2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 自主提升训练（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-5确定圆的条件》自主提升训练（附答案）
1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
2．下列命题正确的个数有（　　）
①过两点可以作无数个圆； ②经过三点一定可以作圆；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．三角形的三边长为6，8，10，那么此三角形的外接圆的半径长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm．若以点B为圆心，以4cm长为半径作⊙B，则下列选项中的各点在⊙B外的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝2，则⊙O的半径长是（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（　　）
A．10 B．6 C．6 D．12
8．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则∠BAC的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的个数有（　　）
①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；
③等弧所对的圆心角相等；
④过三点可以画一个圆；
⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（　　）
A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°
11．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC的面积为（　　）
A．2+ B． C．2+或2﹣ D．4+2或2﹣
12．点P到⊙O的最近点的距离为2cm，最远点的距离为7cm，则⊙O的半径是（　　）
A．5cm或9cm B．2.5cm
C．4.5cm D．2.5cm或4.5cm
13．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
14．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
15．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）
A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣
16．如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
17．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），　 　确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
18．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝　 　．
19．点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 　 　．
20．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
21．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图1，若AB是⊙O的直径，AB＝6，求AD的长；
（Ⅱ）如图2，若∠BAC的平分线交CD于点E，求证：DE＝DA．
22．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为上一点，且BE＝CF．
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）若∠ABC＝∠EAC，AE＝4，求AC的长．
23．已知△ABC内接于⊙O．
（Ⅰ）如图①，AP是⊙O的直径，∠BAP＝25°，求∠C的度数；
（Ⅱ）如图②，连接AO并延长交BC于点M，且AM⊥BC．连接BO并延长交AC于点N，且BN⊥AC．求∠C的度数．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，连接AD，过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，延长DC、BE交于点F．
求证：（1）DB＝DF；
（2）四边形AEFD是平行四边形．
参考答案
1．解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
2．解：①过两点可以作无数个圆，正确；
②经过三点一定可以作圆，错误；
③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确；
④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，
正确的有2个，
故选：B．
3．解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；
④圆内接四边形对角互补；正确；
故选：C．
4．解：∵62+82＝102，
∴此三角形是斜边为10的直角三角形，
∴此三角形的外接圆的直径是10，
∴此三角形的外接圆半径是 ＝5，故选：D．
5．解：连接BD，
在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，
∴BC＝AD＝4cm，∠C＝90°，
∴BD＝＝5（cm），
∵AB＝3cm＜4cm，BD＝5cm＞4cm，BC＝4cm，
∴点C在⊙B上，点D在⊙B外，点A在⊙B内．故选：D．
6．解：连接OA、OB，
∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝2∠C＝90°，
∴OA2+OB2＝AB2，即2OA2＝8，
解得：OA＝2，
故选：A．
7．解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴⊙O的直径等于12．
故选：D．
8．解：如图，延长CO交⊙O于点D，连接BD，
在Rt△BCD中，sin∠BDC＝＝＝，
由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC，
∴sin∠BAC＝，
故选：A．
9．解：①平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，故不符合题意；
②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的优弧和劣弧分别相等，故不符合题意；
③等弧所对的圆心角相等，故符合题意；
④过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，故不符合题意；
⑤圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故不符合题意；
⑥三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，故不符合题意．
故选：A．
10．解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，∠A′＝140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°．
故选：C．
11．解：由题意可得，如右图所示
存在两种情况，
当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，OB＝OC＝BC＝2，OA1⊥BC于点D，
∴CD＝1，OD＝，
∴＝2﹣，
当△ABC为△A2BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，OB＝OC＝BC＝2，OA2⊥BC于点D，
∴CD＝1，OD＝，
∴S△A2BC＝＝＝2+，
由上可得，△ABC的面积为或2+，
故选：C．
12．解：①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为7，
∴圆的直径为7﹣2＝5，
∴该圆的半径是2.5；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为2，最长距离为7，
∴圆的直径＝7+2＝9，
∴圆的半径为4.5，
故选：D．
13．解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
14．解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：C．
15．解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；
故选：B．
16．解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
∵CE＝EP，CH＝AH，
∴EH＝PA＝1，
∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
∵C（0，4），A（3，0），
∴H（1.5，2），
∴OH＝＝2.5，
∴OE的最小值＝OH﹣EH＝2.5﹣1＝1.5，
故选：B．
17．解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），A（1，﹣3），
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
18．解：连接AB，则AB为⊙M的直径．
Rt△ABO中，∠BAO＝∠OCB＝60°，
∴OB＝OA＝×＝．
过B作BD⊥OC于D．
Rt△OBD中，∠COB＝45°，
则OD＝BD＝OB＝．
Rt△BCD中，∠OCB＝60°，
则CD＝BD＝1．
∴OC＝CD+OD＝1+．
故答案为：1+．
19．解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝4+9＝13（cm），
∴半径r＝6.5cm；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，
∴直径AB＝9﹣4＝5（cm），
∴半径r＝2.5cm．
综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．
故答案为：6.5cm或2.5cm．
20．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD＝BD＝4，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝4，
∴△ABC外接圆的半径＝×4＝2．
21．（Ⅰ）解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∴∠AOD＝90°，
即△AOD为等腰直角三角形，
∵AB＝6，
∴OA＝OD＝3．
∴；
（Ⅱ）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠BCD＝∠BAD，
∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠BAD，
∴∠ACD+∠CAE＝∠BAD+∠EAB，
即∠EAD＝∠AED，
∴DE＝DA．
22．（1）证明：∵BE＝CF，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵AF⊥BC，
∴∠CAF+∠ACB＝90°，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠AEB，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝90°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）解：连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ABC＝∠EAC，
∴＝，
∴AC＝CE，
∴AC＝AE＝2．
23．解：（1）∵AP为直径，
∴∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°﹣∠BAP＝65°，
∴∠C＝∠APB＝25°．
（2）∵AM⊥BC，
∴点M为BC中点，
∴AB＝AC，
∵BN⊥AC，
∴点N为AC中点，
∴AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，即△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°．
24．证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由圆周角定理得：∠ADB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵BE∥AD，
∴∠ADB＝∠DBF，∠DFB+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠DBF，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠DFB，
∴∠DFB＝∠DBF，
∴DB＝DF；
（2）由圆周角定理得：∠ADB＝∠AEB，
∴∠DBF＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠DFB，
∴AE∥CD，
∵BE∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．