2021- 2022年北师大版七年级数学下册 1.5 平方差公式 专题训练（word版含解析）

专题09 : 2022年北师大新版七年级（下） 1.5 平方差公式 - 期末复习专题训练
一、选择题（共10小题）
1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．（﹣x﹣y）（x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y）
2．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
3．如图，将一张正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，另一边为2m+3，则原正方形边长是（　　）
A．m+6 B．m+3 C．2m+3 D．2m+6
4．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
5．下列能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（x+y）
C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2）
6．下列各式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a+b）（a﹣2b） B．（x+2y）（x﹣2y）
C．（﹣a+2b）（a﹣2b） D．（﹣2m﹣n）（2m+n）
7．观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
8．如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成一个长方形，（如图②）则这个长方形的面积为（　　）
A．（a+2b）（a﹣2b） B．（a+b）（a﹣b）
C．（a+2b）（a﹣b） D．（a+b）（a﹣2b）
9．将2001×1999变形正确的是（　　）
A．20002﹣1 B．20002+1
C．20002+2×2000+1 D．20002﹣2×2000+1
10．计算（﹣x+y）（﹣x﹣y）的结果是（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y2 D．y2﹣x2
二、填空题（共5小题）
11．计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝　 　．
12．计算20212﹣2019×2023的结果是　 　．
13．根据（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1，…的规律，则可以得出22019+22018+22017+…+23+22+2+1的末位数字是　 　．
14．按照如图所示的程序计算，如开始输入的m值为，则最后输出的结果是　 　．
15．如图，根据阴影面积的两种不同的计算方法，验证了初中数学的哪个公式．答：　 　．
三、解答题（共5小题）
16．（a﹣4）（a+4）﹣2（a﹣1）（2a+2）．
17．计算：
（1）a6﹣（a2）3﹣（﹣2a3）2；
（2）（y+2）（y﹣2）﹣2（y﹣1）．
18．观察下列各式：
1﹣＝1﹣＝＝×；
1﹣＝1﹣＝＝×；
1﹣＝1﹣＝＝×；
1﹣＝1﹣＝＝×；
…
（1）用你发现的规律填空：1﹣＝　 　×　 　，1﹣＝　 　×　 　；
（2）用你发现的规律进行计算：
（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
19．计算：（a﹣b）（a+b）﹣（a﹣b）2．
20．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是　 　；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）．
专题09 : 2022年北师大新版七年级（下） 1.5 平方差公式 - 期末复习专题训练
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（x﹣y）（﹣x+y） B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．（﹣x﹣y）（x﹣y） D．（x+y）（﹣x+y）
【解答】解：A、（x﹣y）（﹣x+y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y），含y的项符号相同，含x的项符号相同，不能用平方差公式计算，故本选项正确；
B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项错误；
故选：A．
2．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2；
第二个图形是长方形，则面积＝（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
3．如图，将一张正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，另一边为2m+3，则原正方形边长是（　　）
A．m+6 B．m+3 C．2m+3 D．2m+6
【解答】解：设原正方形的边长为x，则x﹣m＝3，
解得，x＝m+3，
故选：B．
4．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【解答】解：左图的阴影部分的面积为a2﹣b2，右图的阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
5．下列能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣x+y）（x﹣y） B．（﹣x+y）（x+y）
C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2）
【解答】解：（﹣x+y）（x+y）＝（y﹣x）（y+x）＝y2﹣x2．
故选：B．
6．下列各式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（a+b）（a﹣2b） B．（x+2y）（x﹣2y）
C．（﹣a+2b）（a﹣2b） D．（﹣2m﹣n）（2m+n）
【解答】解：（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2ab+ab﹣2b2＝a2﹣ab﹣2b2，
（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣（2y）2＝x2﹣4y2，
（﹣a+2b）（a﹣2b）＝﹣（a﹣2b）2＝﹣a2+4ab﹣4b2，
（﹣2m﹣n）（2m+n）＝﹣（2m+n）2＝﹣4m2﹣4mn﹣n2．
故选：B．
7．观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2
【解答】解：图1：长方形的面积为：（a+b）（a﹣b），
图2：剪掉边长为b的正方形的面积为：a2﹣b2，
所以从图1到图2可用式子表示为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
故选：A．
8．如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成一个长方形，（如图②）则这个长方形的面积为（　　）
A．（a+2b）（a﹣2b） B．（a+b）（a﹣b）
C．（a+2b）（a﹣b） D．（a+b）（a﹣2b）
【解答】解：图②长方形的长为（a+2b），宽为（a﹣2b），因此阴影部分的面积为（a+2b）（a﹣2b），
故选：A．
9．将2001×1999变形正确的是（　　）
A．20002﹣1 B．20002+1
C．20002+2×2000+1 D．20002﹣2×2000+1
【解答】解：原式＝（2000+1）×（2000﹣1）＝20002﹣1，
故选：A．
10．计算（﹣x+y）（﹣x﹣y）的结果是（　　）
A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y2 D．y2﹣x2
【解答】解：（﹣x+y）（﹣x﹣y）
＝（﹣x）2﹣y2
＝x2﹣y2．
故选：C．
二、填空题（共5小题）
11．计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝　9y2﹣4x2　．
【解答】解：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）
＝（﹣3y）2﹣（2x）2
＝9y2﹣4x2．
故答案为：9y2﹣4x2
12．计算20212﹣2019×2023的结果是　4　．
【解答】解：20212﹣2019×2023
＝20212﹣（2021﹣2）×（2021+2）
＝20212﹣20212+4
＝4．
故答案为：4．
13．根据（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1，…的规律，则可以得出22019+22018+22017+…+23+22+2+1的末位数字是　5　．
【解答】解：22019+22018+22017+…+23+22+2+1＝（2﹣1）×（22019+22018+22017+…+23+22+2+1）＝22020﹣1，
21的末位数字是2，22的末位数字是4，23的末位数字是8，24的末位数字是6，25的末位数字是2…，
所以2n的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．
2020÷4＝505，
所以22020的末尾数字是6，
22020﹣1的末尾数字是5．
故答案为：5
14．按照如图所示的程序计算，如开始输入的m值为，则最后输出的结果是　15　．
【解答】解：∵当m＝时，（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1＝4＜12；
当m＝4时，（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1＝15＞12．
∴最后输出的结果为15．
故答案为：15．
15．如图，根据阴影面积的两种不同的计算方法，验证了初中数学的哪个公式．答：　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　．
【解答】解：左边图形的面积是：a2﹣b2，
右边图形的面积是：（a+b）（a﹣b），
∴根据阴影面积的两种不同的计算方法，验证了初中数学的平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
三、解答题（共5小题）
16．（a﹣4）（a+4）﹣2（a﹣1）（2a+2）．
【解答】解：（a﹣4）（a+4）﹣2（a﹣1）（2a+2）
＝a2﹣42﹣4（a﹣1）（a+1）
＝a2﹣16﹣4（a2﹣1）
＝a2﹣16﹣4a2+4
＝﹣3a2﹣12．
17．计算：
（1）a6﹣（a2）3﹣（﹣2a3）2；
（2）（y+2）（y﹣2）﹣2（y﹣1）．
【解答】解：（1）a6﹣（a2）3﹣（﹣2a3）2
＝a6﹣a6﹣4a6
＝﹣4a6；
（2）（y+2）（y﹣2）﹣2（y﹣1）
＝y2﹣4﹣2y+2
＝y2﹣2y﹣2．
18．观察下列各式：
1﹣＝1﹣＝＝×；
1﹣＝1﹣＝＝×；
1﹣＝1﹣＝＝×；
1﹣＝1﹣＝＝×；
…
（1）用你发现的规律填空：1﹣＝　　×　　，1﹣＝　　×　　；
（2）用你发现的规律进行计算：
（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．
【解答】解：（1）1﹣
＝（1﹣）×（1+）
＝，
1﹣
＝（1﹣）×（1+）
＝，
故答案为：，，，；
（2）原式＝××××××…××××
＝×
＝．
19．计算：（a﹣b）（a+b）﹣（a﹣b）2．
【解答】解：（a﹣b）（a+b）﹣（a﹣b）2
＝a2﹣b2﹣（a2﹣2ab+b2）
＝a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2
＝2ab﹣2b2．
20．如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是　B　；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．a2+ab＝a（a+b）
D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）……（1﹣）（1﹣）．
【解答】解：（1）左图中，阴影部分的面积为：a2﹣b2，右图阴影部分的面积为：（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：B．
（2）①∵x2﹣4y2＝12，
∴（x+2y）（x﹣2y）＝12，
又∵x+2y＝4，
∴x﹣2y＝12÷4＝3，
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）……（1﹣）（1+）（1﹣）（1+），
＝××××××……××××，
＝×，
＝．