2021-2022学年度第一学期芜湖市高中教育教学质量监控
高二年级数学试题卷
注意事项:
1.本试卷满分为100分,考试时间为120分钟。
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页,“答题卷”共4页。
3.请务必在“答题卷”上答题,在“试题卷”上答题是无效的。
4.考试结束后,请将“试题卷”和“答题卷”一并交回
一、选择题(共12小题,每小题3分,共36分)
1.已知等比数列{an}中,a3=1,a5=2,则首项a1=()
4
B
D.0
2.抛物线y2=4x的焦点坐标是()
A.(0,2
B.(0,1)
C.(2,0)
D.(1,0)
3.平行六面体ABCD-A1BC1D1中,若AC1=xAB+2yBC+3zCC1,则x+y+z=(
A
B.1
C
D
4.已知函数/(x)在x=x0处的导数为f(x0),则1imf(x0+△x)2-f(x
2△x
A.2f(x0)
B
Cof(xo)
D.-f(x0)
5.若用面积为48的矩形ABCD截某圆锥得到一个椭圆,且该椭圆与矩形ABCD的四边都相切
设椭圆的方程为+12=1(a>b>0),则下列满足题意的方程为()
B
16
916
D
6.数列{an}满足a
1+2+3
t n
则数列
的前n项和为()
anan+
7
A
n+1
B
C
2n
n+2
D
7
n+2
7.下列求导不正确的是()
A(3x+ cosx)=6x-sinx
B.(x·e)'=(x+1)e
sIn
C.(2sin2x)′=2cos2x
D.(
cosa-smn℃
高二年级数学试题卷第1页(共4页)
8.已知cos
,则下列说法错误的是(
A.若a,b分别是直线4,42的方向向量,则直线h,2所成的角的余弦值是3
B.若a,b分别是直线l的方向向量与平面a的法向量,则直线l与平面a所成的角的正弦值
是
C.若a,b分别是平面a,的法向量,则平面a,所成的角的余弦值
D.若a,b分别是直线的方向向量与平面a的法向量,则直线与平面c所成的角的正弦值
是
22
9.19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日,创立了画法几何学,推动了空间几何学的独立发
展.提出了著名的蒙日圆定理:椭圆的两条切线互相垂直,则切线的交点位于一个与椭圆同
心的圆上,称为蒙日圆,且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方
根若圆(x-3)2+(y-b)2=9与椭圆2+y2=1的蒙日圆有且仅有一个公共点,则b的值
为(
A.±3
B.±4
C.±5
D.±2√5
10.下列命题中正确的个数为()
①若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底,则a∥b;
②若向量a+b,5+c,c+a是空间一组基底,则a,b,c也是空间的一组基底;
③{a,b,c}为空间一组基底,若xa+yb+20=0(x,y,∈B,则x+y+x=0
④对于任意非零空间向量a=(a,2,a3),5=(b,b,b3),若a∥b,则a1=a2=a3
A.1
B
C.3
D.4
11.已知⊙C:x2+y2-2x-2y-2=0,直线k:x+2y+2=0,M为直线l上的动点,过点M作⊙C
的切线MA,MB,切点为A,B,则四边形MACB面积的最小值为
A.1
B.2
C.2√2
D.4
12.已知F、F2分别为双曲线-2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1F2
26
点P为双
曲线右支一点,为△PF1F2的内心,若S△mP1=S△mP2+ASAB2成立,给出下列结论
②离心率e
1+√5
①点I的横坐标为定值a
2
③入
④当PF2⊥x轴时,∠PF1F2=30°
上述结论正确的是
A.①②
B.②③
C.①②③
D.②③④
高二年级数学试题卷第2页(共4页)2021—2022学年度第一学期芜湖市高中教育教学质量监控
高二年级数学参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D D C A D C D B C B C
二、填空题
13. 1 14. [ -3, 1] 15. 5 - 12 16. 2036
三、解答题
17. 解：（1）∵两直线垂直，∴ m + 2 (1+ m ) = 0，解得m = - 23． …………………………… 3分
（2）∵两直线平行，∴ m (1 + m ) - 2 = 0，
解得m = -2或1，
经过验证m = 1时两条直线重合，舍去．
∴ m = -2．………………6分
可得：直线 l1:x - y - 2 = 0，l2:x - y + 1 = 0．
∴ = | - 2 - 1| 3两直线间的距离 12 + ( -1 )2 = 2 2． …………………………………… 8分
18. 解：（1）∵数列{an}满足2an = an - 1 + an + 1，
∴{ an}是等差数列，
设{an}的公差为d，则a5 = a2 + 3d，即0 = 12 + 3d，解得d = -4，
∴ a1 = a2 - d = 12 - ( -4 ) = 16，
∴ an = 16 - 4 ( n - 1) = -4n + 20；………………………………………………… 4分
（2）
令an ≥ 0，得-4n + 20 ≥ 0，解得n ≤ 5，
所以当n = 4或5时，Sn有最大值，且最大值为S4 = S5 = 16 + 12 + 8 + 4 = 40． … 8分
19. 解：
（1）S表面积 = πr2 + πrl = π 22 + π 2 4 = 12π………………………………………… 3分
（2）如图，建立直角坐标系
B ( 0,2, 0 ) ,C ( 2,0, 0 ) ,D ( 0, -1, 3 ) ,P ( 0, 0, 2 3 )
???
BC = ( 2, -2,0 ), ????CD = ( -2, -1, 3 )
| ??? ????∴ = BC CD |B在CD上投影的长度 l ???? = 22|CD |
∴ B到CD的距离
高二年级数学参考答案第 1 页（共4页）
d = BC2 - l2 = z
( 2 2 P)2 - ( 22 )
P
2 = 230 ．
………………………………… 8分
解法2：
D设直线CD上一点E满足BE ⊥ CD. D
??? = ????令CE λCD，则
E（2 - 2λ，-λ， 3 λ）
∴ ???BE =（2 - 2λ，-λ- 2， 3 λ）
??? ????
A BE·CD = 4λ- 4 + λ+ 2 + 3λB A O B y
=O8λ- 2 = 0 1∴ λ=
C 4 C
???
∴BE = 3（2，-
9 x
4，43）
∴ | 30BE | = 4 = 230
故B到CD距离为 230 . ………………………………………………………… 8分
20. 解：（1）∵ Sn + 2 = 2an，∴ Sn = 2an - 2，
则Sn - 1 = 2an - 1 - 2 ( n ≥ 2 )，
∴ an = 2an - 2an - 1，即an = 2an - 1，
an
得 = 2 ( n ≥ 2 )an - 1 ．
又a1 = S1，∴ a1 = 2a1 - 2，即a1 = 2，
可得数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
则an = 2n； ……………………………………………………………………… 2分
∵点P ( bn，bn + 1 )在直线x - y + 1= 0上，∴ bn - bn + 1 + 1= 0，
∴ bn + 1 - bn = 1，即数列{bn}是等差数列，
又b1 = 1，∴ bn = 1+ 1 ( n - 1) = n；…………………………………………… 4分
（2）∵ cn = anbn，∴cn = n 2n，
∴Tn = a1b1 + a2b2 + …+ a b = 1× 2 + 2 × 22 + 3 × 23 + …+ n 2nn n ，
∴2T = 22 + 23n + …+ ( n - 1) 2n + n 2n + 1，
两式相减可得：-Tn = 21 + 22 + 23 + …+ 2n - n 2n + 1
= 2 (1 - 2n )1 - 2 - n 2n + 1 = (1 - n ) 2n + 1 - 2，
∴Tn = ( n - 1) 2n + 1 + 2．………………7分
易知当n ∈ N * 时，Tn = ( n - 1) 2n + 1 + 2单调递增，
当n = 7时，Tn = 1538；当n = 8时，Tn = 3586，
故满足Tn < 2022的最大整数n = 7． ………………………………………… 8分
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21. 解：
（1）证明：∵AD ⊥平面ABC
∴AD ⊥ AC
又AB ⊥ AC AD AB = A
∴AC ⊥平面ABD
∴AC ⊥ BD．……………………………………………………………………… 3分
（2 ??? ??? ???）如图，以A为原点，分别以AB，AC，AD的 z
方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直
角坐标系，A ( 0, 0, 0 )，M (1,0, 0 )，B ( 2,0, 0 ) D，
C ( 0, 2, 0 )，D ( 0, 0, 3 )，依题意，可得
????? = ( -1,2, 0 ) ?????MC ，MD = ( -1,0, 3 )．
??
设m = ( x,y, z )为平面BCD的法向量，
??·???ìm BC = -2x + 2y = 0
则í??·????
A
m BD = -2x + 3 ，z = 0
??
不妨令 z = 2，可得m = ( 3 , 3 , 2 )．…5分 M
设n? = ( x,y, z )为平面DCM的法向量，
????? x B C
ìn? MC = -x + 2y = 0 y
则í
n? ????? ，MD = x - 3 z = 0
不妨令 z = 2，可得n? = ( 2 3 , 3 , 2 )，………………………………………………… 7分
因此有cos < m?, ? >= m? n? = 13 190n
|m?||n?| 190 ．
所以，平面BCD和平面DCM的夹角的余弦值为 13 190190 ． ………………………… 8分
22. 解：（1）由题知|PA | = |PC |,则|PA | + |PB |=|PC | + |PB |=|CB |=6> | AB | = 2，由椭圆的定义知
, x2 y2动点P的轨迹为以A B为焦点，6为长轴长的椭圆，所以轨迹Γ的方程为 9 + 8 = 1.
………3分
（2）（解法 1）易知E,F为椭圆Γ的长轴两端点，不妨设E ( -3, 0 )，F ( 3, 0 )，设Q ( 6, t )，则
ìy = t ( x - 3 )
= t = t t kQE 9 ，kQF 3 ，于是 lQE:y = 9 ( x + 3 )，lQF:y =
t ( - 3 ) x 33 ，联立 í x2 2 得 y
9 + 8 = 1
( 2 + 8 ) 2 - 6 2 + 9 2 - 72 = 0 = 3 = 3t2 - 24 ( 3t2 - 24 -16tt x t x t ，解得 x 或 x t2 + 8 ，易得N t2 + 8 , ，t2 + 8 )
同理M ( 3 ( 72 - t2 ) , 48t 3t2 - 242 + 72 2 + 72 ).当 2 + 8 = 3 ( 72 - t
2 ) = ±2 6 : = 32 + 72 ，即 t 时，lMN x 2；当t t t t
2
t ≠ ±2 6 32t时，有 k = -16t 32t 3t - 24MN 3( 24 - t2 )，于是 lMN:y - = x -t2 + 8 3( 24 - t2 ) ( t2 + 8 )，即
= 32t 3y 3 x -
3
( 24 - 2 ) ( 2 ).综上直线MN过定点( 2 ,0 ). …………………………… 8分t
高二年级数学参考答案第 3 页（共4页）
2 1 ( 3 ( 72 - t2 ) , 48t 3t2 - 24 -16t（解法 ）上同解法 ，得M t2 + 72 t2 + 72 )，N ( ,t2 + 8 t2 + 8 )，由对称性分析
知动直线MN所过定点一定在 x轴上，设所求定点为T (m, 0 )，由C,D,T三点共线，得
????
TM // ???TN , ( 3 ( 72 - t2 ) - , 48t 3t2 - 24即 2 + 72 m 2 + 72 ) // ( 2 + 8 - m, -16tt t t t2 + 8 ) ， 于 是
-16t ( 3 ( 72 - t2 )2 + 8 2 + 72 - m )= 48t 3t
2 - 24 2
2 + 72 ( 2 + 8 - m )，整理得 ( 2m - 3 ) ( t + 24 ) = 0，由 t的t t t t
任意性知2m - 3 = 0，即m = 3 32，所以直线MN过定点( 2 ,0 ). …………………… 8分
（解法 3）设Q ( 6, t ) t t，则 kME = kQE = 9，kFN = kQN = 3，当 t = 0时，直线MN即为 x轴；当
t ≠ 0 8 8 8时，因为 kME kMF = - 9，所以 kMF = - ，则 kFM kFN = - 3，设 lFM:y = k1 ( x - 3 )，lFN:t
ì x2 y2
y = k2 ( x - 3 ) 8 + = 1，其 中 k1 k2 = - 3 ，联 立 í 9 8
[ y - k1 ( x - 3 ) ] [ y - k2 ( x - 3 ) ] = 0
得
8 ( 1- x29 ) - ( k1 + k2 ) ( x - 3 ) y + k1 k2 ( x - 3 ) 2 = 0 ， 整 理 得
( - 3 ) é 32 16x ê 9 x + ( k1 + k2 ) y - 3 ùú = 0，易知F,M,N三点的横坐标为该方程的三个根，
32 16 3
所以 lMN: 9 x + ( k1 + k2 ) y - 3 = 0，由 k1 及 k2 的任意性，知直线MN过定点 ( 2 ,0 ).
……………………………………………………………………………………… 8分
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