常州市教育学会学业水平监测
高三数学 2022年 1月
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 A 2＝{x|x －3x＋2＝0}, B＝{x|lnx－2＜0}，则 A∩B＝
A． B．{1} C．{2} D．{1，2}
2．已知 a，b 是平面内两个向量，且 a≠0．“b＝0”是“|a|＝|a＋b|”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数 f(x)＝sin2x＋tanx的最小正周期是
A π π． B． C．π D．2π
4 2
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4．已知随机变量 X~B(6 1，p)，Y~N(μ，σ2)，且 P(Y≥2)＝ ，E(X)＝E(Y)，则 P＝
2
A 1． B 1 C 1． ． D 1．
2 3 4 6
5．已知点 A( 2，2 2)，B(1，－3)是圆 C：x2＋y2＝10上两点，动点 P从 A出发，沿着圆周
按逆时针方向走到 B，其路径长度的最小值为
A 10π B 3 10 5 10 7 10． ． π C． π D． π
4 4 4 4
6．已知(1－x)2021＝a0＋a1x＋…＋a2021x2021，则系数 a0，a1，…，a2021中最小的是
A．a0 B．a1010 C．a1011 D．a2021
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7．小李在 2022年 1月 1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值 a元的家电，在购买一个
月后的 2月 1日第一次还款，且以后每月的 1日等额还款一次，一年内还清全部贷款(2022
年 12月 1日最后一次还款)，月利率为 r．按复利计算，则小李每个月应还
ar(1 r)11 ar(1 r)12＋ ＋
A B C a(1＋r)
11
D a(1
12
＋r)
． 元 ．
(1 r)11 1 (1 r)12
元 ． 元 ． 元
＋ － ＋ －1 11 12
8．已知函数 y＝f(x－1)图象关于点(1，0)对称，且当 x＞0 时，f′(x)sinx＋f(x)cosx＞0，则下
列说法正确的是
A f(5π) f(7π) f( π) B f(7π) f(5π． ＜－ ＜－ － ．－ ＜ )＜－f( π－ )
6 6 6 6 6 6
C f( π 7π 5π π 5π 7π．－ － )＜－f( )＜f( ) D．－f(－ )＜f( )＜－f( )
6 6 6 6 6 6
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二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．如图，用 4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域
不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为
A．A3×A1 B．A2×A24 2 4 4
C．A24×(A
1 2
2) D．C
1 2 2 2 2
4×A3＋C4×(A2) (第 9题图)
A24×(A
1)22 个结果；
1＋a
10．已知数列{a 1n}中，a1＝2，a nn＋1＝ ，使 an＝－ 的 n可以是1－an 2
A．2019 B．2021 C．2022 D．2023
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11．已知函数 f(x)＝ln(x π－ )＋sinx＋cosx，下列说法正确的有
4
A．函数 f(x)是周期函数
B．函数 f(x)有唯一零点
C．函数 f(x)有无数个极值点
D．函数 f(x)在(π 3π， )上不是单调函数
4 4
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12．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 3a，点 M是棱 BC上的定点，且 BM＝2CM．点
P是棱 C1D1上的动点，则
A 2．当 PC1＝ 时，△PAM是直角三角形
3
B．四棱锥 A 31－PAM的体积最小值为 a3
2
C．存在点 P，使得直线 BD1⊥平面 PAM
D．任意点 P，都有直线 BB1∥平面 PAM
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
-
13．i是虚数单位，已知复数 z z 2i满足等式 ＋ ＝0，则 z的模|z|＝ ．
i z
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14．已知α π 3为第四象限角，且 tan(α－ )＝ ，则 sinα＝ ．
3 2
15．已知定义域都是 R 的两个不同的函数 f(x)，g(x)满足 f′(x)＝g(x)，g′(x)＝f(x)．写出一个
符合条件的函数 f(x)的解析式 f(x)＝ ．
2
16 x．已知抛物线 C1：y2＝2px的焦点与双曲线 C2： －y2＝1(a＞0)的右焦点 F重合，抛物线
a2
C1的准线与双曲线 C2的渐近线交于点 A，B．若三角形 FAB是直角三角形，则 p＝ ，
双曲线 C2的离心率 e＝ ．
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法二：
高三数学 第 9 页 (共 17 页)
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
某型号机床的使用年数 x和维护费 y有下表所示的统计资料：
x/年 2 3 4 5 6
y/万元 2.0 3.5 6.0 6.5 7.0
n n
xi x yi y xi yi nxy
附：在线性回归方程 ＝ a＋ b x中，b＝ i 1 ＝ i 1n n ，a＝ y－ b x ，
xi x 2 x 2 2i nx
i 1 i 1
其中 x ， y为样本平均值．
(1)求 x，y的线性回归方程；
(2)某厂该型号的一台机床已经使用了 8年，现决定当维护费达到 15万元时，更换机床，请
估计到第 11年结束，是否需要更换机床
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【解析】
18．(12分)
(n＋1)(n＋2)
已知数列{an}的前 n项和Sn＝ (n∈N*)．2
(1)求数列{an}的通项公式 an；
(2) 1求数列{ }的前 n项和 Tn．
anan＋1
【解析】
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19．(12分)
已知在四边形 ABCD中，AB＝7，BC＝13，CD 1＝AD，且 cosB＝ ，∠BAD＝2∠BCD．
7
(1)求∠BCA；
(2)求 AD．
【解析】
20．(12分)
如图，四棱锥 B－PACQ中，BC⊥平面 PAB π，且四边形 PACQ中，PQ∥AC，∠PAC＝ ，二
2
面角 B－AP π－Q的大小为 ，且 AP＝AB＝PQ＝1．
3
(1)求证：平面 PACQ⊥平面 ABC；
(2)求直线 BQ于平面 PACQ所成角的正弦值．
高三数学 第 12 页 (共 17 页)
【解析】
21．(12分)
已知函数 f(x)＝ax－xa(x＞0)，其中 a＞1．
(1)若曲线 y＝f(x)在 x＝1处的切线平行于 x轴，求 a的值；
高三数学 第 13 页 (共 17 页)
(2)当 a≥e(e为自然对数的底数)时，求函数 f(x)的零点个数并说明理由．
【解析】
高三数学 第 14 页 (共 17 页)
22．(12分)
x2 y2
C 1已知椭圆 ：
a2
＋ 2＝1(a＞b＞0)的左焦点坐标为 F(－2，0)，离心率e＝ ．点 A是椭圆上位b 2
于 x轴上方的一点，点 B(1，0)，直线 AF，AB分别交椭圆于异于 A的点 M，N．
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)若直线 MN平行于 x轴，求点 A的横坐标．
【解析】
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高三数学 第 16 页 (共 17 页)
高三数学 第 17 页 (共 17 页)常州市教育学会2021-2022学年高三上学期期末学业水平监测
数学 2022年1月
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2＜0}，则A∩B＝
A． B．{1} C．{2} D．{1，2}
2．已知a，b是平面内两个向量，且a≠0．“b＝0”是“|a|＝|a＋b|”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数f(x)＝sin2x＋tanx的最小正周期是
A． B． C．π D．2π
4．已知随机变量X~B(6，p)，Y~N(μ，σ2)，且P(Y≥2)＝，E(X)＝E(Y)，则P＝
A． B． C． D．
5．已知点A(，2)，B(1，－3)是圆C：x2＋y2＝10上两点，动点P从A出发，沿着圆周按逆时针方向走到B，其路径长度的最小值为
A． B． C．π D．
6．已知(1－x)2021＝a0＋a1x＋…＋a2021x2021，则系数a0，a1，…，a2021中最小的是
A．a0 B．a1010 C．a1011 D．a2021
7．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a元的家电，在购买一个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款(2022年12月1日最后一次还款)，月利率为r．按复利计算，则小李每个月应还
A．元 B．元 C．元 D．元
8．已知函数y＝f(x－1)图象关于点(1，0)对称，且当x＞0时，f′(x)sinx＋f(x)cosx＞0，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为
A．× B．×
C．×()2 D．×＋×()2 (第9题图)
10．已知数列{an}中，a1＝2，，使an＝－的n可以是
A．2019 B．2021 C．2022 D．2023
11．已知函数f(x)＝ln(x－)＋sinx＋cosx，下列说法正确的有
A．函数f(x)是周期函数
B．函数f(x)有唯一零点
C．函数f(x)有无数个极值点
D．函数f(x)在上不是单调函数
12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3a，点M是棱BC上的定点，且BM＝2CM．点P是棱C1D1上的动点，则
A．当PC1＝时，△PAM是直角三角形
B．四棱锥A1－PAM的体积最小值为a3
C．存在点P，使得直线BD1⊥平面PAM
D．任意点P，都有直线BB1∥平面PAM
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．i是虚数单位，已知复数z满足等式，则z的模|z|＝ ．
14．已知α为第四象限角，且tan(α－)＝，则sinα＝ ．
15．已知定义域都是R的两个不同的函数f(x)，g(x)满足f′(x)＝g(x)，g′(x)＝f(x)．写出一个符合条件的函数f(x)的解析式f(x)＝ ．
16．已知抛物线C1：y2＝2px的焦点与双曲线C2：－y2＝1(a＞0)的右焦点F重合，抛物线C1的准线与双曲线C2的渐近线交于点A，B．若三角形FAB是直角三角形，则p＝ ，双曲线C2的离心率e＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
某型号机床的使用年数x和维护费y有下表所示的统计资料：
x/年 2 3 4 5 6
y/万元 2.0 3.5 6.0 6.5 7.0
附：在线性回归方程 ＝＋x中，＝＝，＝－，其中，为样本平均值．
(1)求x，y的线性回归方程；
(2)某厂该型号的一台机床已经使用了8年，现决定当维护费达到15万元时，更换机床，请估计到第11年结束，是否需要更换机床
18．(12分)
已知数列{an}的前n项和(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)求数列{}的前n项和Tn．
19．(12分)
已知在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝13，CD＝AD，且cosB＝，∠BAD＝2∠BCD．
(1)求∠BCA；
(2)求AD．
20．(12分)
如图，四棱锥B－PACQ中，BC⊥平面PAB，且四边形PACQ中，PQ∥AC，∠PAC＝，二面角B－AP－Q的大小为，且AP＝AB＝PQ＝1．
(1)求证：平面PACQ⊥平面ABC；
(2)求直线BQ于平面PACQ所成角的正弦值．
21．(12分)
已知函数f(x)＝ax－xa(x＞0)，其中a＞1．
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)当a≥e(e为自然对数的底数)时，求函数f(x)的零点个数并说明理由．
22．(12分)
已知椭圆C：0)的左焦点坐标为F(－2，0)，离心率．点A是椭圆上位于x轴上方的一点，点B(1，0)，直线AF，AB分别交椭圆于异于A的点M，N．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线MN平行于x轴，求点A的横坐标．
高三数学
