2021-2022学年北师大版八年级数学上册7.5三角形的内角和 自主达标测评（word版、含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《7-5三角形的内角和》自主达标测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
2．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A＝45°，则∠ABD+∠ACD的值为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
3．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A＝50°，则∠D＝（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．如图，∠A＝35°，∠B＝∠C＝90°，则∠D的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．如图，△ABC的高CD、BE相交于点O，如果∠A＝60°，那么∠BOC的大小为（　　）
A．60° B．100° C．120° D．130°
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠使点A落在BC边上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DC＝（　　）
A．10° B．30° C．65° D．85°
8．如图，在△ABC中，∠A＝30°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．210° B．110° C．150° D．100°
9．如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（　　）
A．20° B．15° C．30° D．25°
二．填空题（共8小题，满分32分）
10．如图，在△ABC中，OB，OC分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且∠A＝68°，则∠BOC＝　 　．
11．如图，将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，若∠BDA′+∠CEA′＝70°，则∠A＝　 　°．
12．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A的对称点A'落在边BC上，若∠A＝50°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　．
13．在△ABC中，将∠B、∠C按如图所示方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝82°，则∠MGE＝　 　°．
14．如图，AF平分∠BAD，CF平分∠BCD的邻补角∠BCE，且AF与CF相交于点F，∠B＝40°，∠D＝20°，则∠F＝　 　°．
15．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是　 　．
16．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BO1、BO2是∠ABC的三平分线，CO1、CO2是∠ACB的三等分线，则∠BO1C＝　 　°，∠BO2C＝　 　°．
17．如图，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，则∠A1＝　 　，若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，则∠A2＝　 　，…，以此类推，则∠An﹣1BC与∠An﹣1CD的平分线相交于点An，则∠An的度数为　 　．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，F为边BC上一点，连接AF交CE于点G，∠CGF＝∠CFG．求证：AF平分∠BAC．
19．如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
（1）DE与AC平行吗？请说明理由；
（2）若∠BAC＝95°，∠B＝35°，求∠DEF的度数．
20．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．∠1＝∠2，∠3＝115°，∠A＝35°，求∠B的度数．
21．探究与发现：如图①，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
（3）深入探究：如图②，若∠B＝∠C，但∠C≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
22．如图（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O
（a）若∠A＝60°，求∠BOC的度数；
（b）若∠A＝n°，则∠BOC＝　 　；
（c）若∠BOC＝3∠A，则∠A＝　 　；
（2）如图（2），在△A′B′C′中的外角平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数；
（3）上面（1），（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？
23．（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°，求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数；
（3）若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为AD延长线上一点，FE⊥BC”，其它条件不变，请画出相应的图形，并直接写出∠DFE的度数．
已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　 　；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；
（3）在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．利用（1）的结论，试求∠P的度数；
（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）
参考答案
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴本选项不符合题意；
B、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝90°，∴本选项不符合题意；
C、设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，∴∠C＝90°，∴本选项不符合题意；
D、∵∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝2∠B＝3∠C，∴3∠C+∠C+∠C＝180°，解得∠C＝，∴∠A＝3∠C＝，∴本题选项符合题意．
故选：D．
2．解：在△ABC中，∵∠A＝45°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝135°﹣90°＝45°，
故选：B．
3．解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，
∴∠1＝∠ACE，∠2＝∠ABC，
又∵∠D＝∠1﹣∠2，∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
∴∠D＝∠A＝25°．
故选：C．
4．解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A+∠B＝∠C，
又∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，即∠C＝90°，
故该三角形是直角三角形．
故选：B．
5．解：∵∠B＝∠C＝90°，∠AOB＝∠COD，
∴∠D＝∠A＝35°．
故选：A．
6．解：如图，
∵CD、BE均为△ABC的高，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠OCE＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
则∠BOC＝∠BEC+∠OCE＝90°+30°＝120°．
故选：C．
7．解：∵折叠后点A落在边CB上A′处，∠ACB＝90°
∴折痕CD是角平分线，
∴∠A′CD＝∠ACD＝45°
又∵∠A＝50°，
∴∠A′DC＝∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝180°﹣50°﹣45°＝85°．
故选：D．
8．解：∵∠1与∠2是△ABC的外角，
∴∠1＝∠A+∠BCA，∠2＝∠A+∠ABC，
∴∠1+∠2＝∠A+∠BCA+∠A+∠ABC
＝30°+∠BCA+∠A+∠ABC，
∵∠BCA+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠1+∠2＝210°，
故选：A．
9．解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，
∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，
∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分32分）
10．解：∵∠A＝68°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝112°，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝56°，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝124°．
故答案为：124°．
11．解：∵将△ABC沿着DE对折，点A落到A'处，
∴∠EDA′＝∠EDA，∠DEA′＝∠DEA，
∵∠BDA′+2∠EDA＝180°，∠CEA′+2∠DEA＝180°，
∴∠BDA′+2∠EDA+∠CEA′+2∠DEA＝360°，
∵∠BDA′+∠CEA′＝70°，
∴∠EDA+∠DEA＝145°，
∴∠A＝35°，
故答案为：35．
12．解：∵∠A＝50°，
∴△ABC中，∠B+∠C＝130°，
又∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°﹣（∠B+∠C）＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．
13．解：∵线段MN、EF为折痕，
∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，
∵∠A＝82°，
∴∠B+∠C＝180°﹣82°＝98°，
∴∠MGB+∠EGC＝∠B+∠C＝98°，
∴∠MGE＝180°﹣98＝82°，
故答案为：82．
14．解：延长AF与BC相交于点G，
则∠AFC＝∠AGC+∠FCG
＝∠B+∠BAG+∠BCE
＝40°+∠BAD+（∠D+∠CHD）
＝40°+∠BAD+（20°+∠AHB）
＝40°+∠BAD+10°+∠AHB
＝50°+（∠BAH+∠BHA）
＝50°+（180°﹣40°）
＝120°．
故答案为：120．
15．解：如图，∠1＝45°﹣30°＝15°，
∠α＝90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°．
故答案为：75°
16．解：∵△ABC中，∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵BO1、BO2是∠ABC的三平分线，CO1、CO2是∠ACB的三等分线，
∴∠O2BC+∠O2CB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝80°，∠O1BC+∠O1CB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝40°，
∴∠BO1C＝180°﹣40°＝140°，∠BO2C＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：140；100．
17．解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
而∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠A1＝96°，
∴∠A1＝48°，
同理可得∠A1＝2∠A2，
即∠A＝22∠A2＝96°，
∴∠A2＝24°，
∴∠A＝2n∠An，
∴．
故答案为48°，24°，96°×．
三．解答题（共7小题，满分52分）
18．解：∵∠ACB＝90°，∠CAF+∠ACB+∠CFG＝180°，
∴∠CAF+∠CFG＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∵∠AEC+∠AGE+∠FAE＝180°，
∴∠AGE+∠FAE＝90°，
∵∠AGE＝∠CGF＝∠CFG，
∴∠CAF＝∠FAE，
∴AF平分∠BAC．
19．解：（1）结论：DE∥AC．
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠EDA＝∠DAC，
∴DE∥AC．
（2）∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠B＝55°，
∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠BAC＝95°，
∴∠DEF＝∠BED﹣∠BEF＝95°﹣55°＝40°
20．解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCB，
∴DG∥BC
∴∠ADG＝∠B，
∵∠ADG＝180°﹣∠A﹣∠3＝180°﹣115°﹣35°＝30°，
∴∠B＝30°．
21．解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝105°，
∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝105°﹣75°＝30°；
（2）∠BAD＝2∠CDE，
理由如下：设∠BAD＝x，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝45°+x，
∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝90°﹣x，
∴∠ADE＝∠AED＝，
∴∠CDE＝45°+x﹣＝x，
∴∠BAD＝2∠CDE；
（3）设∠BAD＝x，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠B+x，
∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝180°﹣2∠C﹣x，
∴∠ADE＝∠AED＝∠C+x，
∴∠CDE＝∠B+x﹣（∠C+x）＝x，
∴∠BAD＝2∠CDE．
22．解：（1）（a）∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°；
（b））∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣n°）＝90°﹣n°，
∴∠BOC＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°．
故答案为：90°+n°；
（c）∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠BOC＝3∠A，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，
∴90°﹣∠A+3∠A＝180°，解得∠A＝36°
故答案为：36°；
（2）∵∠A′＝40°，
∴∠A′的外角等于180°﹣40°＝140°，
∵△A′B′C′另外的两外角平分线相交于点O′，三角形的外角和等于360°，
∴∠1+∠2＝×（360°﹣140°）＝110°，
∴∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；
（3）∵由（1）知，∠BOC＝，
由（2）知，∠B′O′C′＝180°﹣，
∴∠B′O′C′＝180°﹣∠BOC．
23．解：（1）∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°；
（2）作AH⊥BC于H，如图②，
由（1）可得∠DAH＝15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE＝∠DAH＝15°；
（3）如图③所示，∠DFE＝15°．
理由：作AH⊥BC于H，
由（1）可得∠DAH＝15°，
∵FE⊥BC，
∴AH∥EF，
∴∠DFE＝∠DAH＝15°．
24．解：（1）在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，
在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），
∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）交点有点M、O、N，
以M为交点有1个，为△AMD与△CMP，
以O为交点有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，
以N为交点有1个，为△ANP与△CNB，
所以，“8字形”图形共有6个；
（3）∵∠D＝40°，∠B＝36°，
∴∠OAD+40°＝∠OCB+36°，
∴∠OCB﹣∠OAD＝4°，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，
又∵∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，
∴∠P＝∠DAM+∠D﹣∠PCM＝（∠OAD﹣∠OCB）+∠D＝×（﹣4°）+40°＝38°；
（4）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D＝∠OCB+∠B，∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，
所以，∠OCB﹣∠OAD＝∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM＝∠D﹣∠P，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM＝∠OAD，∠PCM＝∠OCB，
∴（∠D﹣∠B）＝∠D﹣∠P，
整理得，2∠P＝∠B+∠D．