2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.4角的平分线 同步自主提升训练 (word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角的平分线》同步自主提升训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4，则AD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，则OC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BD的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（　　）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，CD平分∠BCA交AB于点D，DE⊥AC于点E，若DE＝1，则线段AB的长度为（　　）
A．3 B． C． D．
7．如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4
8．如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝（　　）
A．8 B．7 C．6 D．9
9．如图所示，已知∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于点E，且OE＝3cm，则点O到AB，CD的距离之和是（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
10．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝2，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．6
11．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．3 D．12
12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的的面积等于（　　）
A．4 B．5 C．7 D．10
13．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30
C．50 D．100
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，连接AE，∠AEB的度数是（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
15．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，DE＝3，则△BCE的面积等于（　　）
A．6 B．8 C．9 D．18
16．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，如果AB＝8，BC＝12，△ABD的面积为16，则△CBD的面积为 　 　．
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB＝16，AC＝6，DE＝5．求△ADF的面积．
19．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H．
（1）若点P到直线BA的距离为5cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
20．如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
21．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
22．如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
23．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．
（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
24．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
参考答案
1．解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE＝4，
∵AC＝10，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣4＝6．
故选：C．
2．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB DE＝×10 DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：B．
3．解：∵∠AOB＝150°，PC∥OB交OA于点C，
∴∠PCO＝30°，
过P作PE⊥OA于E，
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB
∴PE＝PD＝3，∴∠AOP＝∠POD＝75°，
∴∠CPD＝75°，
∴OC＝PC＝6，
故选：D．
4．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5．
故选：B．
5．解：过P作PQ⊥AC于Q，
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PQ，PQ＝PN，
∴PM＝PN，
∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，
在Rt△PMA和Rt△PQA中，
，
∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），
∴∠MPA＝∠QPA，
同理Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴∠QPC＝∠NPC，
∵∠PMA＝∠PNC＝90°，
∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确；
∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，
又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，
∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），
∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；
∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
6．解：过D作DF⊥BC，垂足为F，
∵DE⊥AC，CD平分∠ACB，
∴DE＝DF，
∵DE＝1，
∴DF＝1，
在Rt△ADE和Rt△BFD中，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴AD＝2DE＝2，DB＝，
∴AB＝AD+DB＝2+，
故选：B．
7．解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，
∴OD＝OE＝OF，
在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，
∴AC＝，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝
，
故选：C．
8．解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
∵∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点H，
∴∠HAC+∠ACH＝（∠BAC+∠ACD）＝90°，
∴∠AHC＝180°﹣90°＝90°，
∴△AHC是直角三角形．
∵E为AC的中点，EH＝4，
∴AC＝2EH＝8．
故选：A．
9．解：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
如图所示，AB∥CD，
∴MN⊥CD．
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，
∴OM＝OE＝3cm．
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON＝OE＝3cm，
∴MN＝OM+ON＝6cm，
即AB与CD之间的距离是6cm．
故选：B．
10．解：如图，过点D作DF⊥AC于F．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝2，
在Rt△BED中，∵∠BED＝90°，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝4，
在Rt△DFC中，∵∠DFC＝90°，∠C＝45°，
∴CD＝DF＝2，
∴BC＝BD+CD＝4+2，
故选：A．
11．解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP＝AD，
∵AD＝6，
∴DP的最小值是6，
故选：B．
12．解：过E作EF⊥BC于点F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC EF＝×5×2＝5，
故选：B．
13．解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
14．解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EG．
又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAF＝150°，
∴∠EAB＝75°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABH＝120°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，
故选：C．
15．解：作EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EH⊥BC，
∴EH＝DE＝3，
∴△BCE的面积＝×BC×EH＝9，
故选：C．
16．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝a，
∵△ABD的面积为16，AB＝8，
∴＝16，
∵AB＝8，
∴DE＝4，
∴DF＝4，
∵BC＝12，
∴＝＝24，
故答案为：24．
17．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
18．解：过D点作DM⊥AB，垂足为M，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，
∴DM＝DE＝5，
∴，，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝40+15＝55，
∵AF是△ABC的中线，
∴，
∴S△ADF＝S△ACF﹣S△ACD＝27.5﹣15＝12.5．
19．（1）解：过点P作PF⊥BE于F，
∵点P在∠ABC的平分线，PH⊥BA，PF⊥BE，
∴PF＝PH＝5cm，即点P到直线BC的距离为5cm；
（2）证明：∵点P在∠ACE的平分线，PH⊥BA，PF⊥BE，
∴PF＝PD，
∵PF＝PH，
∴PD＝PH，
∵PD⊥AC，PH⊥BA，
∴点P在∠HAC的平分线上．
20．证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，
∴＝，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
∴点D在∠BAC的平分线上，
又∵A点也在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．
21．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
22．证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．
23．（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PQ⊥BE，
∴PH＝PQ＝8，
即点P到直线BC的距离为8cm；
（2）证明：∵PC平分∠ACE，PH⊥BA，PQ⊥BE，
∴PD＝PQ，
而PH＝PQ，
∴PD＝PH，
∴点P在∠HAC的平分线上．
24．证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM＝PD，
同理，PN＝PD，
∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．