2021-2022学年北师大版数学七年级下册专题11 1.6完全平方公式-期末复习专题训练（Word版含答案）

专题11 : 2022年北师大新版七年级（下）1.6 完全平方公式 - 期末复习专题训练
一、选择题（共10小题）
1．已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（　　）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
2．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（　　）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
3．如果多项式p＝a2+2b2+2a+4b+2025，则p的最小值是（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
4．已知x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．﹣16
5．多项式4x2+mxy+25y2是完全平方式，则m的值是（　　）
A．20 B．10 C．10或﹣10 D．20或﹣20
6．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣2a3）2＝4a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C． D．2a3 3a2＝6a5
7．下列运算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．2（a+1）＝2a+1
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a6÷a3＝a3
8．若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
9．如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知x+＝5，那么x2+＝（　　）
A．10 B．23 C．25 D．27
二、填空题（共5小题）
11．下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a﹣b）5＝　 　．
12．已知a+b＝5，ab＝3．则（a﹣b）2的值为　 　．
13．若多项式x2﹣mx+9是一个完全平方式，那么m＝　 　．
14．如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是　 　．
15．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝8，ab＝13，则阴影部分的面积为　 　．
三、解答题（共5小题）
16．（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）
17．在学习“乘法公式”时，育红中学七（1）班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段AB和CD．把大正方形分成四部分（如图所示）．
观察发现
（1）请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系：　 　．
类比操作
（2）请你作一个图形验证：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2．
延伸运用
（3）若AB+CD＝14，图中阴影部分的面积和为13，求xy的值．
18．发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数；
验证 （1）（﹣1）2﹣（﹣3）2的结果是4的几倍？
（2）设三个连续的整数中间的一个为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它是4的倍数；
延伸任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数，请说明理由．
19．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
20．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝　 　；
（2）代数式为完全平方式，则k＝　 　；
（3）解方程：＝6x2+7．
专题11 : 2022年北师大新版七年级（下）1.6 完全平方公式 - 期末复习专题训练
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（　　）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
【解答】解：根据题意，原式是一个完全平方式，
∵64y2＝（±8y）2，
∴原式可化成＝（x±8y）2，
展开可得x2±16xy+64y2，
∴kxy＝±16xy，
∴k＝±16．
故选：D．
2．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（　　）
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．
故选：C．
3．如果多项式p＝a2+2b2+2a+4b+2025，则p的最小值是（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【解答】解：p＝a2+2b2+2a+4b+2025，
＝（a2+2a+1）+（2b2+4b+2）+2022，
＝（a+1）2+2（b+1）2+2022，
当（a+1）2＝0，（b+1）2＝0时，p有最小值，
最小值为2022．
故选：A．
4．已知x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．﹣16
【解答】解：∵x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，
∴则a可为：16．
故选：C．
5．多项式4x2+mxy+25y2是完全平方式，则m的值是（　　）
A．20 B．10 C．10或﹣10 D．20或﹣20
【解答】解：∵4x2+mxy+25y2是完全平方式，
∴（2x）2±2 2x 5y+（5y）2
∴mxy＝±20xy，
m＝±20
故选：D．
6．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣2a3）2＝4a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C． D．2a3 3a2＝6a5
【解答】解：A、（﹣2a3）2＝4a6，故此选项错误；
B、（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，故此选项错误；
C、＝2a+，故此选项错误；
D、2a3 3a2＝6a5，此选项正确．
故选：D．
7．下列运算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．2（a+1）＝2a+1
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a6÷a3＝a3
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，错误；
B、2（a+1）＝2a+2，错误；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；
D、a6÷a3＝a3，正确；
故选：D．
8．若一个正方形的边长增加2cm，则面积相应增加了32cm2，那么这个正方形的边长为（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【解答】解：设这个正方形的边长为xcm，
由题意得，（x+2）2﹣x2＝32，
解得，x＝7，
故选：C．
9．如果（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，且a、b是长方形的长和宽，则这个长方形的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵（a+b）2＝16，（a﹣b）2＝4，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝12，
∴ab＝3，
∴长方形的面积为3，
故选：A．
10．已知x+＝5，那么x2+＝（　　）
A．10 B．23 C．25 D．27
【解答】解：x+＝5，
，
，
．
故选：B．
二、填空题（共5小题）
11．下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a﹣b）5＝　a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5　．
【解答】解：（a﹣b）5＝a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5，
故答案为：a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5．
12．已知a+b＝5，ab＝3．则（a﹣b）2的值为　13　．
【解答】解：∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×3＝13．
故答案为：13．
13．若多项式x2﹣mx+9是一个完全平方式，那么m＝　±6　．
【解答】解：∵多项式x2﹣mx+9是一个完全平方式，
∴mx＝±2 x 3，
∴m＝±6．
14．如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是　±12　．
【解答】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴m＝±12，
故答案为：±12
15．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝8，ab＝13，则阴影部分的面积为　12.5　．
【解答】解：根据题意得：
当a+b＝8，ab＝13时，S阴影＝a2﹣b（a﹣b）＝a2﹣ab+b2＝[（a+b）2﹣2ab]﹣ab＝＝12.5．
故答案为：12.5．
三、解答题（共5小题）
16．（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）
【解答】解：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2+4x+4﹣x2+1
＝4x+5．
故答案为：4x+5．
17．在学习“乘法公式”时，育红中学七（1）班数学兴趣小组在活动课上进行了这样的操作：作两条互相垂直的线段AB和CD．把大正方形分成四部分（如图所示）．
观察发现
（1）请用两种不同的方法表示图形的面积，得到一个等量关系：　（x+y）2＝x2+2xy+y2　．
类比操作
（2）请你作一个图形验证：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2．
延伸运用
（3）若AB+CD＝14，图中阴影部分的面积和为13，求xy的值．
【解答】解：（1）由图知，大正方形的边长为x+y，则大正方形的面积为（x+y）2，
∵大正方形的面积为各部分面积和：x2+2xy+y2，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2，
故答案为（x+y）2＝x2+2xy+y2；
（2）如图所示，
（3）∵AB+CD＝14，
∴x+y＝7，
∵阴影部分的面积和为13，
∴x2+y2＝13，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴72＝13+2xy，
∴xy＝18．
18．发现任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数；
验证 （1）（﹣1）2﹣（﹣3）2的结果是4的几倍？
（2）设三个连续的整数中间的一个为n，计算最大数与最小数的平方差，并说明它是4的倍数；
延伸任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数，请说明理由．
【解答】解：（1）发现：（﹣1）2﹣（﹣3）2的＝1﹣9＝﹣8＝4×（﹣2），
则（﹣1）2﹣（﹣3）2的结果是4的（﹣2）倍；
（2）设三个连续的整数中间的一个为n，则最大的数为n+1，最小的数为n﹣1，
（n+1）2﹣（n﹣1）2＝n2+2n+1﹣n2+2n﹣1＝4n，
∵n是整数，
∴任意三个连续的整数中，最大数与最小数的平方差是4的倍数；
延伸：设中间的一个奇数为n，则最大的奇数为n+2，最小的奇数为n﹣2，
（n+2）2﹣（n﹣2）2＝n2+4n+4﹣n2+4n﹣4＝8n，
∵n是整数，
∴任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是8的倍数．
19．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF．若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；
（3）∵a+b＝10，ab＝20，
∴S阴影＝a2+b2﹣（a+b） b﹣a2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×102﹣×20＝50﹣30＝20．
20．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝　﹣　；
（2）代数式为完全平方式，则k＝　±3　；
（3）解方程：＝6x2+7．
【解答】解：（1）
＝[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]
＝﹣6÷4
＝﹣．
故答案为：﹣；
（2）
＝[x2+（3y）2]+xk 2y
＝x2+9y2+2kxy，
∵代数式为完全平方式，
∴2k＝±6，
解得k＝±3．
故答案为：±3；
（3）＝6x2+7，
（3x﹣2）（3x+2）﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]＝6x2+7，
解得x＝﹣4．