江苏省盐城市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题（Word版含答案）

盐城市2021-2022学年高二上学期期末考试
数学试题
(考试时间 120 分钟， 总分 150 分)
注意事项：
本试卷考试时间为 120 分钟， 试卷满分 150 分， 考试形式闭卷．
本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置， 否则不给分．
答题前， 务必将自己的姓名、准考证号用 亳米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、单选题： (本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 计 40 分． 每小题给出的四个选项中， 只有一项是符 合要求的， 请在答题纸的指定位置填涂答案选项．)
已知 ， 则过点 且与线段 平行的直线方程为
A．
B．
C．
D．
等差数列 的公差为 ， 前 项和 ， 则“ "是“数列 为单调递增数列” 的
A． 充分必要条件
B． 必要不充分条件
C． 充分不必要条件
D． 既不充分也不必要条件
任取一个正整数， 若是奇数， 就将该数乘 3 再加上 1 ； 若是偶数， 就将该数除以 2 ， 反复进行上述两种运算， 经过有限次步骤后， 必进入循环圈 ． 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)． 若取正整数 ， 根据上述运算法则得出 ， 共需经过 8 个步骤变成 1 (简称为 8 步“雹程”) 当 时， 需要多少步“雹程”
A． 11
B． 12
C． 13
D． 14
已知函数 既有极大值， 又有极小值， 则实数 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
在数列 中， ， 若 ， 则 的值为
A． 9
B． 10
C． 11
D． 12
过圆 上的点 作圆 的切线， 切点为 ， 则 的最大值 为
A．
B．
C．
D．
已知双曲线 的右焦点为 为坐标原点， 为双曲线 在第一象限上的点， 直线 交双曲线 的左支于点 ， 若 ， 且 ， 则 双曲线 的离心率为
A．
B． 3
C． 2
D．
， 不等式 恒成立， 则 的最大值是
A． 1
B．
C．
D．
二、多选题： (本大题共 4 小题， 每小题 5 分，计 20 分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得 5 分， 部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．)
已知单调递增的正项等比数列 中， ， 其公比为 ， 前 项和 ， 则下列选项中正确的有
A．
B．
C．
D．
已知直线 与圆 ， 则下列说法中正确的有
A． 当 时， 直线 与圆 相切
B． 当 时， 直线 与圆 的相交弦最长
C． 直线 与圆 一定相交
D． 圆心 到直线 的距离的最大值为
某学校数学课外兴趣小组研究发现： 椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆 心的圆， 称为该椭圆的“伴随圆”． 利用此结论解决下列问题： 已知椭圆 的 离心率为 为 的左、右焦点且 为 上一动点， 直线 ． 下列说法中正确的有
A． 椭圆 的“伴随圆”的面积为
B． 对直线 上任意点 ， 都有
C． 动点 到直线 的距离最大值为
D． 椭圆 的“伴随圆”的两条弦 都与椭圆 相切， 则 面积的最大值为 3
已知函数 ， 则下列选项中正确的有
A． 函数 有两个零点
B． 若 ， 则 恒成．立
C． 若 恒成立， 则
D． 若 ， 则
第II卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分． 不需写出解答过程， 请把答案写在答题纸的 指定位置上)
已知抛物线 上一点 到 轴的距离是 8 ， 则点 P到该抛物线焦点的距离是________．
若圆 和圆 有两个不同的公共点， 则实数 的取值范围是________．
九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏， 它由九个铁丝圆环相连成串， 需按一定规则移动圆环， 移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中， 推广到 连环， 用 表示解下 个圆环所需的最少移动次数， 若数列 满足： ， 且 则解下 ( 为偶数)个圆环所需的最少移动次数 ________． (用含 的式子表示)
过点 与曲线 相切的直线有且只有两条， 则实数 的取值范围是________．
四、解答题（本大题共 6 小题， 计 70 分． 解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步每， 请把 答案写在答题纸的指定区域内)
(本小题满分 10 分)
已知等差数列 的前 项和 ， 且 成等比数列．
(1) 求 ；
（2）记 ， 求数列 的前 项和 ．
(本小题满分 12 分)
已知双曲线 的渐近线方程为 ， 且双曲线 过点 ．
（1）求双曲线 的方程；
(2) 若直线 与双曲线 只有一个公共点， 求实数 的值．
(本小题满分 12 分)
设函数 ．
(1) 若曲线 在点 处与直线 相切， 求 的值；
（2）讨论函数 的单调性．
(本小题满分 12 分)
已知各项均为正数的数列 的前 项和 ， 数列 的前 项和 ， 且 ．
(1) 求数列 的通项公式；
(2) 改 ， 且 ， 求实数 的取值范围．
(本小题满分 12 分)
已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
(2) 当 时， 求证： ．
(本小题满分 12 分)
如图，已知抛物线 的焦点 ， 过 作倾斜角为锐角的直线交拖物线于 、 两点， 且点 在第四象限， 点 在拋物线 的准线上．
(1) 证明： 为定值；
(2) 比较 与 的大小， 并给出证明．
盐城市2021-2022学年高二上学期期末考试
数学试题参考答案
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1. B 2.A 3.D 4.C 5. B 6.C 7.D 8.D
二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9.AD 10.ABD 11.ACD 12.CD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分．）
13.9 14. 15. 16.
四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.解：（1）设等差数列的公差为
由成等比数列，得，解得……………3分
所以………………5分
（2）由（1）知…………7分
……………10分
18.解：（1）由题意得 ,解得 ∴双曲线方程为.-----------4分
（2） 由 ,得(3－k2)x2－6kx－12＝0.
由题意得 ,∴k＝ .-----------8分
当3－k2=0即时，直线l与双曲线C的渐近线平行，
直线l与双曲线C只有一个公共点，-----------12分
∴或.
19.解 （1）由题意知
代入数值，解得 ------------4分
已知，令，知 --------6分
当时，恒成立，此时函数在单调递增 -------------8分
当时，上单调增，上单调减 -------------10分
当时，上单调减，上单调增 -------------12分
20.解：（1）由，令得. …………………1分
又，则
，又，所以. …………………3分
又，则，
又，则，且
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，即…………………6分
由（1）知，且，所以
即，解得. …………………8分
，且
所以的最大值只可能在时取到.
又当时，，所以………………10分
所以满足条件的实数的取值范围是. …………………12分
解：（1）已知函数的导数，且 ------------2分
又恒成立，
故在区间上单调递增 ------------4分
所以函数的单调区间为：单调减，单调增
所以函数在时有极小值，无极大值 - ----------5分
（2）当时，
故在区间上单调递增 ------------6分
其中
且当上时，，取
则有
故导函数存在零点 ，且为极小值点 --------9分
满足
故 --------12分
（1）证明：设与抛物线联立消得
所以 --------4分
（2）结论： --------5分
过M作交AB于G，则
从而问题转化为求证 --------6分
下证：
法一：
-------8分
记准线与轴交于N，则
(
A
B
F
M
x
y
O
)
(
H
A
B
F
M
G
N
x
y
O
) --------11分
从而，
因为都是锐角，从而，
即 --------2分
法二：先证：
再用夹角公式证明
法三：先证以AB为直径的圆(G为圆心）与准线相切于M，再证，
从而利用同弧所对的圆周角相等得
从而分别用两个直角三角形得