22021-2022学年北师大版九年级数学下册2.4.1二次函数的应用同步练习 （word版含答案）
文档属性
| 名称 | 22021-2022学年北师大版九年级数学下册2.4.1二次函数的应用同步练习 （word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 226.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-20 10:11:35 | ||
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文档简介
2.4.1二次函数的应用
1.（舟山）当时，二次函数有最大值4，则实数的值为（ ）
A. B. 或 C. 2或 D. 2或或
2. 已知0≤x≤，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是（ ）
A. －10.5 B. 2 C. －2.5 D. －6
3. 若二次函数y＝x2－2x＋c的图象与y轴的交点为（0，－3），则此二次函数有（ ）
A. 最小值－2 B. 最小值－3 C. 最小值－4 D. 最大值－4
4. 下列四个说法中正确的是（ ）
①已知反比例函数y＝，则当y≤时自变量x的取值范围是x≥4；
②点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝－的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2；
③二次函数y＝2x2＋8x＋13（－3≤x≤0）的最大值为13，最小值为7；
④已知函数y＝x2＋mx＋1的图象，当x≤时，y随着x的增大而减小，则m＝－。
A. ④ B. ①② C. ③④ D. 四个说法都不对
5. 如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D。当△ODA是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A. B. C. 2 D.
6. 如图，P是抛物线y＝－x2＋x＋2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 。
7. 如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF。则AF的最小值是 。
8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP。
（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；
（2）若AC＝3，BC＝4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC＝λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等。
9．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m， 就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．
10．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米 (取，)
11.（鄂州）如图，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2，则△MAN的面积最小值为 。
12.（绍兴）课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题。
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1所示，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算。
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2所示，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长。
参考答案
1.解：二次函数的对称轴为直线，
①当，时，二次函数有最大值，
此时，，
解得，与矛盾，故值不存在；
②当，时，二次函数有最大值，
此时，，
解得（舍去），符合题意；
③当，时，二次函数有最大值，
此时，，
解得，
综上所述，的值为2或。故选C。
2. C 解析：∵y＝－2x2＋8x－6＝－2（x－2）2＋2，
∴该抛物线的对称轴是x＝2，且在x＜2上y随x的增大而增大。
又∵0≤x≤，∴当x＝时，y取最大值，y最大＝－2（－2）2＋2＝－2.5。
故选C。
3. C 解析：∵二次函数y＝x2－2x＋c的图象与y轴的交点为（0，－3），
∴c＝－3，∴二次函数解析式为y＝x2－2x－3，
∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，∴此二次函数当x＝1时，有最小值－4。
故选C。
4. D 解析：①因为反比例函数y＝，k＝6的函数图象在一、三象限，
在第一象限内x≥4时，y≤；
在第三象限内所有的函数值都小于，即x＜0。所以不正确。
②因为k＝－＜0，所以函数图象位于二、四象限内，
当x1、x2位于不同的象限内时，则不成立。
③因为a＝2＞0，所以函数图象开口向上，
当x＝ ＝ ＝ 2时，函数有最小值＝＝5，所以不正确。
④因为a＝＞0，所以函数图象开口向上，
当x≤－时，y随x的增大而减小，
即x≤ m，所以 m≥，即m≤ ，不正确。
故选D。
5. C 解析：如图，连接PB、PC，由二次函数的性质，OB＝PB，PC＝AC，
∵△ODA是等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝60°，∴△POB和△ACP是等边三角形，
∵A（4，0），∴OA＝4，∴点B、C的纵坐标之和为4×＝2，
即两个二次函数的最大值之和等于2。故选C。
6. 6 解析：∵y＝－x2＋x＋2，∴当y＝0时，－x2＋x＋2＝0，即－（x－2）（x＋1）＝0，解得 x＝2或x＝－1
因为P为第一象限点，
故设P（x，y）（0＜x＜2，y＞0），
∴C＝2（x＋y）＝2（x－x2＋x＋2）＝－2（x－1）2＋6，
∴当x＝1时，C最大值＝6，
即四边形OAPB周长的最大值为6，
7. 5 解析：设BE＝x，则EC＝4－x，
∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEC＝90°，
而∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴＝，即＝，解得FC＝，
∴DF＝4－FC＝4－＝x2－x＋4＝（x－2）2＋3
当x＝2时，DF有最小值3，
∵AF2＝AD2＋DF2，∴AF的最小值为5。
8. 解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有∠PQB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△PBQ∽△ABC；
（2）设BP＝x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB＝5，∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，
∴＝＝，即 ＝＝，
∴PQ＝x，QB＝x，
S△APQ＝PQ×AQ＝ x2＋x＝ (x )2＋，
∴当x＝时，△APQ的面积最大，最大值是；
（3）存在。∵Rt△AQP≌Rt△ACP，∴AQ＝AC
又∵Rt△AQP≌Rt△BQP，∴AQ＝QB，∴AQ＝QB＝AC
在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC2＝AB2－AC2
∴BC＝AC
∴λ＝时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等。
9．5小时．
10．(1) (2)17米．
11.答案：延长CB至L，使BL＝DN，
则Rt△ABL≌Rt△ADN，故AL＝AN，
∵CM＋CN＋MN＝2，CN＋DN＋CM＋BM＝1＋1＝2，
∴MN＝DN＋BM＝BL＋BM＝ML，∴△AMN≌△AML（SSS），
设CM＝x，CN＝y，MN＝z，x2＋y2＝z2，
∵x＋y＋z＝2，则x＝2－y－z，
∴（2－y－z）2＋y2＝z2，
整理得2y2＋（2z－4）y＋（4－4z）＝0，
即：y2＋（z－2）y＋（2－2z）＝0
∴△＝（z－2）2－4（2－2z）≥0，
∴z2＋4z－4≥0
又∵z＞0，∴z＞2－2
又∵z＞0，∴z＞2－2
∵S△AMN＝S△AML＝ML AB＝z。
∴当z＝2－2时，S△AMN取得最小值，为－1，故答案为：－1。
12.答案：解：（1）设矩形的边长PN＝2y（mm），则PQ＝y（mm），由条件可得△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，解得y＝，
∴PN＝×2＝（mm）。
答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm。
（2）设PN＝x（mm），由条件可得△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得PQ＝80－x，
∴S＝PN PQ＝x（80－x）＝－x2＋80x＝－（x－60）2＋2400，
∴S的最大值为2400mm2，此时PN＝60mm，PQ＝80－×60＝40（mm）
1.（舟山）当时，二次函数有最大值4，则实数的值为（ ）
A. B. 或 C. 2或 D. 2或或
2. 已知0≤x≤，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是（ ）
A. －10.5 B. 2 C. －2.5 D. －6
3. 若二次函数y＝x2－2x＋c的图象与y轴的交点为（0，－3），则此二次函数有（ ）
A. 最小值－2 B. 最小值－3 C. 最小值－4 D. 最大值－4
4. 下列四个说法中正确的是（ ）
①已知反比例函数y＝，则当y≤时自变量x的取值范围是x≥4；
②点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y＝－的图象上，若x1＜x2，则y1＜y2；
③二次函数y＝2x2＋8x＋13（－3≤x≤0）的最大值为13，最小值为7；
④已知函数y＝x2＋mx＋1的图象，当x≤时，y随着x的增大而减小，则m＝－。
A. ④ B. ①② C. ③④ D. 四个说法都不对
5. 如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D。当△ODA是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A. B. C. 2 D.
6. 如图，P是抛物线y＝－x2＋x＋2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 。
7. 如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF。则AF的最小值是 。
8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP。
（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；
（2）若AC＝3，BC＝4，当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC＝λAC，是否存在一个λ的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等。
9．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m， 就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．
10．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
(2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米 (取，)
11.（鄂州）如图，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2，则△MAN的面积最小值为 。
12.（绍兴）课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题。
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1所示，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算。
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2所示，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长。
参考答案
1.解：二次函数的对称轴为直线，
①当，时，二次函数有最大值，
此时，，
解得，与矛盾，故值不存在；
②当，时，二次函数有最大值，
此时，，
解得（舍去），符合题意；
③当，时，二次函数有最大值，
此时，，
解得，
综上所述，的值为2或。故选C。
2. C 解析：∵y＝－2x2＋8x－6＝－2（x－2）2＋2，
∴该抛物线的对称轴是x＝2，且在x＜2上y随x的增大而增大。
又∵0≤x≤，∴当x＝时，y取最大值，y最大＝－2（－2）2＋2＝－2.5。
故选C。
3. C 解析：∵二次函数y＝x2－2x＋c的图象与y轴的交点为（0，－3），
∴c＝－3，∴二次函数解析式为y＝x2－2x－3，
∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，∴此二次函数当x＝1时，有最小值－4。
故选C。
4. D 解析：①因为反比例函数y＝，k＝6的函数图象在一、三象限，
在第一象限内x≥4时，y≤；
在第三象限内所有的函数值都小于，即x＜0。所以不正确。
②因为k＝－＜0，所以函数图象位于二、四象限内，
当x1、x2位于不同的象限内时，则不成立。
③因为a＝2＞0，所以函数图象开口向上，
当x＝ ＝ ＝ 2时，函数有最小值＝＝5，所以不正确。
④因为a＝＞0，所以函数图象开口向上，
当x≤－时，y随x的增大而减小，
即x≤ m，所以 m≥，即m≤ ，不正确。
故选D。
5. C 解析：如图，连接PB、PC，由二次函数的性质，OB＝PB，PC＝AC，
∵△ODA是等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝60°，∴△POB和△ACP是等边三角形，
∵A（4，0），∴OA＝4，∴点B、C的纵坐标之和为4×＝2，
即两个二次函数的最大值之和等于2。故选C。
6. 6 解析：∵y＝－x2＋x＋2，∴当y＝0时，－x2＋x＋2＝0，即－（x－2）（x＋1）＝0，解得 x＝2或x＝－1
因为P为第一象限点，
故设P（x，y）（0＜x＜2，y＞0），
∴C＝2（x＋y）＝2（x－x2＋x＋2）＝－2（x－1）2＋6，
∴当x＝1时，C最大值＝6，
即四边形OAPB周长的最大值为6，
7. 5 解析：设BE＝x，则EC＝4－x，
∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEC＝90°，
而∠AEB＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴＝，即＝，解得FC＝，
∴DF＝4－FC＝4－＝x2－x＋4＝（x－2）2＋3
当x＝2时，DF有最小值3，
∵AF2＝AD2＋DF2，∴AF的最小值为5。
8. 解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有∠PQB＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△PBQ∽△ABC；
（2）设BP＝x（0＜x＜4），由勾股定理，得 AB＝5，∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，
∴＝＝，即 ＝＝，
∴PQ＝x，QB＝x，
S△APQ＝PQ×AQ＝ x2＋x＝ (x )2＋，
∴当x＝时，△APQ的面积最大，最大值是；
（3）存在。∵Rt△AQP≌Rt△ACP，∴AQ＝AC
又∵Rt△AQP≌Rt△BQP，∴AQ＝QB，∴AQ＝QB＝AC
在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC2＝AB2－AC2
∴BC＝AC
∴λ＝时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等。
9．5小时．
10．(1) (2)17米．
11.答案：延长CB至L，使BL＝DN，
则Rt△ABL≌Rt△ADN，故AL＝AN，
∵CM＋CN＋MN＝2，CN＋DN＋CM＋BM＝1＋1＝2，
∴MN＝DN＋BM＝BL＋BM＝ML，∴△AMN≌△AML（SSS），
设CM＝x，CN＝y，MN＝z，x2＋y2＝z2，
∵x＋y＋z＝2，则x＝2－y－z，
∴（2－y－z）2＋y2＝z2，
整理得2y2＋（2z－4）y＋（4－4z）＝0，
即：y2＋（z－2）y＋（2－2z）＝0
∴△＝（z－2）2－4（2－2z）≥0，
∴z2＋4z－4≥0
又∵z＞0，∴z＞2－2
又∵z＞0，∴z＞2－2
∵S△AMN＝S△AML＝ML AB＝z。
∴当z＝2－2时，S△AMN取得最小值，为－1，故答案为：－1。
12.答案：解：（1）设矩形的边长PN＝2y（mm），则PQ＝y（mm），由条件可得△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，解得y＝，
∴PN＝×2＝（mm）。
答：这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm。
（2）设PN＝x（mm），由条件可得△APN∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得PQ＝80－x，
∴S＝PN PQ＝x（80－x）＝－x2＋80x＝－（x－60）2＋2400，
∴S的最大值为2400mm2，此时PN＝60mm，PQ＝80－×60＝40（mm）