江苏省邗江中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

江苏省邗江中学2012-2013学年度第一学期期中试卷
高一年级数学学科试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 若则 ▲ ；
2. 指数函数的图象经过，则_____▲____；
3.函数的定义域为 ▲ ；
4.计算=____▲____；
5．函数，且必过定点 ▲ ；
6. 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标
分别为，则 ▲ ；
7．若函数是R上的奇函数，则
▲ .
8. 已知函数在定义域单调递增，则满足＜的x 取值范围是
　　▲_　　 .
9．函数在区间(–∞，2)上为减函数，则的取值范围为 ▲ .
10. 已知函数.若,则实数的值等于_　　▲_　_.
11．函数的最小值是 ▲ .
12．关于下列命题：
①若函数的定义域是｛，则它的值域是；
② 若函数的定义域是，则它的值域是；
③若函数的值域是，则它的定义域一定是；
④若函数的值域是，则它的定义域是．
其中错误的命题的序号是 ▲ ( 注：把你认为错误的命题的序号都填上)．
13.若的定义域和值域都是[1，]，则 ▲ ；
14. 函数满足对任意都有成立，则a的取值范围是 ▲ .
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．）
15. (本题满分14分)
设全集，集合。
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围。
16．（本题满分14分）
（1）已知是一次函数，且，，求的解析式；
（2）已知是二次函数，且，求的解析式．
17. （本题满分15分）
已知奇函数函数的定义域为，当时，
（1）求的值；
（2）当时，求的解析式；
（3）求证：函数在区间上是单调增函数.
18. （本题满分15分）
汽车和自行车分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向（两方向垂直）匀速前进，汽车和自行车的速度分别是10米/秒和5米/秒，已知AC=100米。（汽车开到C地即停止）
（1）经过秒后，汽车到达B处，自行车到达D处，设B、D间距离为，写出关于的函数关系式，并求出定义域。
（2）经过多少时间后，汽车和自行车之间的距离最短？最短距离是多少？
19. （本题满分16分）
已知函数（其中且）.
（1）求函数的值域；
（2）判断奇偶性并证明之；
（3）判断单调性并证明之.
20. （本题满分16分）
定义：若函数在某一区间D上任取两个实数、，且，都有，则称函数在区间D上具有性质L。
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）。
（2）对于函数，判断其在区间上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论。
（3）若函数在区间（0，1）上具有性质L，求实数的取值范围。
邗江中学2012-2013学年度高一年级第一学期期中考试
数学试卷答题卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 　　 ；2． 　　 ；3． 　　 ；4． 　　 ；
5． 　　 ；6． 　　 ；7． 　　 ；8． 　　 ；
9． 　　 ；10． 　　 ；11． 　　 ；12． 　　 ；
13． 　　 ；14． 　　 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤
15．（本题满分14分）
16．（本题满分14分）
17．（本题满分15分）
18．（本题满分16分）
19．（本题满分16分）
20．（本题满分16分）
2012-2013学年度高一年级第一学期期中考试
数学参考答案及评分标准　

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1.－1；　2. 8；　3. ；　4. 7 ；　5．（0,2）；　6.2；　7． 0 ；
8．；9. ；10. ；11． 1；；12． ①②③；13. 4；14.
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．）
15. (本题满分14分)
设全集，集合。
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围。
【解】:⑴A∩B=,A∪B=………8
⑵a≥4…………………………………………………14
16．（本题满分14分）
（1）已知是一次函数，且，，求的解析式；
（2）已知是二次函数，且，求的解析式．
【解】:（1） ……………………………6分
（2） …………………………14分
17. （本题满分15分）
已知奇函数函数的定义域为，当时，
（1）求的值；
（2）当时，求的解析式；
（3）求证：函数在区间上是单调增函数.
【解】:（1）∵函数为奇函数　　∴……………………4分
（2）设，则－
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………6分
∵函数为奇函数　　
∴当时, ………………9分
18. （本题满分15分）
汽车和自行车分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向（两方向垂直）匀速前进，汽车和自行车的速度分别是10米/秒和5米/秒，已知AC=100米。（汽车开到C地即停止）
（1）经过秒后，汽车到达B处，自行车到达D处，设B、D间距离为，写出关于的函数关系式，并求出定义域。
（2）经过多少时间后，汽车和自行车之间的距离最短？最短距离是多少？
【解】:（1）经过t小时后，汽车到达B处、自行车到达D处，则
……………4分
所以 ……………6分
定义域为：……………8分
（2）
当时，……………14分
答：经过8秒后，汽车和自行车之间的距离最短。最短距离是米。……15分
19. （本题满分16分）
已知函数（其中且）.
（1）求函数的值域；
（2）判断奇偶性并证明之；
（3）判断单调性并证明之.
【解】: （1）值域： ………………4分
（2）奇函数
∵ ∴为奇函数 …………9分
（3）设且，则
…………12分
当时；在R上为增函数，
∵，∴，∴　　即
∴在是单调增函数 …………14分
②当时；在R上为减函数，
∵，∴，∴　　即、
∴在是单调减函数 …………16分
20. （本题满分16分）定义：若函数在某一区间D上任取两个实数、，且，都有，则称函数在区间D上具有性质L。
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）。
（2）对于函数，判断其在区间上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论。
（3）若函数在区间（0，1）上具有性质L，求实数的取值范围。
解：（1）（或其它底在（0，1）上的对数函数）。…………4分
（2）函数在区间上具有性质L。…………5分
证明：任取、，且
则
、且，，
即>0，
所以函数在区间上具有性质L。……………10分
（3）任取、，且
则
、且，，
要使上式大于零，必须在、上恒成立，
即，，即实数的取值范围为……………16分