甘肃省张掖市2021-2022学年高三上学期期末检测数学（理）试题（Word版含答案）

张掖市2021—2022学年高三年级期末第一次全市联考
理科数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项正确）
1．若集合，，且，则满足条件的实数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若是虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列说法不正确的是（ ）
A．为不共线向量，若，则
B．
C．若，则与不一定共线
D．若为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量都可以表示为
4．已知数据的平均数是6，数据的平均数是20，则（ ） A．15.4 B．15 C．14.4 D．13
5．一个二元码是由0和1组成的数字串，其中称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）.已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：，其中运算 定义为：．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6.若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为（ ）
A. B. C. D.
7．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
8．已知函数且对任意的，都有，若函数，则（ ）
A． B． C． D．
9．在等差数列中，且，则的最大值等于（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
10．已知是方程的根，是方程的根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．10
11．已知是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的两点A，B，若，则的值是 ( )
A． B． C． D．
12．已知定义在 上的函数和满足，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
第ⅠⅠ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．等比数列的公比，已知，，则的前项和__________．
14．若命题“时，”是假命题，则的取值范围__________．
15．如图，在矩形中，，为中点，抛物线的一部分在矩形内，点为抛物线顶点，点在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为__________．
16．“层层叠”是一款经典的木制益智积木玩具，它的设计理念来源于我国古代汉朝的黄肠题凑木模。玩法是先将木块三根为一层，交错叠高成塔（或者其他叠法），然后轮流抽取任意一层的一根木块，在抽取的过程中木塔倒塌则算输。如图，现用9根尺寸为的木条，叠成一个正方体，并编号1～9.小张抽出中间的5号木条后，正方体表面积由54变为64.若小王又把8号木条抽走，现在几何体的表面积为______.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分）
17．（12分）若函数的图象与直线（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为.
（1）求函数的解析式；
（2）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，且a、b、c成等比数列，，求的面积.
18．（12分）某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数，（，），随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．
（Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中， 求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；
（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；
（Ⅲ）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．
19．（12分）如图，菱形与正的边长均为，且平面平面，平面，且，
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
20.（12分）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为。
⑴求椭圆的方程；
⑵设直线交于点，证明：点在定直线上。
21．（12分）已知函数，
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，对，恒有成立，求实数的取值范围.
（二）选做题：本题满分10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22．（10分）已知直线的参数方程为：（为参数），曲线C的极坐标方程为：．
（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求直线被曲线C截得的弦长．
23．（10分）已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.
张掖市2021-2022学年第一学期高三第一次质量检测
数学(理)答案
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．）
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D D C B A B C A B A D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13． 14． 15． 16. 66
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分。）
17．【解】（1），的图象与直线相切，且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为.， ∴ ..........6分
（2）由（1）知 ∴，
∵ ∴ ∴ 又∵a、b、c成等比数列，，，∴ ..........12分
18．【解】
（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有
共9个，
设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件，
且事件所包含的基本事件有共2个，
∴. ..........4分
（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为，
的可能取值为
，，
．...........7分
∴的分布列为
900 9900
∴． ..........9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为.
∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，
∴该机构此次收益期望为元=万元，
∵，
∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标. ..........12分
19．【解】
（1）如图，作于，连，
平面平面，，平面，
平面，且，
又平面，且，，且，
故四边形是平行四边形，， 平面，
平面，故平面. ..........5分
（2），菱形，易知，
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则，
有，
设平面的一个法向量为，，
，令，取，
设平面的一个法向量为，由，
，令，取，
则，
由题意知二面角是钝二面角，故二面角的余弦值是. ..........12分
20.【解】⑴当时，直线为，令，得。即椭圆的上顶点为，所以，又的周长为，即，又，解得，所以椭圆的方程为 ..........4分
⑵设，由，消去得，所以
， ..........6分
又，所以直线的方程为，
直线的方程为， ..........7分
联立直线、的方程得
..........9分
由得代入上式，得
，
所以点在定直线上。 ..........12分
（其他解法酌情给分）
21．【解】（1）
因为在上单调递增，所以在恒成立，
即在恒成立，
当时，上式成立，
当，有，需，
而，，，，故
综上，实数的取值范围是..............6分
（2）设，，则，
令，
，在单调递增，也就是在单调递增，
所以.
当即时，，不符合；
当即时，，符合
当即时，根据零点存在定理，，使，有时，，在单调递减，时，，在单调递增，成立，故只需即可，有，得，符合
综上得，..........12分
（二）选做题：本题满分10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22．解：（1）直线的普通方程为 ..........2分
由曲线
得化成直角坐标方程为① ..........5分
（2）把直线参数方程化为标准参数方程
（为参数） ②，把②代入①得：
整理，得
设其两根为，则
从而弦长为 ..........10分
23．【解】
（Ⅰ）由题意， ，
所以等价于或或.
解得：或，所以不等式的解集为； ..........5分
（Ⅱ）由(1)可知,当时, 取得最小值,
所以，即，
由柯西不等式得，
整理得，
当且仅当时, 即时等号成立.
所以的最小值为. ..............10分
高三第一次联考理科数学