2021-2022学年北师大版八年级数学上册4.4一次函数的应用 寒假自主提升训练（word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《4-4一次函数的应用》
寒假自主提升训练（附答案）
1．甲、乙两辆摩托车分别从A、B两地出发相向而行，图中l1、l2分别表示两辆摩托车与A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系，则下列说法：
①A、B两地相距24km；
②甲车比乙车行完全程多用了0.1小时；
③甲车的速度比乙车慢8km/h；
④两车出发后，经过0.3小时，两车相遇
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．有两段长度相等的路面，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工，甲、乙两个施工队铺设路面的长度y（米）与施工时间x（时）的函数关系的部分图象如图所示．下列四种说法：
①施工2小时，甲队的施工速度比乙队的施工速度快；
②施工4小时，甲、乙两队施工的长度相同；
③施工6小时，甲队比乙队多施工了10米；
④如果甲队施工速度不变，乙队在施工6小时后，施工速度增加到每小时12米，结果两队同时完成铺设任务，则路面铺设任务的长度为120米．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升30min，气球所在的位置距离地面的高度h（单位：m）与气球上升的时间t（单位：min）之间的函数关系式如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．10min时，两只气球都上升了30m
B．乙气球的速度为3m/min
C．30min时，乙气球离地面的高度为60m
D．30min时，甲乙两只气球的高度差为20m
4．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为1200m；②乙行走的速度是甲的15倍；③b＝800；④a＝34，其中正确的结论个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．小明和小李住在同一个小区，暑假期间，他们相约去缙云山某地露营；小明先出发5分钟后，小李以65米/分的速度从小区出发，小明到达相约地点后放下装备，休息了10分钟，立即按原路以另一速度返回，途中与小李相遇，随后他们一起步行到达目的地．小李与小明之间的距离y（米）与小明出发的时间x（分）之间的关系如图，则下列说法正确的是（　　）
A．小明首次到达目的地之前的速度是75米/分
B．小明首次到达目的地时，小李距离目的地还有200米
C．从小区到目的地路程为2800米
D．小明返回时的速度是33米/分
6．小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，给出结论①山的高度是720米，②l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况；③小强爬山的速度是爷爷的2倍，④爷爷比小强先出发20分钟．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的路程y1（米），y2（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中正确的是（　　）
①两人前行过程中的速度为200米/分；
②m的值是15，n的值是3000；
③东东开始返回时与爸爸相距1500米；
④运动18分钟或30分钟时，两人相距900米．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了36分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法：
①a＝4.5；
②甲的速度是60km/h；
③乙刚开始的速度是80km/h；
④乙出发第一次追上甲用时80min．
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
10．甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度y（单位m）与气球上升的时间x（单位min）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．甲气球上升过程中y与x的函数关系为：y＝2x+5
B．10min时，甲气球在乙气球上方
C．两气球高度差为15m时，上升时间为50min
D．上升60min时，乙气球距离地面高度为40m
11．A、B地相距2400米，甲、乙两人从起点A地匀速步行去终点B地，已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论中，其中正的结论有（　　）
①甲步行的速度为60米分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．小明同学利用周末从家里出发骑自行车到某小区参加志愿服务活动、活动结束后原路返回家中，他离家的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象如图中折线OA﹣AB﹣BC﹣CD﹣DE所示，若BC∥OA，小明返回时骑行的平均速度是前往某小区时的平均速度的，根据图中数据，下列结论中：
①瓦集小区离小明家12千米；②小明前往某小区时，中途休息了0.25小时；
③小明前往某小区时的平均速度是16千米/小时；
④小明在某小区志愿服务的时间为1小时；
⑤a的值为3．其中正确的结论的是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．某客运公司的特快巴士与普通巴士同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，普通巴士到达乙地后停止行驶，特快巴士到达乙地后，停留30分钟，然后按原路以另一速度匀速返回甲地，已知两辆巴士分别距乙地的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的图象如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．普通巴士的速度是60km/h
B．特快巴士返回甲地时的速度为80km/h
C．行驶过程中，特快巴士与普通巴士的相遇时间为4小时
D．普通巴士到达乙地时，特快巴士与甲地之间的距离为185千米
14．为积极响应党中央关于体育强国的号召，在某市半程马拉松开赛前，小明和小斌为了取得更好的成绩，进行了一次迷你马拉松的训练．如图是两人分别跑的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数关系．他们同时出发，其中小明60分钟时到达终点，小斌由于在40分钟时不小心崴了脚便原地休息一会儿，最终在65分钟时到达终点，已知小斌后半程速度为0.15千米/分钟，则在这个过程中：①小明在10到50分时，保持0.25千米/分钟的速度前进；②小斌休息的时间为4分钟；③小明和小斌在55分时刚好相遇；④在整个过程中，小明和小斌相距0.2千米的次数有4次．以上说法正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．已知A，B两地相距240千米，早上9点甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示，则下列描述不正确的是（　　）
A．甲车的速度是60千米/小时
B．乙车的速度是90千米/小时
C．甲车与乙车在早上10点相遇
D．乙车在12：00到达A地
16．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则点Q的坐标为（　　）
A．（，） B．（3，3） C．（，） D．（，）
17．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示根据图象信息知，点A的坐标是　 　．
18．小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为s1（米），小明爸爸与家之间的距离为s2（米），图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象小明从家出发，经过　 　分钟在返回途中追上爸爸．
19．如图，已知直线AB的解析式为y＝x+m，线段CD所在直线解析式为y＝﹣x+n，连接AD，点E为线段OA上一点，连接BE，使得∠EBO＝2∠BAD．
（1）求证：△AOD≌△BOC；
（2）求证：BE＝EC；
（3）当AD＝10，BE＝5时，求m与n的值．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1分别交y轴，x轴于点A，B，直线l2：y＝x+t分别交x轴，直线l1于点C，D．
（1）求点A、点B的坐标，并用含t的代数式表示，C，D的坐标；
（2）连接AC，若AC＝BC，求t的值；
（3）P是x轴上的一点，连结AP，DP，若AP＝DP，且∠APD＝90°，求t的值．
21．如图，直线y＝kx+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0），点P（x，y））是第二象限内的直线上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）在点P的运动过程中，写出△OPA的面积S与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当点P运动到什么位置（求P的坐标）时，△OPA的面积是．
22．如图1，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线AB：y＝kx+3与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（2，n），与x轴分别交于点B（﹣6，0）和点C．点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F．
（1）填空：k＝　 　；n＝　 　；b＝　 　；
（2）求△ABC的面积；
（3）当点E落在y轴上时，求点E的坐标；
（4）若△DEF为直角三角形，求点D的坐标．
23．在“综合与探究”课上，张老师让每名同学在练习本上画出一个长方形，随后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题．经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了侯老师的认可，同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧．如图1，分别以长方形OABC的边OC，OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，已知AO＝10，AB＝6，点E在线段OC上，以直线AE为轴，把△OAE翻折，点O的对应点D恰好落在线段BC上．
（1）分别求点D，E的坐标．
（2）如图2，若直线AD与x轴相交于点F，求直线AD表达式及点F的坐标．
（3）在（2）的条件下，P是x轴上的一动点，是否存在以A，P，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在本题的探究过程中，你感悟到哪些数学思想，请至少写出两条．
24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与直线l2交于点C，C点到x轴的距离CD为，直线l2交x轴于点B，且∠ABC＝30°．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，求出此时点F的坐标，以及CE+EF+AF的最小值；
（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H重合，点C与点G重合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△B'G'H'，在平移过程中，设直线B'H'与x轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B'MG'为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1．解：①x＝0时，S＝24，所以A、B两地相距24千米，故①正确；
②甲车比乙车行完全程多用了0.6﹣0.5＝0.1小时，故②正确；
③甲的速度为：24÷0.6＝40千米/小时，
乙的速度为：24÷0.5＝48千米/小时，
48﹣40＝8千米/小时，
所以，甲车的速度比乙车慢8千米/小时错误，故③正确；
④24÷（48+40）＝小时，
所以，两车出发后，经过小时相遇，故④错误；
综上所述，正确的有①②③共3个正确，
故选：B．
2．解：由图象可得，
施工2小时，甲队的施工速度比乙队的施工速度慢，故①错误；
甲的施工速度为：60÷6＝10（米/时），当2≤x≤6时，乙的施工速度为：（50﹣30）÷（6﹣2）＝5（米/时），
施工4小时，甲队施工10×4＝40（米），乙队施工30+5×（4﹣2）＝40（米），故②正确；
施工6小时，甲队比乙队多施工了60﹣50＝10（米），故③正确；
设路面铺设任务的长度为s米，
＝+6，
解得，s＝110，
即路面铺设任务的长度为110米，故④错误；
故选：B．
3．解：由图象可知，10min时，甲气球都上升了30m，乙气球都上升了30﹣10＝20（m），故选项A不合题意；
乙气球的速度为：（30﹣10）÷10＝2（m/min），故选项B不合题意；
30min时，乙气球离地面的高度为：10+30×2＝70（m），故选项C不合题意；
甲气球的速度为：30÷10＝3（m/min），故30min时，甲气球的高度为：30×3＝90（m），
故30min时，甲乙两只气球的高度差为：90﹣70＝20（m），故选项D符合题意．
故选：D．
4．解：由图象可得，
A，B之间的距离为1200m，故①正确；
根据题意和图象中的信息，不能得到甲和乙谁先到达目的地，故无法判断乙的速度和甲的速度的关系，故②错误；
甲乙的速度之和为：1200÷12＝100（m/min），则b＝（24﹣12﹣4）×100＝800，故③正确；
甲和乙中走的快的速度为：1200÷（24﹣4）＝60（m/min），．走的较慢的速度为100﹣60＝40（m/min），
则a＝1200÷40+4＝30+4＝34，故④正确；
故选：B．
5．解：小明首次到达目的地之前的速度是＝80（米/分），
故A不正确；
两地间的距离为：80×35＝2800（米），
小李在小明到达目的地时行走的路程为：65×（35﹣5）＝65×30＝1950（米），
∴2800﹣1950＝850（米），
此时，小李距目的地还有850米，
故B不正确；C正确；
D、850﹣65×10＝200（米），200÷（47﹣45）＝100（米/分），100﹣65＝35（米/分），
故D不正确；
故选：C．
6．解：由题意得：
山的高度是720米，故①正确；
l1表示的是小强爬山的情况，l2表示的是爷爷爬山的情况，故②错误；
小强爬山的速度为：720÷60＝12（米/分），爷爷爬山的速度为：（720﹣240）÷80＝6（米/分），故③正确；
爷爷比小强先出发：240÷6＝40（分钟），故④错误．
故正确的有2个．
故选：B．
7．解：由图可得，
两人前行过程中的速度为4000÷20＝200（米/分），故①正确；
m的值是20﹣5＝15，n的值是200×15＝3000，故②正确；
爸爸返回时的速度为：3000÷（45﹣15）＝100（米/分），
则东东开始返回时与爸爸相距：4000﹣3000+100×5＝1500（米），故③正确；
运动18分钟时两人相距：200×（18﹣15）+100×（18﹣15）＝900（米），
东东返回时的速度为：4000÷（45﹣20）＝160（米/分），
则运动30分钟时，两人相距：1500﹣（160﹣100）×（30﹣20）＝900米，故④正确，
∴结论中正确的是①②③④．
故选：D．
8．解：由题意可得：甲步行速度＝＝60（米/分）；
故①结论正确；
设乙的速度为：x米/分，
由题意可得：16×60＝（16﹣4）x，
解得x＝80，
∴乙的速度为80米/分；
∴乙走完全程的时间＝＝30（分），
故②结论错误；
由图可得，乙追上甲的时间为：16﹣4＝12（分）；
故③结论错误；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360（米），
故④结论错误；
故正确的结论有①共1个．
故选：A．
9．解：由图象可得，
a＝4+0.5＝4.5，故①正确；
甲的速度是460÷（7+）＝60（km/h），故②正确；
设乙刚开始的速度是vkm/h，则后来的速度为（v﹣50）km/h，
4v+（7﹣4.5）×（v﹣50）＝460，
解得v＝90，故③错误；
设乙出发第一次追上甲用时th，
90t＝60（t+），
解得t＝，
h＝80min，故④正确；
故选：B．
10．解：设甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝kx+b，
则，
解得，
∴y＝x+5，故选项A不合题意；
由图象可知，10min时，甲气球在乙气球下方，故选项B不合题意；
由甲气球上升过程中y与x的函数关系为y＝x+5，可知甲气球上升速度为1m/min，
乙气球上升速度为：（25﹣15）÷20＝0.5（1m/min），
设两气球高度差为15m时，上升时间为xmin，根据题意，得：
5+x﹣（15+0.5x）＝15，
解得x＝50，
所以两气球高度差为15m时，上升时间为50min，故选项C符合题意；
上升60min时，乙气球距离地面高度为：15+0.5×60＝45（m），故选项D不合题意．
故选：C．
11．解：由图可得，
甲步行的速度为：240÷4＝60米/分，故①正确；
乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）＝30（分钟），故②错误；
乙追上甲用的时间为：16﹣4＝12（分钟），故③错误；
乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故④错误．
故选：A．
12．解：由图象可知，CD段表示小明在某小区服务，
该小区距离小明家12千米，
故①正确；
AB段是小明休息的过程，时间为：0.75﹣0.5＝0.25（小时），
故②正确；
小明骑车从家到A点时，速度为：8÷0.5＝16（千米/小时），
∵BC∥OA，
∴BC段速度也是16千米/小时，
∴BC段小明所用时间为：＝0.25（小时），
小明从家到达某小区所用时间为为：0.75+0.25＝1（小时），
∴去时平均速度为：12÷1＝12（千米/小时），
故③错误；
CD段所用时间为：2﹣1＝1（小时），
故④正确；
返程时速度为12×＝9（千米/小时），
返程时所用时间为12÷9＝（小时），
∴a＝2+＝3（小时），
故⑤正确．
故选：C．
13．解：由图象可得，
普通巴士的速度是：（300﹣120）÷3＝60（km/h），故选项A不符合题意；
特快巴士返回甲地时的速度为：300÷（7﹣3﹣）＝80（km/h），故选项B不符合题意；
设行驶过程中，特快巴士与普通巴士的相遇时间为a小时，
60a+80（a﹣3﹣）＝300，
解得a＝4，故选项C不符合题意；
普通巴士到达乙地时用的时间为：300÷60＝5（小时），
∴普通巴士到达乙地时，特快巴士与甲地之间的距离为：80×（7﹣5）＝180（千米），故选项D符合题意；
故选：D．
14．解：由图象可得，
小明在10到50分时的速度为：（12﹣2）÷（50﹣10）＝0.25（千米/分钟），故①正确；
小斌后半段用的时间为：（15﹣12）÷0.15＝20（分钟），故斌休息的时间为：65﹣20﹣40＝5（分钟），故②错误；
小明最后一段的速度为：（15﹣12）÷（60﹣50）＝0.3（千米/分钟），
设小明和小斌在a分时刚好相遇，
12+（a﹣50）×0.3＝12+（a﹣40﹣5）×0.15，
解得a＝55，故③正确；
当t＝10时，小斌走的路程为：12÷40×10＝3（千米），
∵3﹣2＝1＞0.2，
∴当0＜t＜10时，小明和小斌相距0.2千米的次数有1次，
当t＝45时，两人相距12﹣2﹣0.25×（45﹣10）＝1.25（千米），
∵1.25＞0.2，
∴在10＜t＜45这个过程中，不存在小明和小斌相距0.2千米；
由图象可得，两人相遇前和相遇后存在两次小明和小斌相距0.2千米；
在小斌到达目的地时，存在最后一次小明和小斌相距0.2千米；
由上可得，在整个过程中，小明和小斌相距0.2千米的次数有4次，故④正确；
故选：C．
15．解：由题意可知，
甲车的速度是：240÷4＝60（千米/小时），故选项A不合题意；
乙车的速度是：60÷（）＝90（千米/小时），故选项B不合题意；
设甲出发x小时后两车相遇，则60x+90（x﹣）＝240，
解得x＝，
所以甲车与乙车在早上10时48分相遇，故选项C符合题意；
乙车到达A地的时间为：10+（240﹣60）÷90＝12（时），故选项D不合题意；
故选：C．
16．解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，
∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP和△NPD中，
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴DN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP中，由勾股定理得：PC＝PD＝＝，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝2，
则C的坐标是（0，3），
设直线CD的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k＝﹣，
即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，
即方程组得：，
即Q的坐标是（，）．
故选：D．
17．解：2400÷60＝40米/分，2400÷24＝100米/分，
100﹣40＝60米/分，
2400÷60＝40分，
40×40＝1600米，
因此点A的坐标为（40，1600）
故答案为：（40，1600）．
18．解：由题意得：B（12，2400），D（22，0），F（25，0），E（0，2400）
设直线BD、EF的关系式分别为s1＝k1t+b1，s2＝k2t+b2，
把B（12，2400），D（22，0），F（25，0），E（0，2400）代入相应的关系式得：
，，
解得：，，
直线BD、EF的关系式分别为s1＝﹣240t+5280，s2＝﹣96t+2400，
当s1＝s2时，即：﹣240t+5280＝﹣96t+2400，
解得：t＝20，
故答案为：20．
19．（1）证明：在y＝x+m中，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝﹣m，
∴A（﹣m，0），B（0，m），
∴OA＝OB＝m，
在y＝﹣x+n中，令x＝0，则y＝n，令y＝0，则x＝n，
∴C（n，0），D（0，n），
∴OC＝OD＝n，
在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
（2）证明：由（1）知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠CDO＝45°，
∵△AOD≌△BOC，
∴∠ADB＝∠BCO，
∵∠ADO＝∠ABO+∠BAD＝45°+∠BAD，
∠BCO＝∠DCO+∠BCD，
∴∠BAD＝∠BCD，
设∠BAD＝∠DCB＝α，则∠EBO＝2∠BAD＝2α，
∴∠DBC＝45°﹣α，
∵∠ECB＝∠DCO+∠BCD＝45°+α，
∠EBC＝∠EBO+∠CBO＝2α+45°﹣α＝45°+α，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝EC；
（3）解：由（1）知OA＝OB＝m，OC＝OD＝n，
∵∠AOD＝∠BOE＝90°，
∴AO2+OD2＝AD2，OB2+OE2＝BE2，
∵AD＝10，BE＝CE＝5，
∴m2+n2＝102，m2+（5﹣n）2＝（5）2，
∴m＝4，n＝2．
20．解：（1）∵直线l1：y＝x+1分别交y轴，x轴于点A，B，
令x＝0，则y＝1，
故点A的坐标为（0，1），
令y＝0，则x＝﹣3，
故点B的坐标为（﹣3，0），
∵直线l2：y＝x+t分别交x轴，直线l1于点C，D，
令y＝0，则x+t＝0，
解得：x＝﹣2t，
∴点C的坐标为（﹣2t，0），
∵直线l2：y＝x+t与直线l1交于点D，
∴，
解得，
故点D的坐标为（6﹣6t，3﹣2t）；
综上，A点坐标为（0，1），B点坐标为（﹣3，0），C点坐标为（﹣2t，0），D点坐标为（6﹣6t，3﹣2t）；
（2）连接AC，
∵A点坐标为（0，1），B点坐标为（﹣3，0），C点坐标为（﹣2t，0），
∴BC＝﹣2t﹣（﹣3）＝3﹣2t，AC＝＝，
∵AC＝BC，
∴＝3﹣2t，
解得：t＝；
（3）过点D作DH⊥x轴于H，
设P（m，0），
∵∠APD＝90°，
∴∠APO+∠DPH＝90°，∠APO+∠PAO＝90°，
∴∠DPH＝∠PAO，
∵∠AOP＝∠PHD＝90°，AP＝PD，
∴△PAO≌△DPH（AAS），
∴AO＝PH＝1＝|6﹣6t﹣m|，OP＝DH＝|3﹣2t|＝|m|，
当m＝3﹣2t时，|6﹣6t﹣3+2t|＝|3﹣4t|＝1，
解得t＝或t＝1（A，D重合舍去），
故t＝，
当m＝﹣（3﹣2t）时，|6﹣6t+3﹣2t|＝|9﹣8t|＝1，
解得t＝或t＝1（舍），
故 t＝，
综上，t＝或t＝．
21．解（1）∵E（﹣8，0）在y＝kx+6上，
∴﹣8k+6＝0，
∴k＝
（2）如图1，
∵点P（x，y）在y＝x+6上，
∴y＝x+6，
∵P在第二象限，
∴y＞0，
∴PQ＝y＝x+6，
∴S△OPA＝＝，
∴S＝（﹣8＜x＜0）；
（3）当S＝时，
x+18＝，
∴x＝﹣5，
当x＝﹣5时，
y＝+6＝，
∴P（﹣5，）．
22．解：（1）把B（﹣6，0）代入kx+3，
∴﹣6k+3＝0，
∴k＝，
∴直线AB解析式：y＝x+3，
把点A（2，n）代入y＝x+3，
∴n＝4，
∴A（2，4），
把（2，4）代入y＝﹣2x+b得，
﹣4+b＝4，
∴b＝8，
故答案为：；4；8；
（2）∵直线AC：y＝﹣2x+8，
∴点C（4，0），
∵点A（2，4），点B（﹣6，0）和点C（4，0），
∴BC＝10，△ABC的BC边上的高为4，
∴S△ABC＝×10×4＝20；
（3）如图，过点A作AH⊥y轴于点H，
∴AH＝2，AE2＝AB2＝（﹣6﹣2）2+42＝80，
∴HE＝＝2，
∴OE＝HE﹣OH＝2﹣4，
∴E点的坐标为（0，4﹣2）；
（4）△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：
当∠EDF＝90°时，
如图，由对折可得，∠ADB＝∠ADE＝＝135°，
∴∠ADO＝135°﹣90°＝45°，
过点A作AG⊥BC于G，
∴AG＝DG＝4，
∵OG＝2，
∴OD＝2，
∴D（﹣2，0）；
当∠DFE＝90°时，
由对折得，AE＝AB＝＝4，BD＝DE，
∴EF＝4﹣4，
由A、B两点坐标可得：BF＝2﹣（﹣6）＝8，
设DF＝m，则BD＝8﹣m，
∴DE＝8﹣m，
∴（8﹣m）2＝m2+（4﹣4）2，
∴m＝2﹣2，
∴OD＝DF﹣OF＝2﹣2﹣2＝2﹣4，
∴D（4﹣2，0），
综上，D（﹣2，0）或（4﹣2，0）．
23．解：（1）如图1，由折叠得：AD＝AO＝10，OE＝DE，
Rt△ABD中，AB＝6，
∴BD＝＝＝8，
∵OA＝BC＝10，
∴CD＝10﹣8＝2，
∴D（6，2），
设OE＝x，则EC＝6﹣x，
由勾股定理得：DE2＝EC2+CD2，
∴x2＝（6﹣x）2+22，
解得：x＝，
∴E（，0）；
（2）设AD的解析式为：y＝kx+b，
把A（0，10）和D（6，2）代入得：
，
解得：，
∴AD的解析式为：y＝﹣x+10，
当y＝0时，﹣x+10＝0，
∴x＝，
∴F（，0）；
（3）①当AP＝AF时，
∵AO⊥x轴，F（，0），
∴OP＝OF＝，
∴P（﹣，0）；
②当AF＝FP时，
由勾股定理得：AF＝＝，
∴OP′＝﹣＝5，OP＝+＝20，
∴P′（﹣5，0），P（20，0）；
③当AP＝FP时，
由勾股定理得：FP2＝AP2＝OP2+OA2，
∴（OP+）2＝OP2+102，
解得：OP＝，
∴P（﹣，0），
综上，点P的坐标为（﹣，0）或（﹣5，0）或（20，0）或（﹣，0）；
（4）在本题的探究过程中，由（1）可知利用数形结合的思想，由（2）和（1）列方程可解答，利用了方程思想，由（3）运用了分类讨论的思想．
24．解：（1）点C的纵坐标为2，点C在直线l1上，则点C（﹣1，2），
∴CD＝2，OD＝1，
∵∠ABC＝30°，
∴CD＝BD，BD＝CD＝6，
∴OB＝BD﹣OD＝5，
则l2的表达式为：y＝﹣x+b，
将点C的坐标代入l2表达式并解得：b＝，
故直线l2的表达式为：y＝﹣x+；
（2）直线l2的表达式为：y＝﹣x+，
则点B（5，0），
直线与x轴交于点A，则点A（﹣3，0），
作点A关于y轴的对称点A′（3，0），过点A′作x轴的垂线并取A′E′＝，
连接E′C交y轴于点E，在E下方取EF＝，则点F是所求点，
将点C、E′的坐标代入一次函数表达式，
同理可得：CE′的函数表达式为：y＝﹣x+，
故点E（0，），点F（0，）；
CE+EF+AF的最小值＝FE+CE′＝+；
（3）AB＝8，BC＝4，AC＝4，
如图3，过点H作HR⊥x轴于点R，过点H作HK⊥y轴于点K，
△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，
则∠ABH＝60°，则RH＝HBsin60°＝ABsin60°＝8×＝4，
同理HK＝1，故点H（1，﹣4），
同理点G（﹣1，﹣2）；
设△BHG向右平移m个单位，则向下平移m个单位，
则点B′（5+m，﹣m）、点H′（1+m，﹣4﹣m）、点G′（﹣1+m，﹣2﹣m），
将点H′、B′的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线H′B′的表达式为：y＝x﹣（5+4m），则点M（5+m，0），
则B′M2＝（）2+m2＝，
同理G′M2＝m2+48+8m，B′G′2＝BC2＝48，
①当B′M＝G′M时，＝m2+48+8m，解得m＝﹣2；
②当B′M＝B′G′时，＝48，解得：m＝±6；
③当G′M＝B′G′，m2+48+8m＝48，解得：m＝0（舍去）或﹣6；
故存在，点M（5+8，0）或（5﹣8，0）或（﹣3，0）或（﹣19，0）．故点M（5+8，0）或（5﹣8，0）或（﹣3，0）或（﹣19，0）．