人教版 八年级下册数学第十六章 二次根式 二次根式的概念和性质 学案（无答案）

二次根式的概念与性质
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．
重点难点：
重点：；，及其运用．
难点：利用，，解决具体问题．
学习策略：
对于本节的学习，要着重从理解二次根式的概念入手，逐步深入，处理好以下三个方面：
把握二次根式有意义的条件及其性质．
理解二次根式与算术平方根的联系与区别．
逐步感受数系的变化，注重知识体系的纵横联系，养成严密的数学思想．
二、学习与应用
（一）平方根的概念：如果，那么 平方根．
（二）算术平方根的概念：一个正数的 叫做这个数的算术平方根．
（三）平方根的性质：一个正数有 个平方根，且它们是互为 ；0的平方根是 ；在实数范围内，负数 平方根．
知识点一：二次根式的概念
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“”称为 ．
要点诠释：
二次根式的两个要素：①根指数为 ；②被开方数为 数．
知识点二：二次根式的性质
（一）；
（二）；
（三）；
（四）积的算术平方根的性质：；
（五）商的算术平方根的性质：．
要点诠释：
二次根式 (a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解．
知识点三：代数式
形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的 （基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方）把 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression)．
类型一：二次根式的概念
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、(x>0)、、、、、(x≥0，y≥0)．
思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．
解：
例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？
解：
总结升华：
．
举一反三：
【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？
（1）； （2）；
解：
【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？
思路点拨：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．
解：
类型二：二次根式的性质
例3．计算：
（1） （2） （3） （4）
（5）(b≥0)　　　 （6）
思路点拨：我们可以直接利用(a≥0)的结论解题．
解：
举一反三：
【变式1】计算：
（1）； （2）；
（3）； 　　（4）．
思路点拨：
（1）因为x≥0，所以x+1>0；
（2）a2≥0；
（3）a2+2a+1=(a+1)2≥0；
（4）4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0．
所以上面的4题都可以运用的重要结论解题．
解：
例4．化简：
（1）； （2）； （3）； （4） ．
思路点拨：因为（1）9=32，（2）(-4)2=42，（3）25=52，（4）(-3)2=32，所以都可运用去化简．
解：
☆例5．填空：当a≥0时，= ；当a<0时，= ，并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？
（3）>a，则a可以是什么数？
思路点拨：∵=a(a≥0)，∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“( )2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；
（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；
（3）根据(1)、(2)可知，而要大于a，只有什么时候才能保证呢？
解：
类型三：二次根式性质的应用
例6．当x=-4时，求二次根式的值．
思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同．
解：
☆☆例7．（1）已知y=++5，求的值．
（2）若+=0，求的值．
解：
☆☆例8．在实数范围内分解因式：
（1）x2-5； （2）x3-2x；
解:
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
（一）如何判断一个式子是否是二次根式？
（1）必须含有 次根号，即根指数为 ；
（2）被开方数可以是数也可以是代数式但必须是 的，否则在实数范围内 ．
（二）如何确定二次根式在实数范围内有意义？
要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为 数．要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式作为分母时要注意分母不能为 ．
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识回顾——复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
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