2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.2直角三角形 同步自主提升训练 (word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-2直角三角形》同步自主提升训练（附答案）
1．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．无法确定
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，过点C作CD1⊥AB于D1，过D1作D1D2⊥BC于D2，过D2作D2D3⊥AB于D3，这样继续作下去，…，线段DnDn+1等于（n为正整数）（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在等边△ABC中，AB＝6，∠AFB＝90°，则CF的最小值为（　　）
A．3 B． C．6﹣3 D．3﹣3
4．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 　 　分钟后，△CAP与△PQB全等．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4cm，CE＝3cm，则DE＝　 　cm．
6．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝　 　，△ABC与△APQ全等．
7．已知Rt△ABC，AC＝BC，点E、F在AB上，且∠ECF＝45°，当AF BE＝36时，△ABC的面积为　 　．
8．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为　 　．
9．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD等于　 　．
10．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA交OB于点C．若∠AOB＝60°，OC＝4，则点P到OA的距离PD等于　 　．
11．在△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，E、F分别是AC、BC延长线上的点，且CE＝CF＝AB，则∠EMF的度数为　 　．
12．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于　 　度．
13．如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF．求证：Rt△BCE≌Rt△DCF．
14．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．
（1）求证：EF＝AB；
（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．
15．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD＝DC．
16．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC、BD，E、F分别是AC、BD的中点，连接EF，试证明EF⊥BD．
17．（1）如图1，OB是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到D，使OD＝OB，连接DA．利用图1证明：中线OB等于斜边AC的一半．
（2）上面（1）中的结论是一个很重要的定理，利用此定理证明下题：如图2，点E是Rt△ABC的直角边AC上的点，ED⊥AB于D，F是线段BE的中点，连接FC、FD、CD，则有∠FCD＝∠FDC．
18．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．
（1）若EF＝5，BC＝12，求△EFM的周长；
（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，求∠FME的度数．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上（不与点A，C重合），DE⊥AB于点E，连接BD，F为BD的中点．
（1）若BD＝10，求EF的长；
（2）写出图中的所有等腰三角形；
（3）试猜想∠A与∠CEF的关系并证明．
20．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．
（1）求证：MN⊥DE．
（2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．
（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
21．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．
（1）求证：BM＝MN；
（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，写出求BN长的思路．
22．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，点E为AC中点，点F为BD中点．求证：EF⊥BD．
23．已知：如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，点E在BC上，点F在AD上，BE＝EC，AF＝FD．求证：EF⊥AD．
24．已知：等边△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于O．求证：AO＝2OD．
25．如图，三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝15°，求AB边上的高．
26．如图，在△ABC中，AD交边BC于点D，∠BAD＝15°，∠ADC＝4∠BAD，DC＝2BD．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：∠CAD＝∠B．
27．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E．求证：．
28．如图，在直角△ABC中，D为斜边AB的中点，DE⊥DF，而E、F分别在AC和BC上，连接EF．观察AE、EF、BF能不能组成直角三角形．写出你的结论并说明理由．
参考答案
1．解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC＝90°，
∠GDC+∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
，
∴△DEF≌△DCG，
∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，
所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．
故选：A．
2．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD1⊥AB，
∴∠ACD1＝30°，CD1＝，
同理，D1D2＝（）2，
…，
线段DnDn+1＝（）n+1．
故选：A．
3．解：如图取AB的中点E，连接EF、EC．
∵△ABC是等边三角形，AE＝EB，
∴AB＝BC＝6，∠CBE＝60°，
∴CE＝BC sin60°＝3，
∵∠AFB＝90°，AE＝EB，
∴EF＝AB＝3，
∴CF≥EC﹣EF，
∴当E、F、C共线时，FC的值最小，最小值为3﹣3，
故选：D．
4．解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP＝AC，则x＝4，
AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP＝AP，则12﹣x＝x，
解得：x＝6，BQ＝12（m）≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：4．
5．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°
∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠B＝90°
∴∠EAC＝∠B
∵AB＝AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD＝CE，BD＝AE
∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝7cm．
故填7．
6．解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝10时，
在△ABC和△PQA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：5或10．
7．解：∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝45°+∠ACE，∠ACF＝∠ACE+∠ECF＝∠ACE+45°，
∴∠CEB＝∠ACF，
∴△ABC的面积＝AC BC＝×36＝18．
故答案为：18．
8．解：由题意可得，BE平分∠ABC，DE＝CE
又∠A＝30°，AC＝6
可得DE＝AE
∴DE＝（6﹣DE）
则DE＝2．
故答案为2．
9．解：过点P作PM⊥OB于M，
∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝PC＝2，
∵PD＝PM，
∴PD＝2．
故答案为：2．
10．解：如图，过C点作CE⊥OA，垂足为E，
∵PC∥OA，PD⊥OA，垂足为D，∴PD＝CE，
∵∠AOB＝60°，OC＝4，
在Rt△OCE中，CE＝2，
∴PD＝CE＝．
11．解：连接CM，
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴CM＝AB，AM＝BM＝AB，
∵CE＝CF＝AB，
∴CE＝MC，CF＝MC，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠F，
∵∠1+∠E＝∠4，∠2+∠F＝∠3，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，
∴∠1+∠2＝（∠4+∠3）＝×90°＝45°，
即：∠EMF＝45°．
故答案为：45°．
12．解：∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴AE＝CE，
∴∠A＝∠ACE，
∵△CED是由△CBD折叠而成，
∴∠B＝∠CED，
∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝2∠A，
∴∠B＝2∠A，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝30°．
故答案为：30．
13．证明：方法一、
连接BD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC，
∵BE⊥EF，DF⊥EF，
∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；
方法二、连接AC，
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∵BE⊥EF，DF⊥EF，
∴∠BEC＝∠DFC＝90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）．
14．证明：（1）连接BE，
∵DB＝BC，点E是CD的中点，
∴BE⊥CD．
∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，
∴EF＝；
（2）[方法一]在△ABG中，AF＝BF，AG∥EF，
∴EF是△ABG的中位线，
∴BE＝EG．
在△ABE和△AGE中，AE＝AE，∠AEB＝∠AEG＝90°，
∴△ABE≌△AGE；
[方法二]由（1）得，EF＝AF，
∴∠AEF＝∠FAE．
∵EF∥AG，
∴∠AEF＝∠EAG．
∴∠EAF＝∠EAG．
∵AE＝AE，∠AEB＝∠AEG＝90°，
∴△ABE≌△AGE．
15．解：如图，连接DB．
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD＝DB，
∴∠A＝∠ABD，
∵BA＝BC，∠B＝120°，
∴∠A＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，
∴∠ABD＝30°，
又∵∠ABC＝120°，
∴∠DBC＝120°﹣30°＝90°，
∴BD＝DC，
∴AD＝DC．
16．证明：如图，连接BE、DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，
∴BE＝DE＝AC，
∵F是BD的中点，
∴EF⊥BD．
17．证明：（1）∵OB是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴AD＝CB，∠DAO＝∠C，
又∵∠BAC+∠C＝90°，
∴∠BAC+∠DAO＝90°，即∠DAB＝90°＝∠ABC，
在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴AC＝BD，
又∵BO＝BD，
∴BO＝AC，即Rt△ABC中，中线OB等于斜边AC的一半．
（2）∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°＝∠BCE，
又∵F是线段BE的中点，
∴Rt△BCE中，CF＝BE，
Rt△BDE中，DF＝BE，
∴CF＝DF，
∴∠FCD＝∠FDC．
18．解：（1）∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，
∴ME＝MC＝BC＝×12＝6，
同理MF＝MB＝BC＝×12＝6，
∴△EFM的周长＝6+6+5＝17；
（2）∵MF＝MB，
∴∠ABC＝∠MFB＝50°，
同理∠ACB＝∠MEC＝70°，
∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∠EMC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠FME＝180°﹣80°﹣40°＝60°．
19．解：（1）∵DE⊥AB，F为BD的中点，
∴EF＝BD＝5；
（2）△DEF、△BEF、△DCF、△BCF、△CEF是等腰三角形；
（3）∠A＝∠CEF．
证明：∵FE＝FB，FC＝FB，
∴∠FEB＝∠FBE，∠FCB＝∠FBC，
∴∠EFD＝2∠EBF，∠CFD＝2∠FBC，
∴∠CEF＝×（180°﹣2∠EBF﹣2∠FBC）＝90°﹣∠EBF﹣∠FBC，
又∠A＝90°﹣∠EBF﹣∠FBC，
∴∠A＝∠CEF．
20．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，
∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，
∴DM＝BC，ME＝BC，
∴DM＝ME，
又∵N为DE中点，
∴MN⊥DE；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），
＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），
＝360°﹣2（180°﹣∠A），
＝2∠A，
∴∠DME＝180°﹣2∠A；
（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，
理由如下：连接DM，ME，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，
＝2（180°﹣∠BAC），
＝360°﹣2∠BAC，
∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），
＝2∠BAC﹣180°．
21．（1）证明：∵∠ABC＝90°，M为AC中点，
∴BM＝AC，
∵M为AC中点，N为DC中点，
∴MN＝AD，
∵AD＝AC，
∴BM＝MN；
（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB＝30°，
∴BM＝AM＝AC＝1，
∴∠MAB＝∠MBA＝30°，
∴∠CMB＝60°
MN∥AD，MN＝AD＝1，
∴∠DAC＝∠NMC＝30°，
∴△NMB是等腰直角三角形，
由勾股定理得，BN＝＝..
22．证明：如图，连接BE、DE，
∵∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，点E是AC的中点，
∴BE＝DE＝AC，
∵点F是BD的中点，
∴EF⊥BD．
23．解：连接AE，DE，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，BE＝EC，
∴AE＝，DE＝，
∴AE＝DE，
在△AEF与△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
∴∠AFE＝∠DFE＝90°，
即EF⊥AD．
24．证明：∵等边△ABC中AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BAE＝60°，
∴2AE＝AB，
同理可得：2BD＝AB，2OD＝OB，
在△AOE与△OBD中，
，
∴△AOE≌△OBD（AAS），
∴AO＝OB，
∴AO＝2OD．
25．解：过点C作BA的垂线，交BA的延长线于点D，
解：∵∠B＝∠ACB＝15°，
∴∠CAD＝∠B+∠ACB＝15°+15°＝30°，
∵AC＝2，CD是AB边上的高，
∴CD＝AC＝×2＝1．
∴AB边上的高是1．
26．（1）解：∵∠BAD＝15°，∠ADC＝4∠BAD，
∴∠ADC＝60°，
∴∠B＝60°﹣15°＝45°；
（2）证明：过C作CE⊥AD于E，连接EB．
∵∠ECD＝90°﹣60°＝30°
∴DC＝2ED，
∵DC＝2BD，
∴ED＝BD，
∴∠DBE＝∠DEB＝∠ECD＝30°，
∴∠EBA＝45°﹣30°＝15°＝∠BAD，
∴AE＝EC＝EB，
∴∠CAD＝∠ABD＝45°．
27．解：延长CE、BA相交于点F．
∵∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°
∴∠EBF＝∠ACF．
在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（ASA）
∴BD＝CF
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∴在△BCE和△BFE中
，
∴△BCE≌△BFE（ASA）
∴CE＝EF
∴．
28．解：如图，延长FD到F′，使DF′＝DF，连接AF′、EF′，
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADF′和△BDF中，
，
∴△ADF′≌△BDF（SAS），
∴AF′＝BF，∠B＝∠DAF′，
∵∠BAC+∠B＝90°，
∴∠BAC+∠DAF′＝∠BAC+∠B＝90°，
即∠EAF′＝90°，
又∵DE⊥DF，
∴EF′＝EF，
∴△EAF′是以EF′为斜边的直角三角形，
故AE、EF、BF能组成直角三角形，斜边为EF．