江苏省某重点中学九年级数学上册《图形与证明（二）》章后复习

一. 本周教学内容：
图形与证明（二）复习
教学目标：
（1）通过本节课的复习，归纳整理等腰三角形的性质和判定、直角三角形全等判定定
理、角平分线性质定理及逆定理、平行四边形的性质和判定、矩形、菱形、正方形
的性质和判定、等腰梯形的性质和判定、以及三角形、梯形中位线定理。
（2）探索三角形、特殊四边形及中位线的证明规律和方法，提高解题能力。
二. 重点、难点：
重点：梳理各知识要点，探索证明的规律和方法。
难点：探索证明的过程
课堂教学：
（一）知识要点：
1.
2.
3.
4.
5.
【典型例题】
已知：AB//DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给 予证明（安徽中考试题）
解：此题中有三对全等三角形，分别是
△ABF≌△DEC
△ABC≌△DEF
△BCF≌△EFC
选△ABF≌△DEC的证明过程如下：
∵AB∥DE，∴∠A=∠D
在△ABF和△DEC中

∴△ABF≌△DEC
说明：（1）要正确书写出全等的证明，掌握全等的判定方法及推论
（2）学会寻找全等的三个条件
例2. 已知：点E在BC上，点D在AE上，∠ABD=∠ACD，∠BDE =∠CDE，求证：BD=CD
证明：∵∠ABD=∠ACD，∠BDE =∠CDE
而∠BDE=∠ABD+∠BAD， ∠CDE =∠ACD+∠CAD
∴∠BAD=∠CAD
在△ADB和△ADC中
∠BAD=∠CAD，∠ABD=∠ACD ，AD=AD
∴△ADB≌△ADC
∴BD=DC
已知：如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q，
求证：BP=2PQ
证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=∠C=60°，AB=AC
在ABE和CAD中
∵AB=CA，∠BAE=∠C，AE=CD
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD ，∴∠BQP=90°∴∠PBQ=30°
∴PQ=BP（直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边的一
半）即BP=2PQ
例4. 已知：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F分别是OA、OB 的中点，求证：
△A DE≌△BCF
证明：∵矩形ABCD，
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD
AC=BD，AD∥BC
∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB=∠OBC
∵E、F分别是OA，OB的中点
∴AE=OA，BF=OB
∵OA=OB
∴AE=BF
∴△ADE≌△BCF（SAS）
例5. 已知：正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF=∠OBE，求证：OE=OF。
证明：∵正方形ABCD，∴AC⊥BD
∴∠AOB=∠BOC=90°
OB=OC
又∵∠OCF=∠OBE
∴△OCF≌△OBE
∴OE=OF
例6. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点
E、F，且PA=PD。
（1）写出图中三对全等的三角形（不再添加辅助线）
（2）选择其中一以加以证明。
解：（1）①△ABP≌△DCP，②△ABE≌△DCF ③△BEP≌△CFP
（2）下面就△ABP≌△DCP加以证明
∵AD∥BC，AB=DC
∴梯形ABCD为等腰梯形
∴∠BAD=∠CDA
∵PA=PD
∴∠PAD=∠PDA
∴∠BAD-∠PAD=∠CDA—∠PDA
即∠BAP=∠CDP
在△ABP和△DCP中

∴△ABP≌△DCP
例7. 已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点。
（1）求证四边形BDEF是菱形。
（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长。
证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点
∴DE∥AB，EF∥BC，DE =AB , EF=BC
∴四边形BDEF是平行四边形
又∵AB=BC
∴DE=EF
∴四边形BDEF是菱形
解：（2）∵AB=12cm, F为AB的中点
∴BF=6cm
∴菱形BDEF的周长为6×4=24（cm）
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 选择题
1. 在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：①AB=DE ②BC=EF ③AC=DF ④∠A=∠D
⑤∠ B=∠E ⑥∠C=∠F，以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC与△DEF全等的是
（ ）
A. ①②⑤ B. ①②③ C. ①④⑥ D. ②③④
2. 用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 矩形 D. 菱形
3. 用两个全等的直角三角形来拼下列图形①平行四边形（不包括菱形，矩形，正方形） ②
矩形 ③菱形 ④正方形 ⑤等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ）
A. ①②⑤ B. ②③⑤ C. ①④⑤ D. ①②③
4. A、B、C、D在同一平面内，从①AB=CD ②AB∥CD ③BC∥AD ④BC=AD这四个条件中任
选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
5. 矩形两条对角线的夹角中,若钝角为120°，则短边与长边之比为（ ）
A. 1：2 B. 1: C. 1：3 D. 1：
二. 填空题
6. 矩形ABCD的对角线交于点O，若矩形的周长为68，△AOB与△BOC的周长之差为4，
则矩形的长和宽分别为 。
7. 等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm,，则高为 。
8. 在活动课上,小丽已有两根长为4cm，8cm的小木棒,现在打算拼出一个等腰三角形,则
小丽应取的第三根小棒长是 cm。
三. 解答题
9. 如图，将平行四边形ABCD的对角线BD向两个方向延长至E和F，使BE=DF，求证：四
边形AECF是平行四边形。
10. 等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点,E、F分别是BM、CM的中点。
（1）求证:四边形MENF是菱形。
（2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系,并证
明你的结论。
11. 已知任意四边形ABCD（AB、DC不平行）,E、F分别是AB、CD的中点，有人认为线段
EF的取值范围为：|AD－BC|＜EF＜（AD+BC），你同意吗？说一说你的看法。
12. 已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直于DM且交
∠CBE的平分线于N。
（1）求证：MD＝MN
（2）如果将上述条件中“M是AB中点”改为 “M是AB上的任意一点”，其余条件不
变，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。
【试题答案】
1. D 2. D 3. A 4. B 5. D
6. 19和15
7. 8cm 8. 8
9. 证明:连接AC交BD于O
∵平行四边形ABCD
∴OA= OC OB=OD
∵BE=DF
∴OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形
10. 提示：（1）先利用三角形中位线定理证四边形MENF是平行四边形，再证一组邻边相
等
（2）高是底边BC的一半
11. 同意
提示：连接BD，取BD的中点M，连接ME、MF则ME=AD、MF=BC，再利用三角形边
的不等关系证明。
12. （1）提示：在AD上截取DG=BM，连接MG，证△DGM≌△MBN
（2）成立。在DA上取点G，使DG=BM，连接MG，再证△DGM≌△MBN