高中数学人教新课标A版（2019） 必修二 6.1 平面向量的概念同步练习卷
一、单选题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量，①⑥⑦⑧没有方向，不符合向量的定义. 故答案为：D
【分析】结合向量的定义既有大小又有方向逐一判断即可。
2．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量不能比较大小，向量的模能比较大小， 故答案为：D
【分析】结合向量的定义可得向量不能比较大小，向量的模能比较大小。
3．下列四个命题：
①时间、速度、加速度都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③所有的单位向量都相等；
④共线向量一定在同一直线上．
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①由于时间没有方向，则时间不是向量，故①为假命题；
②由于向量的模是一个非负数，故②为假命题；
③由于两个单位向量的方向可以不同，则两个单位向量不一定相等，故③为假命题；
④根据共线向量的定义，可知共线向量不一定在同一直线上，故④为假命题．
故选：A．
【分析】直接由单位向量、零向量、向量相等和向量共线的概念逐一核对四个命题得答案。
4．（2018高一上·荆州月考）下列说法中错误的是（ ）
A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
【答案】A
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】零向量的方向是任意的、其长度为0，与任意向量共线，BCD说法正确，A说法错误，符合题意.
故答案为：A
【分析】根据平面向量的相关概念逐一判断即可.
5．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度不等
B．两个有共同起点长度相等的向量，则终点相同
C．零向量没有方向
D．任一向量与零向量平行
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①中，向量与向量的长度相等，∴A不正确；
②中，两个有共同起点长度相等的向量，则终点不一定相同，还有方向来决定，∴B不正确；
③中，由于零向量的方向是任意的，∴C不正确；
④中，由于零向量的方向是任意的，故任一向量与零向量平行，D正确．
故选：D．
【分析】根据平面向量的定义，判定每个命题是否正确，从而得出答案。
6．把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A．一条线段 B．一段圆弧
C．圆上一群孤立点 D．一个单位圆
【答案】D
【知识点】单位向量
【解析】【解答】解：∵单位向量满足||=1，故把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是一个单位圆．
故选D．
【分析】利用单位向量满足||=1即可判断出结论．
7．（2019高一下·铜梁月考）设 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单位向量
【解析】【解答】单位向量即是模为1的向量；若 是两个单位向量，则 .
故答案为：D
【分析】由已知利用单位向量的概念，分别判断各选项，即可得结果.
8．设 是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单位向量
【解析】【解答】由题根据单位向量长度为1，方向不定，不难得到所有单位向量的模相等，故选D.
【分析】本题主要考查了单位向量的定义，根据定义集合选项不难解决问题.
9．（2020高一下·河西期中）如果 ， 是两个单位向量，则 与 一定（ ）
A．相等 B．平行 C．方向相同 D．长度相等
【答案】D
【知识点】单位向量
【解析】【解答】因为 ， 是两个单位向量；
所以其模长相等，方向不定；
故答案为：D．
【分析】根据 ， 是两个单位向量；可得到其模长相等，方向不定，即可判断答案．
10．若，为单位向量，则下面各式中，正确的是（ ）
A．=1 B．2=2
C．-=0 D．||-||=
【答案】B
【知识点】单位向量
【解析】【解答】解：A不正确，尽管 ，的长度都是1，但它们的方向不确定， =1×1×cosθ，
当两向量的方向相同时，=1；
由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故一定有||=||，从而 2=2，故B正确．D不正确，
C不正确，，的方向不确定．
故选B．
【分析】利用单位向量的定义，单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，从而得到答案．
11．（2016高一下·宜春期中）下列说法正确的是（ ）
A．∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：对于A，若 ∥ ，则 ， 的方向相同或相反， 所在的直线与 所在的直线平行或在同一直线上，故A错误；
对于B，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B错误；
对于C，长度为0的向量为零向量，故C正确；
对于D，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．
故选；C．
【分析】根据特殊向量的定义进行判断分析．
12．下列四个命题中正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等
B．两个相等的向量的起点、方向、长度必须都相同
C．共线的单位向量必相等
D．若与不共线，则与都是非零向量
【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于A，两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同，∴A错误；
对于B，两个相等的向量的方向相同，长度也相等，但是起点不一定相同，∴B错误；
对于C，共线的单位向量不一定相等，也可能是相反向量，∴C错误；
对于D，当与不共线，则与都是非零向量，∴D正确．
故选：D．
【分析】根据平面向量的基本概念，对每一个选项进行判断即可。
13．下列说法中错误的是（ ）
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量与不共线，则与都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于A，向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示向量，有向线段不是向量，向量也不是有向线段，∴A正确；
对于B，∵与任一向量都共线，∴向量与不共线，则与都是非零向量，B正确；
对于C，长度相等但方向相反的两个向量是共线向量，∴C错误；
对于D，相等向量的大小相等，方向相同的两个向量，∴方向相反的两个非零向量必不相等，D正确．
故选：C．
【分析】根据向量的基本概念，结合共线向量、相等向量，对选项中的命题进行判断即可。
14．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上
B．向量的长度与向量的长度相等
C．向量与平行，则与的方向相同或相反
D．单位向量都相等
【答案】B
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于A，向量与共线，但A、B、C、D不一定在同一直线上，如平行四边形ABCD的对边，∴A错误；
对于B，||=||，∴B正确；
对于C，向量与平行时，若或是零向量，则零向量的方向是任意的，∴C错误；
对于D，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，∴D错误．
综上，正确的命题是B．
故选：B．
【分析】根据平面向量的有关概念，对选项中的命题进行分析、判断，选出正确的命题即可。
15．下列说法中：
⑴若 是单位向量， 也是单位向量，则 与 的方向相同或相反；
⑵若向量 是单位向量，则向量 也是单位向量；
⑶两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．
正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单位向量
【解析】【解答】由单位向量的定义知，凡长度为 的向量均为单位向量，对方向没有任何要求，故（1）不正确；因为 ，所以当 是单位向量时， 也是单位向量，故（2）正确；据相等向量的概念知，（3）是正确的． 故答案为：C
【分析】根据题意结合单位向量的定义以及性质，长度是1，方向任意性。
16．（2016高一下·大同期中）下列命题正确的是（ ）
A．向量 与 不共线，则 与 都是非零向量
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点
C．与 共线， 与 共线，则 与 也共线
D．有相同起点的两个非零向量不平行
【答案】A
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：对于A，若 或 是非零向量，则向量 与 共线是真命题，
所以它的逆否命题也是真命题；
对于B，任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点，
或四个顶点在一条直线上，故原命题错误；
对于C， 与 共线， 与 共线时， 与 也共线，
当 = 时命题不一定成立，故是假命题；
对于D，有相同起点的两个非零向量也可能平行，故原命题错误．
综上，正确的命题是A．
故选：A．
【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断真假性即可．
17．给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若，都是单位向量，则=．
③向量与向量相等．④若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线．
以上命题中，正确命题序号是（ ）
A．① B．② C．①和③ D．①和④
【答案】A
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
与向量互为相反向量，故③错误；
方向相同或相反的向量为共线向量，由于与无公共点，故A，B，C，D四点不共线，故④错误
故选A.
【分析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误。
18．（2016高一下·宜春期中）有下列说法：
①若向量、满足||＞||，且与方向相同，则＞；
②|+|≤||+||；
③共线向量一定在同一直线上；
④由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：（1）∵向量不能比较大小，故①错误；
（2）cosθ，
，故②正确；
（3）共线向量只需方法相同或相反即可，不一定在同一直线上，故③错误；
（4）零向量与任一向量都是共线的，即零向量与任一向量平行，故④错误．
故选：B．
【分析】根据平面向量的有关定义进行分析判断．
19．（2019高一下·吉林期末）给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若 ， 都是单位向量，则 ．③向量 与向量 相等．④若非零向量 与 是共线向量，则A，B，C，D四点共线．以上命题中，正确命题序号是（ ）
A．① B．② C．①和③ D．①和④
【答案】A
【知识点】零向量；单位向量；共线（平行）向量
【解析】【解答】根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
与向量 互为相反向量，故③错误；
若 与 是共线向量，那么 可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，只要它们的方向相同或相反即可，故④错误，
故答案为：A.
【分析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误
20．（2020高一下·浙江期中）有下列说法：
①若两个向量不相等，则它们一定不共线；②若四边形 是平行四边形，则 ；③若 ， ，则 ；④若 ，则 且 ．其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】对于①，当两个向量不相等时，可能方向相反，所以可能共线，故①不正确；
对于②，若四边形 是平行四边形，则 ，故②不正确；
对于③，当 时， 与 可以不共线，故③不正确；
对于④，“若 ，则 且 或 与 在一条直线上”，故④不正确.
故答案为：A.
【分析】 根据题意，依次分析选项中说法是否正确，即可得答案 。
二、填空题
21．（2018高一上·荆州月考）下列结论正确的序号是 .
⑴若 都是单位向量，则 ;⑵物理学中作用力与反作用力是一对共线向量; ⑶方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量; ⑷直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量。
【答案】⑵⑶
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于（1）， ， 都是单位向量，但方向不一定相同，（1）错误；
对于（2），物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，
是一对共线向量，（2）正确；
对于（3），如图所示，
方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上，
是共线向量，（3）正确；
对于（4），直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，没有大小，
不是向量，（4）错误；
综上，正确的命题序号是（2）（3）．
故答案为：（2）（3）．
【分析】根据平面向量的基本概念和物理意义逐一判断即可.
22．（2016高一下·芒市期中）下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
②若| |=| |，则| = ；
③若非零向量 共线，则 ；
④向量 ，则向量 共线；
⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确的序号为 ．
【答案】①④
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：对于①，根据相等向量的定义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确；
对于②，当| |=| |时， 与 不一定相等，命题②错误；
对于③，若非零向量 共线，则 不一定成立，命题③错误；
对于④，向量 时，向量 共线，命题正确；
对于⑤，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题⑤错误；
综上，正确的命题序号是①④．
故答案为：①④．
【分析】根据平面向量的有关概念，对选项中的问题进行分析、判断是否为真命题即可．
23．若有以下命题：其中正确的命题序号是
①两个相等向量的模相等；
②若和都是单位向量，则=；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④，，则则；
⑤零向量是唯一没有方向的向量；
⑥两个非零向量的和可以是零．
【答案】①③
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①长度相等，方向相同的向量为相等向量，∴该命题正确；
②单位向量只是长度为1，方向不确定，∴该命题错误；
③相等向量的方向相同，所以一定共线，∴该命题正确；
④若=，则与不一定平行，∴该命题错误；
⑤零向量的长度为0，方向不确定，即零向量有方向，∴该命题错误；
⑥向量的和仍是一个向量，不会是一个数，∴该命题错误；
∴正确的命题的序号为：①③．
故答案为：①③．
【分析】根据相等向量、单位向量、共线向量，以及零向量的定义，及向量加法的几何意义即可判断每个命题的正误，从而找出正确命题的序号。
24．下列命题：其中真命题的序号是
①向量的长度与的长度相等；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上．
【答案】①
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于①，向量的长度与的长度相等，正确；
对于②，向量与向量平行，则与的方向相同或相反，
因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，∴②错误；
对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，∴③错误；
对于④，向量与向量是共线向量，则A、B、C、D不一定在同一直线上，
如平行四边形的两条对边表示的向量，∴④错误．
综上，真命题是①．
故答案为：①．
【分析】根据平面向量的基本概念，结合模长，共线定理以及单位向量、零向量的概念，对题目中的命题判断真假即可。
三、解答题
25．某人从点A向东位移60m到达点B，又从点B向东偏北30°方向位移50m到达C点，又从点C向北偏东60°方向位移30m到达D点，选用适当的比例尺作图，求点D相对于点A的位置．
【答案】解：根据题意，画出图形，如图所示；
则点B、C、D在同一直线上，且∠ABD=150°，
又AC=60，BD=50+30=80，
∴AD2=AB2+BD2﹣2AB BDcos150°
=502+802﹣2×50×80×（﹣）
=8900+4000，
∴AD==10≈125.8；
又=，
∴sin∠BAD=≈0.3180，
∴∠BAD≈18.4°，
∴点D在点A的东偏北18.4°，距离125.8m处的位置．
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用三角形的正弦、余弦定理，求出AD的值以及点D在点A的方向是什么。
26．某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．
【答案】解：由题意作示意图如下，
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【分析】由题意作示意图。
27．在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标．
（1）向量表示沿东北方向移动了2个单位长度；
（2）向量表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度；
（3）向量表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度．
【答案】解：建立方向坐标平面，如图所示；
（1）向量表示沿东北方向移动了2个单位长度；
=（2cos°，2sin45°）=（，）
（2）向量表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度；
=（4cos120°，4sin120°）=（﹣2，2）；
（3）向量表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度
=（6cos（﹣30°），6sin（﹣30°））=（3，﹣3）．
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【分析】根据题意，建立方向坐标平面，分别表示出向量、与的坐标即可。
1 / 1高中数学人教新课标A版（2019） 必修二 6.1 平面向量的概念同步练习卷
一、单选题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
3．下列四个命题：
①时间、速度、加速度都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③所有的单位向量都相等；
④共线向量一定在同一直线上．
其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2018高一上·荆州月考）下列说法中错误的是（ ）
A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
5．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量的长度不等
B．两个有共同起点长度相等的向量，则终点相同
C．零向量没有方向
D．任一向量与零向量平行
6．把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A．一条线段 B．一段圆弧
C．圆上一群孤立点 D．一个单位圆
7．（2019高一下·铜梁月考）设 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．设 是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )
A． B． C． D．
9．（2020高一下·河西期中）如果 ， 是两个单位向量，则 与 一定（ ）
A．相等 B．平行 C．方向相同 D．长度相等
10．若，为单位向量，则下面各式中，正确的是（ ）
A．=1 B．2=2
C．-=0 D．||-||=
11．（2016高一下·宜春期中）下列说法正确的是（ ）
A．∥ 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在同一条直线上的向量
12．下列四个命题中正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等
B．两个相等的向量的起点、方向、长度必须都相同
C．共线的单位向量必相等
D．若与不共线，则与都是非零向量
13．下列说法中错误的是（ ）
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量与不共线，则与都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等
14．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上
B．向量的长度与向量的长度相等
C．向量与平行，则与的方向相同或相反
D．单位向量都相等
15．下列说法中：
⑴若 是单位向量， 也是单位向量，则 与 的方向相同或相反；
⑵若向量 是单位向量，则向量 也是单位向量；
⑶两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．
正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
16．（2016高一下·大同期中）下列命题正确的是（ ）
A．向量 与 不共线，则 与 都是非零向量
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点
C．与 共线， 与 共线，则 与 也共线
D．有相同起点的两个非零向量不平行
17．给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若，都是单位向量，则=．
③向量与向量相等．④若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线．
以上命题中，正确命题序号是（ ）
A．① B．② C．①和③ D．①和④
18．（2016高一下·宜春期中）有下列说法：
①若向量、满足||＞||，且与方向相同，则＞；
②|+|≤||+||；
③共线向量一定在同一直线上；
④由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
19．（2019高一下·吉林期末）给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若 ， 都是单位向量，则 ．③向量 与向量 相等．④若非零向量 与 是共线向量，则A，B，C，D四点共线．以上命题中，正确命题序号是（ ）
A．① B．② C．①和③ D．①和④
20．（2020高一下·浙江期中）有下列说法：
①若两个向量不相等，则它们一定不共线；②若四边形 是平行四边形，则 ；③若 ， ，则 ；④若 ，则 且 ．其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
21．（2018高一上·荆州月考）下列结论正确的序号是 .
⑴若 都是单位向量，则 ;⑵物理学中作用力与反作用力是一对共线向量; ⑶方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量; ⑷直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量。
22．（2016高一下·芒市期中）下列说法中：
①两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同；
②若| |=| |，则| = ；
③若非零向量 共线，则 ；
④向量 ，则向量 共线；
⑤由于零向量的方向不确定，故其不能与任何向量平行；
其中正确的序号为 ．
23．若有以下命题：其中正确的命题序号是
①两个相等向量的模相等；
②若和都是单位向量，则=；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④，，则则；
⑤零向量是唯一没有方向的向量；
⑥两个非零向量的和可以是零．
24．下列命题：其中真命题的序号是
①向量的长度与的长度相等；
②向量与向量平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量与向量是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上．
三、解答题
25．某人从点A向东位移60m到达点B，又从点B向东偏北30°方向位移50m到达C点，又从点C向北偏东60°方向位移30m到达D点，选用适当的比例尺作图，求点D相对于点A的位置．
26．某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．
27．在平面直角坐标系中，质点在坐标平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标．
（1）向量表示沿东北方向移动了2个单位长度；
（2）向量表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度；
（3）向量表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量，①⑥⑦⑧没有方向，不符合向量的定义. 故答案为：D
【分析】结合向量的定义既有大小又有方向逐一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】向量不能比较大小，向量的模能比较大小， 故答案为：D
【分析】结合向量的定义可得向量不能比较大小，向量的模能比较大小。
3．【答案】A
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①由于时间没有方向，则时间不是向量，故①为假命题；
②由于向量的模是一个非负数，故②为假命题；
③由于两个单位向量的方向可以不同，则两个单位向量不一定相等，故③为假命题；
④根据共线向量的定义，可知共线向量不一定在同一直线上，故④为假命题．
故选：A．
【分析】直接由单位向量、零向量、向量相等和向量共线的概念逐一核对四个命题得答案。
4．【答案】A
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】零向量的方向是任意的、其长度为0，与任意向量共线，BCD说法正确，A说法错误，符合题意.
故答案为：A
【分析】根据平面向量的相关概念逐一判断即可.
5．【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①中，向量与向量的长度相等，∴A不正确；
②中，两个有共同起点长度相等的向量，则终点不一定相同，还有方向来决定，∴B不正确；
③中，由于零向量的方向是任意的，∴C不正确；
④中，由于零向量的方向是任意的，故任一向量与零向量平行，D正确．
故选：D．
【分析】根据平面向量的定义，判定每个命题是否正确，从而得出答案。
6．【答案】D
【知识点】单位向量
【解析】【解答】解：∵单位向量满足||=1，故把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是一个单位圆．
故选D．
【分析】利用单位向量满足||=1即可判断出结论．
7．【答案】D
【知识点】单位向量
【解析】【解答】单位向量即是模为1的向量；若 是两个单位向量，则 .
故答案为：D
【分析】由已知利用单位向量的概念，分别判断各选项，即可得结果.
8．【答案】D
【知识点】单位向量
【解析】【解答】由题根据单位向量长度为1，方向不定，不难得到所有单位向量的模相等，故选D.
【分析】本题主要考查了单位向量的定义，根据定义集合选项不难解决问题.
9．【答案】D
【知识点】单位向量
【解析】【解答】因为 ， 是两个单位向量；
所以其模长相等，方向不定；
故答案为：D．
【分析】根据 ， 是两个单位向量；可得到其模长相等，方向不定，即可判断答案．
10．【答案】B
【知识点】单位向量
【解析】【解答】解：A不正确，尽管 ，的长度都是1，但它们的方向不确定， =1×1×cosθ，
当两向量的方向相同时，=1；
由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故一定有||=||，从而 2=2，故B正确．D不正确，
C不正确，，的方向不确定．
故选B．
【分析】利用单位向量的定义，单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，从而得到答案．
11．【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：对于A，若 ∥ ，则 ， 的方向相同或相反， 所在的直线与 所在的直线平行或在同一直线上，故A错误；
对于B，长度相等且方向相同的向量为相等向量，故B错误；
对于C，长度为0的向量为零向量，故C正确；
对于D，方向相同或相反的向量叫共线向量，故共线向量不一定在同一条直线上，故D错误．
故选；C．
【分析】根据特殊向量的定义进行判断分析．
12．【答案】D
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于A，两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一定相同，∴A错误；
对于B，两个相等的向量的方向相同，长度也相等，但是起点不一定相同，∴B错误；
对于C，共线的单位向量不一定相等，也可能是相反向量，∴C错误；
对于D，当与不共线，则与都是非零向量，∴D正确．
故选：D．
【分析】根据平面向量的基本概念，对每一个选项进行判断即可。
13．【答案】C
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于A，向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示向量，有向线段不是向量，向量也不是有向线段，∴A正确；
对于B，∵与任一向量都共线，∴向量与不共线，则与都是非零向量，B正确；
对于C，长度相等但方向相反的两个向量是共线向量，∴C错误；
对于D，相等向量的大小相等，方向相同的两个向量，∴方向相反的两个非零向量必不相等，D正确．
故选：C．
【分析】根据向量的基本概念，结合共线向量、相等向量，对选项中的命题进行判断即可。
14．【答案】B
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于A，向量与共线，但A、B、C、D不一定在同一直线上，如平行四边形ABCD的对边，∴A错误；
对于B，||=||，∴B正确；
对于C，向量与平行时，若或是零向量，则零向量的方向是任意的，∴C错误；
对于D，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，∴D错误．
综上，正确的命题是B．
故选：B．
【分析】根据平面向量的有关概念，对选项中的命题进行分析、判断，选出正确的命题即可。
15．【答案】C
【知识点】单位向量
【解析】【解答】由单位向量的定义知，凡长度为 的向量均为单位向量，对方向没有任何要求，故（1）不正确；因为 ，所以当 是单位向量时， 也是单位向量，故（2）正确；据相等向量的概念知，（3）是正确的． 故答案为：C
【分析】根据题意结合单位向量的定义以及性质，长度是1，方向任意性。
16．【答案】A
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：对于A，若 或 是非零向量，则向量 与 共线是真命题，
所以它的逆否命题也是真命题；
对于B，任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点，
或四个顶点在一条直线上，故原命题错误；
对于C， 与 共线， 与 共线时， 与 也共线，
当 = 时命题不一定成立，故是假命题；
对于D，有相同起点的两个非零向量也可能平行，故原命题错误．
综上，正确的命题是A．
故选：A．
【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断真假性即可．
17．【答案】A
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
与向量互为相反向量，故③错误；
方向相同或相反的向量为共线向量，由于与无公共点，故A，B，C，D四点不共线，故④错误
故选A.
【分析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误。
18．【答案】B
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：（1）∵向量不能比较大小，故①错误；
（2）cosθ，
，故②正确；
（3）共线向量只需方法相同或相反即可，不一定在同一直线上，故③错误；
（4）零向量与任一向量都是共线的，即零向量与任一向量平行，故④错误．
故选：B．
【分析】根据平面向量的有关定义进行分析判断．
19．【答案】A
【知识点】零向量；单位向量；共线（平行）向量
【解析】【解答】根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
与向量 互为相反向量，故③错误；
若 与 是共线向量，那么 可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，只要它们的方向相同或相反即可，故④错误，
故答案为：A.
【分析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误
20．【答案】A
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】对于①，当两个向量不相等时，可能方向相反，所以可能共线，故①不正确；
对于②，若四边形 是平行四边形，则 ，故②不正确；
对于③，当 时， 与 可以不共线，故③不正确；
对于④，“若 ，则 且 或 与 在一条直线上”，故④不正确.
故答案为：A.
【分析】 根据题意，依次分析选项中说法是否正确，即可得答案 。
21．【答案】⑵⑶
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于（1）， ， 都是单位向量，但方向不一定相同，（1）错误；
对于（2），物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，
是一对共线向量，（2）正确；
对于（3），如图所示，
方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上，
是共线向量，（3）正确；
对于（4），直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，没有大小，
不是向量，（4）错误；
综上，正确的命题序号是（2）（3）．
故答案为：（2）（3）．
【分析】根据平面向量的基本概念和物理意义逐一判断即可.
22．【答案】①④
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】解：对于①，根据相等向量的定义知，两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，正确；
对于②，当| |=| |时， 与 不一定相等，命题②错误；
对于③，若非零向量 共线，则 不一定成立，命题③错误；
对于④，向量 时，向量 共线，命题正确；
对于⑤，零向量的方向是任意的，所以零向量与任何向量平行，命题⑤错误；
综上，正确的命题序号是①④．
故答案为：①④．
【分析】根据平面向量的有关概念，对选项中的问题进行分析、判断是否为真命题即可．
23．【答案】①③
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】①长度相等，方向相同的向量为相等向量，∴该命题正确；
②单位向量只是长度为1，方向不确定，∴该命题错误；
③相等向量的方向相同，所以一定共线，∴该命题正确；
④若=，则与不一定平行，∴该命题错误；
⑤零向量的长度为0，方向不确定，即零向量有方向，∴该命题错误；
⑥向量的和仍是一个向量，不会是一个数，∴该命题错误；
∴正确的命题的序号为：①③．
故答案为：①③．
【分析】根据相等向量、单位向量、共线向量，以及零向量的定义，及向量加法的几何意义即可判断每个命题的正误，从而找出正确命题的序号。
24．【答案】①
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【解答】对于①，向量的长度与的长度相等，正确；
对于②，向量与向量平行，则与的方向相同或相反，
因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，∴②错误；
对于③，两个有共同起点的单位向量，其终点不一定相同，因为方向不一定相同，∴③错误；
对于④，向量与向量是共线向量，则A、B、C、D不一定在同一直线上，
如平行四边形的两条对边表示的向量，∴④错误．
综上，真命题是①．
故答案为：①．
【分析】根据平面向量的基本概念，结合模长，共线定理以及单位向量、零向量的概念，对题目中的命题判断真假即可。
25．【答案】解：根据题意，画出图形，如图所示；
则点B、C、D在同一直线上，且∠ABD=150°，
又AC=60，BD=50+30=80，
∴AD2=AB2+BD2﹣2AB BDcos150°
=502+802﹣2×50×80×（﹣）
=8900+4000，
∴AD==10≈125.8；
又=，
∴sin∠BAD=≈0.3180，
∴∠BAD≈18.4°，
∴点D在点A的东偏北18.4°，距离125.8m处的位置．
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用三角形的正弦、余弦定理，求出AD的值以及点D在点A的方向是什么。
26．【答案】解：由题意作示意图如下，
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【分析】由题意作示意图。
27．【答案】解：建立方向坐标平面，如图所示；
（1）向量表示沿东北方向移动了2个单位长度；
=（2cos°，2sin45°）=（，）
（2）向量表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度；
=（4cos120°，4sin120°）=（﹣2，2）；
（3）向量表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度
=（6cos（﹣30°），6sin（﹣30°））=（3，﹣3）．
【知识点】向量的物理背景与基本概念
【解析】【分析】根据题意，建立方向坐标平面，分别表示出向量、与的坐标即可。
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