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需冰燃N∥一卡2021学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C B A A C D C D C
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
3
11．4；2 12．y＝1 13．3， 14．6，63
2
2√7 4√7
15． ， 16．6√2 17．1＜a＜2
7 3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
18．（本题满分 14 分）
√3 1 π
解 （I）因为 ( )＝ sin2 ＋ cos2 ＋1＝sin(2 ＋ )＋1，
2 2 6
π π
由题意，得 ＋2 π ≤ 2 ＋ ≤ ＋2 π， ∈ ，
2 6 2
π π
即 ＋ π ≤ ≤ ＋ π， ∈ ，
3 6
π π
所以 ( )的单调递增区间为 [ ＋ π， ＋ π]， ∈ ．……8分
3 6
π π π 5π 7π
（II）因为 0 ∈ [ ， ]，则2 0＋ ∈ [ ， ]， 3 2 6 6 6
π 1 π 2√2
由（I）知，sin(2 0＋ )＝ ，所以cos(2 ＋ )＝ ， 6 3 0 6 3
π π √3＋2√2
所以sin2 0＝sin[(2 0＋ ) ]＝ ． ……14 分 6 6 6
19．（本题满分 15 分）
解 （1）∵ ( 1)＝0，∴b＝a＋1．即 f (x)＝ax2＋(a＋1)x＋1，
因为任意实数 x，f (x)≥0 恒成立，则
a＞0 且 Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，
∴a＝1，b＝2，
所以 f (x)＝x2＋2x＋1． ……..6分
（2）因为 g(x)＝| f (x)－kx |＝| x2＋(2－k)x＋1 |，
1 1
设 h(x)＝x2＋(2－k)x＋1，要使 g(x)在[－ ， ]上单调，只需要
2 2
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2 1 2 1 2 1 2 1
≥ ≥ ≤ ≤
{ 2 2 或 { 2 2 2 2 2 21 1 或 { 1 或 { 1 ，
( ) ≥ 0 ( ) ≤ 0 ( ) ≥ 0 ( ) ≤ 0
2 2 2 2
9 1
解得 3 ≤ ≤ 或 ≤ ≤ 1，
2 2
9 1
所以实数 k 的取值范围[3， ] ∪ [ ，1]． ….…..15分
2 2
20．（本题满分 15 分）
证明 （I）连接 BD，因为△BAD 为正三角形，则 BE⊥AD，
因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BE，
所以 BE⊥平面 PAD，又因为 PD 平面 PAD，
所以 BE⊥PD． ………5分
z
P
F
D
C
E
A y
B
x
（II）建立如图所示的空间直角坐标系 E—xyz．
易知 E(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，√3，0)，C(－2，√3，0)，P(1，0，
√2)，
1 √3 √2
所以 F( ， ， )，
2 2 2
所以
3 √3 √2
＝( ， ， )， ＝(0，√3，0)， ＝(1，0，√2)．
2 2 2
设平面 PBE 的法向量为 n＝(x，y，z)，
＝0 √3 ＝0
则{ ，即{ ，取 n＝(√2，0， 1)．
＝0 ＋√2 ＝0
设直线 AF 和平面PBE 所成角为 ，
| | 4√21
所以sin ＝|cos < ， > |＝ ＝ ． ………15分
| || | 21
21．（本题满分 15 分）
解 （1）由2√ ＝ ＋1，得4 ＝( ＋1)
2，4 ＋1＝( +1＋1)
2，
两式相减得4 ＋1＝
2 2 ＋2 ＋1 2 ， ＋1
整理得( ＋1＋ )( ＋1 )＝2( ＋1＋ )．
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因为 > 0，所以 ＋1 ＝2，即数列{ }是公差为 2 的等差数列，
由 2√ 1＝ 1＋1，解得 1＝1，
所以{ }的通项公式为 ＝2 1． ……..7 分
（2）由条件知 1， 2， 3成等差数列，设它们的公差为 d，
由√ ＋ ＝ ＋ ，得 ＋ ＝
2 2 2 ＋2 ＋ ，
所以 1＋ ＝
2 21＋2 1＋
2，①
2＋ ＝
2 22＋2 2＋
2，②
3＋ ＝
2 2 23＋2 3＋ ，③
②－①得 2＝
2 (2 2 )＋2 ，即(2
2 1) 2 22＝ 2 ，④
③－②得 ＝ 23 (2
2
3 )＋2 ，即(2 1) 3＝
2 2 2 ，⑤
⑤－④得(2 2 1) ＝0，由于 ＝0显然不合题意，
1 1
所以 ＝ ，代入④解得 ＝ ，
2 2 4
1 1
所以 ＋ ＝ 2 2＋ ＋ 2
2
，
2 2
2 ＋1
＋ ＝ ＋ ＋
＋1 ＋1 ，2
1
上述两式相减得 2 ( ＋1＋ )( ＋1 )＝ ( ＋ )， 2 ＋1
1
因为 > 0，∴ ＋1 ＝ 2， 2
所以当 ∈ 时，数列{ }为等差数列． ……..15 分
22．（本题满分 15 分）
ln
（1）当 a＝1 时，f (x)＝ ，x∈(0，1)∪(1，＋∞)，
1
1 ln 1
所以 f ′(x)＝ 2 ，令 g(x)＝x－1－lnx，则 g′(x)＝1－ ， ( 1)
所以 g(x)＝x－1－lnx 在(0，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增，
所以 g(x)≥g(1)＝0，所以 f ′(x)≥0，
所以函数 f (x)的单调增区间为(0，1)，(1，＋∞)． …..5 分
（2）因为存在实数 t∈[1，＋∞），使得任意实数 x 有 f (x)＝t 成立，
1
即 f (x)＝( ＋ ) ln ≥ 1在 x∈(0，1)∪(1，＋∞)上恒成立．
1
1
当 x∈(0，1)时，f (x)＝( ＋ ) ln ≥ 1可化为( ＋1 )ln ＋1 ≤ 0，
1
令 ( )＝( ＋1 )ln ＋1，x∈(0，1)，
′ 1 ′ 1 ( )＝ ln ＋ ＋ 1， (1)＝0，令 ( )＝ ln ＋ ＋ 1，
′ ( ＋1) 1 则 ( )＝ ，
2
1
① ≤ 时，因为 ′( )＜0，所以函数 ＝ ( )在 x∈(0，1)时单调递减，
2
( ) > (1)＝0，即 ′( ) > 0，从而函数 ＝ ( )在 x∈(0，1)时单调递增，
故 ( ) < (1)＝0，满足题意．
1
1 ′ ( ＋1) 1
[ ( 1)]
②当 > 时， ( )＝ 2 ＝ 2 ， 2
1 1
由 1 < 1，记 ＝ ( 1，1) ∩ (0，1)，
1
则当 ∈ 时， ( 1) > 0，故 ′( ) > 0，
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所以函数 ＝ ( )在 ∈ 时单调递增， ( ) < (1)＝0，
即 ′( ) < 0，函数 ＝ ( )在 ∈ 时单调递减，所以 ( ) > (1)＝0，
所以 ( ) ≤ 0不成立．
1 1
所以当 x∈(0，1)， ( )＝ ( ＋ ) ln ≥ 1恒成立时， ≤ ；
1 2
1
同理，当 x∈(1，＋∞)时， ( )＝ ( ＋ ) ln ≥ 1可化为( ＋1 )ln
1
＋1 ≥ 0，
令 ( )＝( ＋1 )ln ＋1，x∈(1，＋∞)，
1
′( )＝ ln ＋ ＋ 1， ′(1)＝0，
1 ( ＋1) 1
令 ( )＝ ln ＋ ＋ 1，则 ′( )＝ 2 ，
1
①当 ≥ 时，Q x 0，函数 ＝ ( )在 x∈(1，＋∞)时单调递增， ( )
2
＞ (1)＝0，
即 ′( ) > 0，从而函数 ＝ ( )在 x∈(1，＋∞)时单调递增，
故 ( )＞ (1)＝0，满足题意；
1
②当 ＜ 时，
2
（i）若 ≤ 0，必有 ′( ) < 0，即 ＝ ( )在 x∈(1，＋∞)时单调递减，
所以 ( ) < (1)＝0，不成立；
1 1 1
（ii）若0 < ＜ ，则 1 > 1，所以当 ∈ (1， 1)时， ′( )＝
2
( ＋1) 1
2 < 0，
1
故函数 ＝ ( )在 ∈ (1， 1)时单调递减， ( ) < (1)＝0，
即 ′( ) < 0，
1
所以函数 ＝ ( )在 ∈ (1， 1)时单调递减，
所以此时 ( ) < (1)＝0，不成立；
1 1
所以当 x∈(1，＋∞)， ( )＝ ( ＋ ) ln ≥ 1恒成立时， ≥ ；
1 2
1
综上所述，实数 的取值集合为{ }． ……..15 分
2
另解：
1 1 1
（1）当 x∈(0，1)时， ( )＝ ( ＋ ) ln ≥ 1可变量分离为 ≤ ，
1 ln 1
1 ＋1
由对数均值不等式： ≤ 得
ln ln1 2
2( 1)
ln ≤ ，
＋1
1 1 ＋1 1 1
所以 ≥ ＝ ，
ln 1 2( 1) 1 2
1
所以 ≤ ．
2
1 1 1
（2）当 x∈(1，＋∞)时， ( )＝ ( ＋ ) ln ≥ 1可变量分离为 ≥ ，
1 ln 1
1 ＋1
由对数均值不等式： ≤ 得
ln ln1 2
2( 1)
ln ≥ ，
＋1
1 1 ＋1 1 1
所以 ≤ ＝ ，
ln 1 2( 1) 1 2
1
所以 ≥ ．
2
1
由(1)，(2)可知实数 的取值集合为{ }．
2
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