(0) 1 0满足题意； …………7 分
②当 a 1 0即 a 1时，由 g (x) 0得 x a 1；由 g (x) 0得0 x a 1
即 g(x)在 (0,a 1)上为减函数，在 (a 1, )上为增函数；
g(x) =g(a 1) e a 1min a 1 0(a 1) 满足题意；
ea 1即 a 1 0
h(a) ea 1令 a 1(a 1)
h (a) ea 1 1 0在 a (1, )上恒成立，即h(a)在 a (1, )上为增函数
2
又 h(2) e 3 0,h(3) e 4 0 …………10分
所以存在唯一实数 a0 (2,3)使得 h(a0 ) 0
因此实数 a的最大整数为 2 . ……………12分
x
法二（分离参数）：由 (x a) e +a 1 0在 x (0, )恒成立
得 a(ex 1) x ex 1在 x (0, )恒成立
a x e
x 1
即 x 在 x (0, )恒成立 …………6分e 1
x ex 1 x x
设 g(x) x ，则 g (x)
e (e x 2)
x …………7 分e 1 (e 1)2
令 h(x) e x x 2，则 h (x) e x 1(x 0)
所以 h(x)在 x (0, )上为增函数
又 h(1) e 3 0,h(2) e 2 4 0
所以存在唯一实数 x0 (1, 2)使得 h(x0 ) 0 …………9 分
则 g(x)在 (0, x0)上为减函数，在 (x0，+ )上为增函数
x ex0 1
g(x) =g(x ) 0 ，而 h(x ) e x0min 0 x 0 x0 2 0 e
x
即 0 =x
e 0 1 0
+2
g(x ) x 0 (x0 2) 10 x 1 (2,3) …………11 分(x 2) 1 00
因此实数 a的最大整数为 2 . …………12分
x m
1
1 m m 2 222.解：（ ）由 消去 得 x y 4 …………2分
y 1 m
m
∵ cos( π 1 ) 1 ∴ ( cos 3 sin ) 2
3 2 2
∴ (cos 3 sin ) 4 0 ∴ x 3y 4 0 …………5 分
（2）直线 l : x 3y 4 0点M (4,0)，则直线 l的倾斜角为 150 ，
x 4
3
t
则直线 l的参数为方程 2 ( t为参数)， …………7 分
1
y t 2
令 P,Q两点对应的参数为 t1, t2
3
x 4 t
把 2 2代入 x y2 4
1 t 2得 4 3t 12 0
2
y
1
t
2
∴ t1 t2 8 3 0， t1t2 24 0 ,
∴ t1 0,t2 0 …………8 分
1 1 1 1 t1 t2 8 3 3∴ …………10 分
MP MQ t1 t2 t1t2 24 3
23.解：（1）当m 1时， f (x) = x 1 2x 1 ≤2
x 1①当 ≤ 时, f (x) 1 2 x 2x 1 3x≤2 ,∴ x≥ ,
2 3
2 1
∴ ≤ x≤ …………1 分
3 2
1
②当 x≤1时, f (x) 1 x 2x 1 x 2≤2 ,∴ x≤ 0 ,
2
1
∴ x≤ 0 …………2分
2
③当 x 1时, f (x) 2 x 1 2x 1 3x≤2 ,∴ x≤ ,∴ x无解 …………3分
3
2 2
综上所述: ≤ x≤0，解集为[ ,0] . …………5 分
3 3
（2）由题意可知当 x [1, 2]时不等式 f (x)≤ x 1 恒成立 …………6 分
∴当 x [1, 2]时， f (x) x 1 2x m ≤x 1恒成立 …………7 分
∴当 x [1, 2]时， 2x m ≤2恒成立
∴当 x [1, 2]时， 2≤ 2x m≤ 2恒成立
∴当 x [1, 2]时，2x 2≤m≤ 2x 2恒成立 …………9 分
∴ 2≤m≤ 4，即m [2, 4]. …………10 分赣州市2021~2022学年度第一学期期末考试
高三数学(文科)试卷
2022年1月
第I卷(选择题共60分)
、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有
项是符合题目要求的)
2
1.复数
(i为虚数单位)的共轭复数为
1+i
B.-1+i
D.-1-i
2.已知集合A={(x12<1},B={x|x-1≥1),则A∩B=
A.{x|x<0}B.{x|x>0
C.{x|x≤0或x>2
D.
3某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行001,002,…,
599,600.从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列
开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是
33211834297864560732524206443812234356773578905642
1253313457860736253007328623457889072368960804
32567808436789535577348994837522535578324577892345
A.457
B.328
C.253
D.072
4.已知等比数列{an}的各项均为正数,且a1·a6=9,则log3a1+log3a2+…+log34=
A.6
B.9
C.27
D.81
5已知双曲线C的一条渐近线方程为y2且与椭圆+y2=1有公共焦点,则双曲线C的
标准方程为
A
B
63
6.已知实数a满足0≤1og2(1-a)≤3,则直线y=x+a与圆(x-1)2+y2=2有公共点的概
率为
2
4
3
A
7
B
D
7
7
sin(T-a)-sin(--a)
7.若
cos(+a)+cos(丌+a)3·则tan2a=
-23-4
B
C
州市期末高三数学(文科)试卷第1页(共4页)
8.已知函数y=a21+2(a>0,a≠1的图像恒过的定点A,且A点在直线
mx-y
+H=
n>0)上
m n+I
的最小值为
A.
B.3
C.2
9.铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔,造型质朴雄伟,原有十三级,抗日战争中被日军飞机炸
毁,现仅存三级,它的底座近似圆形(如图1).我国古代工匠已经知道,将长方体砖块以某
个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑,现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌
成的近似圆形的墙面,每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位,相邻两块砖之间的夹角
固定为36,如图2,则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是
2
A
tan 8
2 tan 18
T
D
丌
10.在下列五个命题中,其中正确的个数为
图1
图2
①命题“x∈R,都有x2+x+1>0”的否定为“x∈R,有x2+x+1≤0”
②已知a=(k-1,4-2k),b=(41),若a与b夹角为锐角,则k的取值范围是k>0
③“-≥1”成立的一个充分不必要条件是“0④已知是一条直线,a,B是两个不同的平面,若1⊥a,1⊥B,则a11B
③函数y=2sin(2x-)的图像向左平移个单位后所得函数解析式为y=2sin2x
A.4
B.3
D.1
1.已知正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为6,则过A,C,D1三点的平面与该正方体内切球
截面的面积为
A.3
B.6兀
C.9
D.12
12.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,都有不等式f(x)-xf(x)>0成
立,若a=4(45)b=√2(x2)c=g9/(0:5),则ac的大小关系是
aB. aC. b>asc
D. a>b>c
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