2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形同步自主提升训练 (word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-1等腰三角形》同步自主提升训练（附答案）
1．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．70°
2．已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（　　）
A．7 B．8 C．5 D．7或8
3．如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠1＝70°，则∠BAC等于（　　）
A．40° B．55° C．70° D．110°
4．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．40° B．70° C．100° D．140°
5．如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝125°，则∠C的度数是（　　）
A．55° B．45° C．35° D．65°
6．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AD＝AE，则∠EDC等于（　　）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
7．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．7 B．9 C．12 D．9或12
8．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
9．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（　　）
A．35° B．45° C．55° D．60°
11．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝　 　度．
12．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是　 　．
13．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为　 　．
14．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为　 　．
15．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是　 　．
16．等腰三角形的一个内角为40°，则顶角的度数为　 　．
17．如图，在△ADC中，AD＝BD＝BC，若∠C＝25°，则∠ADB＝　 　度．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．
19．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．
21．如图，已知△ABC中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C度数．
22．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD．
求证：△OAB是等腰三角形．
23．如图：已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC＝AD； ②CF＝DF．
24．如图，有甲，乙两个三角形，请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形，并标出每个三角形各角的度数．
参考答案
1．解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故选：B．
2．解：①2是腰长时，能组成三角形，周长＝2+2+3＝7，
②3是腰长时，能组成三角形，周长＝3+3+2＝8，
所以，它的周长是7或8．
故选：D．
3．解：∵m∥n，
∴∠ACB＝∠1＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝70°，
故选：C．
4．解：∵等腰三角形的顶角为50°，
∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2＝70°，
故选：B．
5．解：∵∠1＝125°，
∴∠ADE＝180°﹣125°＝55°，
∵DE∥BC，AB＝AC，
∴AD＝AE，∠C＝∠AED，
∴∠AED＝∠ADE＝55°，
又∵∠C＝∠AED，
∴∠C＝55°．
故选：A．
6．解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，∠BAD＝30°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），
∵AD＝AE（已知），
∴∠ADE＝75°
∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝15°．
故选：C．
7．解：当腰为5时，周长＝5+5+2＝12；
当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；
根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12．
故选：C．
8．解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝110°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝（180°﹣∠ADC）÷2＝（180°﹣110°）÷2＝35°，
故选：A．
9．解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
10．解：AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴∠C＝（180°﹣70°）＝55°．
故选：C．
11．解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝，
∵∠BAC＝102°，
∴∠DAC＝102°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+102°﹣＝180°，
解得：α＝52°．
故答案为：52．
12．解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以120°只可能是顶角．
故答案为：120°．
13．解：设两个角分别是x，4x
①当x是底角时，根据三角形的内角和定理，得x+x+4x＝180°，解得，x＝30°，4x＝120°，即底角为30°，顶角为120°；
②当x是顶角时，则x+4x+4x＝180°，解得，x＝20°，从而得到顶角为20°，底角为80°；
所以该三角形的顶角为120°或20°．
故答案为：120°或20°．
14．解：∵DE＝DF，∠F＝20°，
∴∠E＝∠F＝20°，
∴∠CDF＝∠E+∠F＝40°，
∵AB∥CE，
∴∠B＝∠CDF＝40°，
故答案为：40°．
15．解：∵100°＞90°，
∴100°的角是顶角，
故答案为：100°．
16．解：当这个角是顶角时，则顶角的度数为40°，当这个角是底角时，则顶角的度数180°﹣40°×2＝100°，
故其顶角的度数为100°或40°．
故填100°或40°．
17．解：∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝25°；
∴∠ABD＝∠BDC+∠C＝50°；
△ABD中，AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝50°；
故∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝80°．
故答案为：80．
18．证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°．，
∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠CBE＝∠CAD．，
∴∠CBE＝∠BAD．
19．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
20．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB＝OC；
（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，
∵∠DOE+∠A＝180°
∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．
21．解：∵AB＝BD，
∴∠BDA＝∠A，
∵BD＝DC，
∴∠C＝∠CBD，
设∠C＝∠CBD＝x，
则∠BDA＝∠A＝2x，
∴∠ABD＝180°﹣4x，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝180°﹣4x+x＝105°，
解得：x＝25°，所以2x＝50°，
即∠A＝50°，∠C＝25°．
22．证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D＝∠C＝90°，
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴∠DBA＝∠CAB，
∴OA＝OB，
即△OAB是等腰三角形．
另外一种证法：
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D＝∠C＝90°
在Rt△ABD和Rt△BAC中
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL）
∴AD＝BC，
在△AOD和△BOC中
，
∴△AOD≌△BOC（AAS），
∴OA＝OB，
即△OAB是等腰三角形．
23．证明：①∵AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD，
②∵AF⊥CD，AC＝AD，
∴CF＝FD（三线合一性质）．
24．解：如图1：直线把75°的角分成25°的角和50°的角，
则分成的两个三角形都是等腰三角形；
如图2，直线把120°的角分成80°和40°的角，
则分成的两个三角形都是等腰三角形．