江苏省某重点中学九年级数学上册《数据的离散程度》章后复习

一. 本周教学内容：
数据的离散程度
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二. 学习目标：
1. 掌握极差的定义，了解极差反映一组数据的变化范围，能够通过极差的大小来判断一
组数据的波动情况。
2. 了解衡量一组数据的波动大小除了平均数、极差外，还有方差、标准差、理解方差、
标准差的定义，会计算一组数据的方差和标准差，了解样本的方差，样本标准差、总体
方差的意义，会用简化的计算公式求一组数据的方差、标准差，会比较两组数据的波动
情况。
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三. 重点：
极差的定义，方差、标准差的应用。
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四、难点：
会用极差的意义判断一组数据的波动情况，利用方差、标准差描述社会生活的方方面面，在实际运用时理解相关数据之间的规律。
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五、课堂教学：
（一）知识要点
知识点1：表示数据集中趋势的代表
平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其
中平均数的应用最为广泛。
知识点2：表示数据离散程度的代表
极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把
这样的差叫做极差。
极差=最大值－最小值，一般来说，极差小，则说明数据的波动幅度小。
知识点3：生活中与极差有关的例子
在生活中，我们经常用极差来描述一组数据的离散程度，比如一支篮球队队员中最高身
高与最矮身高的差。一家公司成员中最高收入与最低收入的差。
知识点4：平均差的定义
在一组数据x1，x2，…，xn中各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数即
T=叫做这组数据的“平均差”。
“平均差”能刻画一组数据的离散程度，“平均差”越大，说明数据的离散程度越大。
知识点5：方差的定义
在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数差的平方，它们的平均数，即
S2=来描述这组数据的离散程度，并把S2叫做
这组数据的方差。
知识点6：标准差
方差的算术平方根，即用S=来描述这一组数
据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差。
知识点7：方差与平均数的性质
若x1，x2，…xn的方差是S2，平均数是，则有
①x1+b， x2+b…xn+b的方差为S2，平均数是+b
②ax1， ax2，…axn的方差为a2s2，平均数是a
③ax1+b， ax2+b，…axn+b的方差为a2s2，平均数是a+b
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【典型例题】
例1. 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对使用寿命进行跟踪
调查，结果如下：（单位：年）
甲：3、4、5、6、8、8、8、10
乙：4、6、6、6、8、9、12、13
丙：3、3、4、7、9、10、11、12
三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年。请根据结果判断厂家在广告中分别运
用平均数、众数、中位数中的哪一种表示集中趋势的特征数。
甲： 乙： 丙：
解：众数、平均数、中位数
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例2. 下表是南京2005年2月下旬和2006年同期的每日最高气温（单位：℃）如何对两 段
时间的气温进行比较？
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2月
21日
2月
22日
2月
23日
2月
24日
2月
25日
2月
26日
2月
27日
2月
28日
2005年
12
13
14
22
6
8
9
12
2006年
13
13
12
9
11
16
12
10
解：2005年2月下旬和2006年2月下旬的气温的极差（即温差）分别是：
2005年2月下旬：22－6=16（℃）
2006年2月下旬：16－9=7（℃）
可以看出，2005年2月下旬最高气温与最低气温之间差距较大，相差16℃，即极差为
16℃，2006年2月下旬气温的极差为7℃，气温变化的范围不大。
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例3. 某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，
求这组数据的中位数。
解：平均数是
中位数一定是四个数据中的两个数据的平均数
（1）当x≤8时，
（2）当8＜x≤10时，（舍去）
（3）当x＞10时，∴x=12，此时中位数为10
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例4. 从甲、乙两种棉花中各抽取10株，测得它们株高分别如下（单位：cm）
甲：25，41，40，37，22，14，19，39，21，42；
乙：27，16，44，27，44，16，40，40，16，40。
（1）哪种棉花长得较高？
（2）哪种棉花长得较齐？
解：（1）（25+41+40+37+22+14+19+39+21+42）=30
（27+16+44+27+44+16+40+40+16+40）=31
∵＜
∴乙种棉花长得高
（2）
∵＜
∴甲种棉花长得整齐
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例5. 小李参加体育项目训练，近期5次的测试成绩为13，14，13，12，13。求测试成绩
的极差、方差和标准差。（精确到0.01）
解：极差=14－12=2

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例6. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他的电脑知
识进行了10次测试，成绩如下：（单位：分）
甲的成绩
76
84
90
86
81
87
86
82
85
83
乙的成绩
82
84
85
89
79
80
91
89
74
79
回答下列问题：
（1）甲学生成绩的众数是 分，乙学生成绩的中位数是 分。
（2）若甲学生成绩的平均数为，乙学生成绩的平均数为，则与的大小
关系是 。
（3）经计算知=13.2，=26.36，这说明 。
（4）若测验分数在85分（含85分）以上为优秀，则甲的优秀率为 ，乙的优
秀率为 。
解：（1）86，83
（2）＞
（3）甲学生的成绩比乙学生的成绩稳定
（4）50%， 40%。
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例7. 已知： x1，x2，…xn的平均数是，标准差是Sx。3x1+5，3x2+5，…，3xn+5的平
均数是，标准差是Sy，试说明：
（1）=3+5
（2）Sy=3Sx
解：（1）

（2）

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【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 6个数据的平均数为10，其中的一个为5，那么其余5个数的平均数是（ ）
A. 10 B. 9 C. 11 D. 12
2. 甲、乙两个样本中，则两个样本的波动情况是（ ）
A. 甲的波动比乙大 B. 乙的波动比甲大
C. 甲、乙波动一样大 D. 无法比较
3. 如果10个数的平方和是370，方差是33，那么平均数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 能反映一组数据与其平均数的离散程度的是（ ）
A. 极差和方差 B. 极差和标准差 C. 方差和标准差 D. 以上都不对
5. 一组数据的方差为S2，将这组数据中的每个数据都乘2，所得到的一组新数据的方差
是（ ）
A. B. S2 C. 2S2 D. 4S2
6. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，他们射击的环数的方差分别为：
=2.4 ，=3.2，则射击的稳定程度是（ ）
A. 甲高 B. 乙高 C. 一样高 D. 不能确定
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二、填空题
7. 某次考试5个班级的平均成绩如下（单位：分）53，62，63，48，54则这5个班级的
平均成绩的极差是 。
8.已知某班第8小组8位男生的身高如下（单位：m）： 1.78， 1.68， 1.72，1.80， 1.64，
1.69，1.71，1.82则他们的平均身高是 。
9.一组数据的方差为S2，将这组数据中的每个数据都乘以2，再减去3，则所得新数据的
方差为 。
10.已知样本4，2，x的方差S2=，则x的值 。
11.一组数据为1，－1，0，－1，1，则这组数据的极差、方差、标准差分别
为 ， ， 。
12. 若1，2，3，a的平均数是3，且4，5，a，b的平均数是5，则样本0，1，2，3，4，
a，b的方差是 。
13. 已知甲、乙两名学生5次考试数学成绩如下：
甲：97，103，95，110，95 乙：90，110，95，115，90
（1） ，S甲≈ （精确到0.01），=
（2） ，S乙≈ （精确到0.01），=
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三、解答题
14. 甲、乙两名学生各进行了5次立定跳远测试，两人平均成绩相同，其中甲的成绩的方
差是0.005，乙的成绩如下：2.20m，2.30m.2.30m， 2.40m，2.30m，那么甲、乙的成绩
谁更稳定些？说说你的理由。
15. 在一次中考模拟考试中，某校初三（1）和初三（2）班的学生成绩如下表所示：
分数
人数
50
60
70
80
90
100
（1）班
3
5
16
3
11
12
（2）班
2
5
11
12
13
7
请你根据所学的统计知识，分别从平均数和方差的角度判断这两个班的成绩谁优谁次？
16. 某校初三（1）班、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩如下表所示：
（单位：分）
班级
平均数
众数
中位数
标准差
一班
79
70
87
19.8
二班
79
70
79
5.2
（1）请你对下面一段话，给予简要分析：初三（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的
数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里可算上游了！”
（2）请你根据表中的数据对这两个班的测验情况进行评价，并提出建议。
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【试题答案】
1. C 2. A 3. B 4. C 5. D 6. A
7. 15 8. 1.73m 9. 4S2 10. 3 11. 2 0.8 0.89
12. 4
13. （1）100，5.80，33.6 （2）100，10.49，110
14. 解：乙的成绩更稳定些。
因为：

所以乙的成绩更稳定些。
15. 解：平均成绩均为80分，故两班成绩一样好。
∵ ∴（2）班成绩较为整齐。
故（2）班的成绩较好。
16. 解：（1）由中位数可知85分排在第25位以后，从位次上讲不能说85分是上游。但也不能单纯以位次来判断学习的好坏，小刚得85分，说明他对阶段学习内容掌握较好，从掌握学习内容上讲，也可以说属于上游。
（2）初三（1）班成绩的中位数为87，而平均分为79分，标准差很大，说明两极分化严重。建议：采取措施，加强“帮扶”工作。
初三（2）中位数和平均分都是79分，标准差较小，说明差别不大，两头学生少。
建议：采取措施，“提优”工作要加强。