永善、绥江县 2021~2022 秋季学期期末考
高二年级数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题所给的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B A C A B C D B D B C
【解析】
1．由已知得 B {x | 2 x 1}，故 A B { 1，0}，故选 A．
2 1 i (1 i)(1 i) 2i． i ，则 z 3i ，故 | z | 3，故选 B．
1 i (1 i)(1 i) 2
3．即寻找命题 P，使 P a b ，且 a b 推不出 P ，逐项验证，故选 A．
f (x0 3 x) f (x0 ) f (x0 3 x) f (x4．根据题意， lim 3 lim 0
)
3 f (x0 ) ，故选 C． x 0 x x 0 3 x
5．由 f (x) 2 5 5 1 是周期为 的奇函数，利用周期性和奇偶性得： f f 22 2
f
2
1 1 1 1
f 2
1 ，故选 A．
2 2 2 2
6．圆 x2 y2 2 ，则圆心坐标为 O(0，0)，半径为 2 ．圆心到直线 l： y x 3 的距离
d | 3 | 3 2 2 ，∴直线与圆相离， | MN |的最小值为 O 到直线 l： y x 3的距离
1 1 2
3 2 2
减去圆的半径，即 2 ，故选 B．
2 2
7 95 104．这 12 天的AQI指数值的中位数是 99.5 ，故 A 不正确；这 12 天中，空气质量为
2
“优良”的有 95，85，77，67，72，92 共 6 天，故 B 不正确；从 4 日到 9 日，空气质量
越来越好，故 C 正确；这 12 天的AQI指数值的平均值约为 110，故 D 不正确，故选 C．
数学 YS 参考答案·第 1 页（共 8 页）
S
8 3．因为an 1 Sn 1 Sn ，所以由Sn 2an 1 得，Sn 2(Sn 1 Sn )，整理得3Sn 2Sn 1 ，所以 n 1 ，Sn 2
3 3 n 1
所以数列{S } n 是以 S1 a1 1为首项，公比 q 的等比数列，所以 Sn ，故选 D． 2 2
9．A．若m∥ ，n∥ ，则 m，n 相交或平行或异面，故 A 错；B．若m⊥ ，n⊥ ，由线面
垂直的性质定理可知m∥n，故 B 正确；C．若m⊥ ，m⊥n，则 n∥ 或 n ，故 C 错；
D．若m∥ ，m⊥n ，则 n∥ 或 n 或 n⊥ ，故 D 错，故选 B．
2
10 x y
2 x2 y2
．设 A(x1，y1)，B(x ，y ) ，则 x x 2，y 1 1 2 22 2 1 2 1 y2 2 ， 2 2 1①，a b a2
b2
1②，
2 2
① (x x )(x x ) (y y )(y y )②得 1 2 1 2 1 2 1 22 2 0，∴k
y
1
y2 b (x x ) b
AB
1 2
2 ．又a b x1 x2 a (y1 y2 ) a
2
0 1 1 b2k 1 ，∴ ，又 9 c2AB 2 a
2 b2 ，解得 b2 9，a2 18 ，∴椭圆方程为
3 1 2 a 2
x2 y2
1，故选 D．
18 9
11．对于 A，由条件可得 an 2 n 2 n ，故 A 正确；对于 B，由条件可得bn 4 2
n 2 2n ，
故 B 错误；对于 C，由 lnbn ln 2
n n ln 2，可得数列{lnbn}是首项和公差均为 ln 2 的等
差 数 列 ， 故 C 正 确 ； 对 于 D ， 设 数 列 {anbn} 的 前 n 项 和 为 Sn ，
Sn 1 2 2 2
2 n 2n， 2S 1 22 2 23 n 2n 1n ， 上 面 两 式 相 减 可 得
n
S 2 22n 2
n n 2n 1 2(1 2 ) n 2n 1，所以 Sn 2 (n 1) 2
n 1，故 D 正确，
1 2
故选 B．
12 b b．如图，l1的方程为 y x，l2 的方程为 y x，∵FM ⊥OM，∴直a a
y b x，
线 FM 的 方 程 为 y a (x c) a， 由 可 得
b y a (x c)，
b
a2 ab M ， ，∵MN FM，∴xN xM xM c， yN yM yM 0 ， 即 可 得
c c
2a2 c2 2ab 2ab b 2a2 2N c ， ，∴ ，整理可得 c2 4a2 ，则双曲线的离心率为
2 c c a c
c
2 ，故选 C．
a
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第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号 13 14 15 16
24 2
答案 3 5 3x2 9y 1(x 0)
25 4
【解析】
13．因为 f (3) 23 8，f (1) 2 y f (3) f (1) 8 2，所以 3．
x 3 1 2
14．因为 4为第二象限，所以 cos 0 ，即 cos 1 sin2 ，所以 sin 2
5
2sin cos 4 3 2 24 ．
5 5 25
15．依题设 P 在抛物线准线的投影为 P′，抛物线的焦点为 F，点 Q(0， 3) ．∵抛物线
y2 16x，∴F (4，0)，依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为 | PP | | PF |，则点 P
到点Q(0， 3) 的距离与P到该抛物线准线的距离之和为 | PF | | PQ |≥ | QF | 32 42 5．
16 G(x y) m 1 1 n．设 ， ，P(m，n)，∵G 为△PF1F2 的重心，∴x ，y ，∴m 3x，n 3y ，代3 3
9x2 9y2 9y2
入 椭 圆 方 程 ， 可 得 1 ， 即 3x2 1，∵P，F，F 三 点 不 共 线 ，
3 4 4 1 2
9y2
∴x 0，∴△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程是3x
2 1(x 0)．
4
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
解：（Ⅰ）依题意可知：
55 0.12 65 0.18 75 0.40 85 0.22 95 0.08 74.6 ，
所以综合素质成绩的平均值为 74.6分．…………………………………………………（3 分）
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由图易知因为分数在 50~60、60~70、70~80 的频率分别为 0.12、0.18、0.40，
所以中位数在 70~80 之间，
设为 t，则 0.12 0.18 (t 70) 0.04 0.5，解得 t 75，
所以综合素质成绩的中位数为 75 分．…………………………………………………（5 分）
（Ⅱ）设这 6 名同学分别为 a，b ， c ， d ，1，2，其中设 1，2 为文科生，
从 6 人中选出 3 人，所有的可能的结果为 (a，b，c)， (a，b，d )， (a，b，1) ， (a，b，2) ，
(b，c，d )， (b，c，1)， (b，c，2)， (c，d，1) ， (c，d，2)， (d，1，2)， (a，c，d ) ， (a，c，1) ，
(a，c，2) ，(a，d，1)，(a，d，2)，(b，d，1) ，(b，d，2) ，(c，1，2) ，(a，1，2)，(b，1，2)，
共 20 种，
………………………………………………………………………………………（7 分）
其中含有文科学生的有 (a，b，1) ，(a，b，2) ，(b，c，1)，(b，c，2)，(c，d，1) ，(c，d，2)，
(d，1，2)，(a，c，1) ，(a，c，2) ，(a，d，1)，(a，d，2)，(b，d，1) ，(b，d，2) ，(c，1，2) ，
(a，1，2)， (b，1，2)，共 16 种，
16 4
所以含文科生的概率为 ．………………………………………………………（10 分）
20 5
18．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由 Sn 2n
2 n，得
当 n≥2时， a S S 2n2n n n 1 n [2(n 1)
2 (n 1)] 4n 1；
………………………………………………………………………………………（2 分）
当 n 1时，a1 S1 3，也满足上式，…………………………………………………（3 分）
∴an 4n 1，n N
*．……………………………………………………………………（4 分）
由 an 4log
n 1 *
2 bn 3，得bn 2 ，n N …………………………………………………（6 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 anbn (4n 1) 2
n 1，n N* ．
所以Tn 3 7 2 11 2
2 (4n 1) 2n 1，
数学 YS 参考答案·第 4 页（共 8 页）
2Tn 3 2 7 2
2 11 23 (4n 1) 2n ，…………………………………………（8 分）
2Tn Tn (4n 1) 2
n [3 4(2 22 2n 1)] ………………………………………（9 分）
2(1 2n 1)
(4n 1) 2n 3 4
1 2
(4n 5)2n 5 ，
Tn (4n 5)2
n 5，n N* ．……………………………………………………………（12 分）
19．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ） 2cosC(acos B bcos A) c，
由正弦定理得： 2cosC(sin A cos B sin B cos A) sinC，
………………………………………………………………………………………（2 分）
2cosC sin(A B) sinC ．………………………………………………………………（3 分）
∵ A B C π， A，B，C (0，π)，
∴ sin(A B) sin C 0，
∴ 2cosC 1，cosC 1 . ………………………………………………………………（5 分）
2
∵C (0，π)，
∴C π ．…………………………………………………………………………………（6 分）
3
（Ⅱ）由余弦定理得：c2 a2 b2 2ab cosC，………………………………………（7 分）
7 a2 b2 2ab 1，
2
(a b)2 3ab 7，
S 1 ab sinC 3 ab 3 3 ，
2 4 2
数学 YS 参考答案·第 5 页（共 8 页）
∴ ab 6，…………………………………………………………………………………（9 分）
∴ (a b)2 18 7，
a b 5， ………………………………………………………………………………（11 分）
∴△ABC 周长为 a b c 5 7. ……………………………………………………（12分）
20．（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）设圆 C 的标准方程为 (x a)2 (y b)2 8，………………………………（1 分）
a b 1 0，
由已知得 2 2 ……………………………………………………………（2 分）
(1 a) b 8，
a 1， a 3，
解得 或 ………………………………………………………………（4 分）
b 2
b 2，
故圆 C 的方程为 (x 1)2 (y 2)2 8或 (x 3)2 (y 2)2 8 ．
………………………………………………………………………………………（6 分）
（Ⅱ）因为原点在圆内，故圆的方程为 (x 1)2 (y 2)2 8，
圆心为 ( 1，2)，半径为 r 2 2 ，………………………………………………………（8 分）
设切线为 y kx 1，即 kx y 1 0，
| k 3 | 2 2 k 1 1则 ，解得 或 ，…………………………………………………（10 分）
k 2 1 7
故切线为 y x 1 y 1 或 x 1，
7
即 x y 1 0 或 x 7y 7 0 即为所求．……………………………………………（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：设 AC 的中点为 G， 连接 EG．…………………………………………（1 分）
在三角形 PBD 中，中位线 EG∥PB ．…………………………………………………（2 分）
数学 YS 参考答案·第 6 页（共 8 页）
PB 平面 AEC 且 EG 平面 AEC，……………………………………………………（4 分）
所以 PB//平面 AEC．……………………………………………………………………（5 分）
（Ⅱ）解：设 AB m， 分别以 AB，AD，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，D(0， 3，0)，E 0
3 1
， ， ，C(m， 3，0) ．
2 2
∴AD (0， 3，0) AE 0 3 1， ， ， ，AC (m， 3，0) ．
2 2
易知平面 ADE 的一个法向量为 n1 (1，0，0) ．…………………………………………（6 分）
设平面 ACE 的一个法向量为 n2 (x，y，z) ，则 n2 AC 0，n2 AE 0，
解得 n2 ( 3，m， 3m)，……………………………………………………………（8 分）
cos π | cos n n | | n1 n 2 | 3 1∵ 〈
3 1
， 2〉 ， | n1 | | n2 | 3 m2 3m2 2
3
解得m ．……………………………………………………………………………（10 分）
2
设 F 为 AD PA PA 1的中点，则 ∥EF ，且 EF ，EF⊥平面 ACD， 即为三棱锥 E ACD
2 2
的高．
∴V 1 1 1 3 1 3E ACD S△ACD EF 3 ． 3 3 2 2 2 8
所以，三棱锥 E ACD 3的体积为 ．………………………………………………（12 分）
8
22．（本小题满分 12 分）
c 2
解：（Ⅰ）由题可得 ，……………………………………………………………（1 分）
a 2
数学 YS 参考答案·第 7 页（共 8 页）
( 6)2 ( 5)2
将点 P 代入椭圆方程可得 2 2 2
a2
2 1，且 a b c ， b
解得 a 4，b c 2 2 ，…………………………………………………………………（3 分）
x2 y2
所以椭圆方程为 1．……………………………………………………………（4 分）
16 8
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 F1( 2 2，0)，F2 (2 2，0) ，
………………………………………………………………………………………（5 分）
设 l： x my 2 2 ，代入椭圆方程可得 (m2 2)y2 4 2my 8 0 ，
………………………………………………………………………………………（6 分）
设 A(x 4 2m 81，y1)，B(x2，y2)，则 y1 y2 2 ，y1 y2 m 2 m2
，
2
………………………………………………………………………………………（7 分）
2
4 2m 8 8 m2 1
则 | y 21 y2 | (y1 y2 ) 4y1 y2 2 4 2 2 ，
m 2 m 2 m 2
……………………………………………………………………………………（9 分）
1 1 8 m2 1 16 2 m2 1
所以 S△ABF | F F || y y | 4 2 1 2 1 2 1 2 2 (m2
≤ 8 2 ，
1) 1 2 m2 1
当且仅当m2 1 1，即m 0时取等号，……………………………………………（11 分）
故△ABF1 的面积的最大值为8 2 ．……………………………………………………（12 分）
数学 YS 参考答案·第 8 页（共 8 页）7.AQ即空气质量指数,AQ越小,表明空气质量越好,当AQ不大于100时称空气质量为“优良”,如图1
是某市3月1日到12日AQ的统计数据,则下列叙述正确的是
永善、绥江县2021~2022秋季学期期末考
高二年级数学试卷
本试惠分第I惠(选择題〕和第Ⅱ卷(非选择題)两部分.第I卷第1页至第2頁,第Ⅱ卷第3頁至第4
页.考试蛄束后,请将本试卷和答題卡一并交回,分150分,考试用时120分钟
12345678910112日期y
第I卷(选择题,共60
A.这12天的AQI的中位数是90
注意事
B.12天中超过7天空气质量为“优良
1·答題前,考生务必用黑色礦素笔将自己的姓名、准考讧号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚
每小趣选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑.如霄改动,用橡皮擦干净后,再
选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效
D.这12天的AQ的平均值为100
选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
D.{0,1,2
9.已知m,n表示两条不同的直线,a表示平面,则下列说法正确的是
2设
个条件中,使a成立的充分而不必要的条件是
0已知椭圆E:(0焦点为F3,0),过点F的直线交椭圆于A,出两点者的中点
4.已知函数f(x)在x=x处的导数为f(x)
+3x)-f(x)
1),则E的方程为
1l.对于公差为1的等差数列|a.
比为2的等比数列{bn,b2=4,则下列说法不正确的
5.设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则
2
D.数列|anb。|的前n项和为(n-1)2+2
线-=1(a>0,b50)的右焦点为F,渐近线为4,l2,过F的直线与垂直,且交于点M
点M在圆x2+y2=2上,点N在直线l
3上,则|MN|的最小值是
交l于点N,若WN=FM,则双曲线的离心率为
√3
数学YS·第页(共4页)
数学YS,第2页(共
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本小题满分12分
注意事项
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cqsC( acos+bco4)=c
第Ⅱ卷用黑色素笔在答題卡上各題的答題区城内作答,在试题卷上作答无效
(I)求角
△ABC的面积为,求△ABC的周长
共4小题,每小题5分
(Ⅱ)若
13.已知函数y=2,则函数在区间[1,3]上的平均变化率为
14.已知a为第二象限角,sina
15.已知P为抛物线y2=16x上的一个动点,设P到拋物线准线的距离为d,点Q(0,-3),那
+d的
6点P在以F,F为焦点的椭圆二2=1上运动,则△PF;的重心G的轨连方程是
20.(本小题满分12分
已知圆C的半径为22,圆心在直线x+y-1=0上,点(1,0)在圆上
三、解答題(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分
(Ⅱ)若原点O在圆C内,求过点P(
与圆C相切的直线方程
进人月份,大学强基计划开始报名,某“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试,在所有
参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩,得到如图2所示的成绩频率分布直方图
(I)估计五校学生综合素质成绩的平均值和中位数;(每组数据用该组
的区间中点值表示)
Ⅱ)某校决定从本校综合素质成绩排名前6名的同学中,推荐3人参加
强基计划考试,若已知6名同学中有4名理科生,2名文科生,试求这300
人中含文科生的概率
如图3,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点
(1)证明:PB∥平面AEC;
(Ⅲ)设二面角D-AE-C为
AP=1,AD=3,求三棱锥E-ACD的
18.(本小題满分
已知数列{an|的前n项和为S,且S=2n2+n,n∈N’,数列|b,满足an=4log:b+3,n∈N
本小题满分12分)
(Ⅱ)求数列
的前n项和T
已知剧圆S:“b2=1()b0的离心率c2,左、有焦点分别为,F点P(、6,5)在椭图S
过F的直线l交椭圆S于A,B两点
l)求△ABF的面积的最大值
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数学s·第4页(共4页
